人教A版 (2019) 选择性必修第二册 第四章习题课——数列求和课件PPT

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内容索引自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.掌握裂项相消求和的方法.2.掌握分组求和的方法.3.掌握错位相减求和的方法.4.通过学习培养学生的数学建模能力与数据分析能力,提升数学运算的基本素养.自主预习 新知导学一、裂项相消法【问题思考】2.是不是所有的数列求和都可以直接用这两个公式求解?提示:不是.3.填空:我们把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和,叫做裂项相消法.答案:B 二、错位相减法【问题思考】1.等比数列的前n项和公式的推导方法叫做错位相减法.2.什么情况下可以用错位相减法求和?提示:当一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成时可以用错位相减法求和.3.做一做:已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=n·2n,则Sn=　　　　　. 解析:∵an=n·2n,∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1.②①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1∴Sn=(n-1)2n+1+2.答案:(n-1)2n+1+2【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.√√√合作探究 释疑解惑【例2】 已知数列{an},a1,a2,a3,…,an,…构成一个新数列:a1,(a2-a1),…,(an-an-1),…此数列是首项为1,公比为 的等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.反思感悟 分组求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件.一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成.(2)解题步骤.若将数列改为“1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…”,如何求其前n项和?【变式训练2】 已知数列{an}是公比为2的等比数列,且a2,a3+1,a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=an+log2an+1,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)由题意可得2(a3+1)=a2+a4,即2(4a1+1)=2a1+8a1,解得a1=1,故数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)因为bn=an+log2an+1=2n-1+n,所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1)【例3】 求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn.解:(1)当x=0时,Sn=0.(3)当x≠0,且x≠1时,Sn=x+2x2+3x3+…+(n-1)xn-1+nxn,①xSn=x2+2x3+…+(n-1)xn+nxn+1,②若已知数列为{(2n-1)an-1}(a≠0),求它的前n项和.反思感悟 1.一般地,若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为q(q≠1),求数列{anbn}的前n项和时,可采用错位相减法.2.运用等比数列前n项和公式时,必须注意公比q是否为1.若不能确定公比q是否为1,应分类讨论.3.在写Sn和qSn的表达式时,应特别注意“错项对齐”,以便于下一步准确写出Sn.【变式训练3】 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.(1)求{an}的通项公式;分析:(1)列方程组求出等差数列{an}的首项和公差;(2)利用错位相减法求Tn.【思想方法】 用分段求和的思想解决问题方法点睛 分段数列求和问题的技巧性很强,一般是转化为等差数列与等比数列问题求解,解题时需要对数列的项数及奇数项、偶数项的项数进行分类讨论说明,需要特别说明的是在分段数列中,规律是隔项成等差数列或成等比数列,因此数列的公差或公比与平时的公差、公比有所不同,解题时要特别留意.随堂练习答案:C 答案:C 4.已知数列{an}是公差为2的等差数列,它的前n项和为Sn,且a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列 的前n项和Tn.解:(1)由题意,得a3+1=a1+5,a7+1=a1+13,所以由(a3+1)2=(a1+1)·(a7+1),得(a1+5)2=(a1+1)·(a1+13).解得a1=3,所以an=3+2(n-1),即an=2n+1.