高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制第三课时导学案

第三课时　两角和与差的正切公式

如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝，tan β＝，∠COD＝α－β.

[问题]　能否求出tan(α－β)和tan(α＋β)的值？

知识点　两角和与差的正切公式

1．公式的结构特征及符号特征

(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β 的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和；　　　　

(2)

符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．

2．两角和与差的正切公式的变形与特例

(1)变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；

tan αtan β＝1－；

(2)公式的特例：tan＝；

tan＝.　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)

(2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)

(3)tan能根据公式tan(α－β)直接展开．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×

2．已知tan α＝，则tan＝(　　)

A.　　　　　　　 B．7

C．－  D．－7

答案：B

3．tan 75°＝________．

答案：2＋

[例1]　(链接教科书第219页例4)化简求值：

(1)；

(2)tan＋tan＋tantan.

[解]　(1)

＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－.

(2)tan＋tan ＋ tan tan ＝

tan＋tan tan＝

＋tantan＝.

利用公式T(α±β)化简求值的两点说明

(1)分析式子结构，正确选用公式形式：

T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换；

(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：

当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．　　　　

[跟踪训练]

化简求值：

(1)；

(2)tan 10°·tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)．

解：(1)＝

＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.

(2)∵tan(10°＋20°)

＝＝，

∴tan 10°＋tan 20°＝(1－tan 10°·tan 20°)．

∴原式＝tan 10°·tan 20°＋×(1－tan 10°·tan 20°)

＝tan 10°·tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.

[例2]　(链接教科书第218页例3)已知tan＝，tan＝2，求：

(1)tan的值；

(2)tan(α＋β)的值．

[解]　(1)tan

＝tan

＝

＝＝－.

(2)tan(α＋β)＝tan

＝

＝＝2－3.

给值求值问题的两种变换

(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值；

(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．　　　　

[跟踪训练]

1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B.

C.  D．－

解析：选A　∵sin α＝，α∈，

∴cos α＝－＝－，

∴tan α＝＝－.

∵tan(π－β)＝＝－tan β，∴tan β＝－，

则tan(α－β)＝＝－.

2．若tan＝，则tan α＝________．

解析：tan α＝tan

＝＝＝.

答案：

[例3]　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角．

求α＋β.

[解]　∵α和β均为钝角，∴cos α＝－＝－，cos β＝－＝－.

tan α＝＝－，tan β＝＝－.

tan(α＋β)＝

＝＝－1，

∵α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，

∴α＋β＝.

给值求角问题的解题策略

(1)解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内；

(2)选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．　　　　

[跟踪训练]

已知tan α＝，tan β＝且α，β∈，求2α＋β的值．

解：∵tan α＝，tan β＝且α，β∈，

∴tan(α＋β)＝＝＝>0，

∴α＋β∈，2α＋β∈(0，π)，

∴tan(2α＋β)＝tan[(α＋β)＋α]

＝＝＝1，

∴2α＋β＝.

1．已知tan α＝2，tan β＝3，则tan(α－β)＝(　　)

A．－7　　 B.　　　

C．－　　 D．－

解析：选D　tan(α－β)＝

＝＝－.故选D.

2．求值tan 15°＝________．

解析：tan 15°＝tan(60°－45°)＝

＝＝2－.

答案：2－

3．已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，求α＋β的值．

解：因为tan(α＋β)＝

＝＝1，α，β都是锐角，

故α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.