高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性导学案，共10页。


3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”．
[问题] (1)上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？
(2)互斥事件与相互独立事件有什么区别？


知识点 事件的相互独立性
1．相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
2．相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，事件A与事件eq \x\t(B)相互独立，事件eq \x\t(A)与事件B相互独立，事件eq \x\t(A)与事件eq \x\t(B)相互独立．
eq \a\vs4\al()
两个事件独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．
若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)相互独立吗？
提示：相互独立．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )
(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(5,7) D.eq \f(5,12)
解析：选D 根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(5,12)，故选D.
3．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．
解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
答案：0.56
[例1] (链接教科书第248页例1)判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(2)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[解] (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq \f(5,8)，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为eq \f(4,7)，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为eq \f(5,7).可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(2)记A＝“出现偶数点”，B＝“出现3点或6点”，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
所以P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6)，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A与B相互独立．
eq \a\vs4\al()
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响；
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
[跟踪训练]
从52张扑克牌(不含大小王)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B；(2)C与A.
解：(1)P(A)＝eq \f(4,52)＝eq \f(1,13)，P(B)＝eq \f(26,52)＝eq \f(1,2)，
事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝eq \f(2,52)＝eq \f(1,26)，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．
(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件.
[例2] (链接教科书第248页例2)甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为eq \f(1,3)和eq \f(1,4)，求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)求至少1个人译出密码的概率；
(3)恰有1个人译出密码的概率．
[解] 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,4).
(1)两个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12).
(2)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为1－P(eq \x\t(A) eq \x\t(B))＝1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2).
(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为
P(Aeq \x\t(B)∪eq \x\t(A)B)＝P(Aeq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A)B)＝P(A)P(eq \x\t(B))＋P(eq \x\t(A))P(B)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12).
[母题探究]
1．(变设问)若本例条件不变，求两个人都译不出密码的概率．
解：两个人都译不出密码的概率为
P(eq \x\t(A) eq \x\t(B))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝[1－P(A)]·[1－P(B)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,2).
2．(变设问)若本例条件不变，求至多1个人译出密码的概率．
解：“至多1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,12).
eq \a\vs4\al()
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们可同时发生．
[跟踪训练]
甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，且各自能否被选中互不影响．求：
(1)3人同时被选中的概率；
(2)3人中恰有1人被选中的概率．
解：记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(C)＝eq \f(1,3).
(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10).
(2)3人中恰有1人被选中的概率P2＝P(Aeq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))Beq \(C,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))C)＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \f(1,3)＝eq \f(5,12).
[例3] (链接教科书第249页例3)
三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(3,4)，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．
[解] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A2)＝eq \f(3,4)，P(A3)＝eq \f(3,4).
不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，
则不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)A1]
＝P(A2∪A3)·P(A1)
＝[1－P(eq \x\t(A)2)·P(eq \x\t(A)3)]·P(A1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))×eq \f(1,2)＝eq \f(15,32).
eq \a\vs4\al()
求较复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)厘清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
[跟踪训练]
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为eq \f(4,5)，eq \f(3,5)，eq \f(2,5)，eq \f(1,5)，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
解：记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝eq \f(4,5)，P(A2)＝eq \f(3,5)，P(A3)＝eq \f(2,5)，P(A4)＝eq \f(1,5).
(1)“该选手进入第四轮才被淘汰”记为事件B，P(B)＝P(A1A2A3eq \x\t(A)4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(eq \x\t(A)4)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＝eq \f(96,625).
(2)“该选手至多进入第三轮考核”记为事件C.
法一：P(C)＝P(eq \x\t(A)1∪A1eq \x\t(A)2∪A1A2eq \x\t(A)3)＝P(eq \x\t(A)1)＋P(A1)P(eq \x\t(A)2)＋P(A1)P(A2)P(eq \x\t(A)3)＝eq \f(1,5)＋eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))＋eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))＝eq \f(101,125).
法二：“该选手进入第四轮没有被淘汰”记为事件D，则P(D)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)×eq \f(1,5)＝eq \f(24,625).
因为C与B∪D为对立事件，B与D为互斥事件，所以P(C)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－eq \f(96,625)－eq \f(24,625)＝eq \f(101,125).
不同赛制的可行性探究
乒乓球比赛规则如下：
在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分的一方为胜方；一场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；
一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权要求不超过1分钟的休息时间．
某校要通过选拔赛选取一名学生参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．
[问题探究]
1．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？
提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为P1＝0.62＋2×0.62×(1－0.6)＝0.648.
2．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用五局三胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？
提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由独立事件的概率公式，得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P2＝0.63＋3×0.63×(1－0.6)＋6×0.63×(1－0.6)2＝0.682 56.
3．两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同)
提示：甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率p>eq \f(1,2).采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P3＝p2＋2p2(1－p)．
采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P4＝p3＋3p3(1－p)＋6p3(1－p)2.而P4－P3＝p2(6p3－15p2＋12p－3)＝3p2(p－1)2(2p－1)．
因为p>eq \f(1,2)，所以P4>P3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大．
所以五局三胜制更能选拔出最强的选手．
[迁移应用]
(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为eq \f(1,2).
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
解：(1)甲连胜四场的概率为eq \f(1,16).
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，
至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为eq \f(1,16)；
乙连胜四场的概率为eq \f(1,16)；
丙上场后连胜三场的概率为eq \f(1,8).
所以需要进行第五场比赛的概率为
1－eq \f(1,16)－eq \f(1,16)－eq \f(1,8)＝eq \f(3,4).
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为eq \f(1,8)；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为eq \f(1,16)，eq \f(1,8)，eq \f(1,8).
因此丙最终获胜的概率为eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝eq \f(7,16).
1．如图，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.eq \f(4,9) B．eq \f(2,9)
C.eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)
解析：选A 左边圆盘指针落在奇数区域的概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为eq \f(2,3)，则两个指针同时落在奇数区域的概率为eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9).
2．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(5,12)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
解析：选B 恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品，故所求概率为eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \f(3,4)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(2,12)＋eq \f(3,12)＝eq \f(5,12)，故选B.
3．某单位对应届大学毕业生进行“创业扶持”，若甲、乙两人获得扶持资金的概率分别为eq \f(2,5)和eq \f(3,5)，两人是否获得扶持资金相互独立，则这两人中至少有一人获得扶持资金的概率为( )
A.eq \f(2,15) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(19,25) D.eq \f(8,15)
解析：选C 两人中至少有一人获得扶持资金的概率为P＝eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(19,25).
4．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
解析：选B 设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.故选B.
5．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，则P(Aeq \x\t(B))＝________，P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝________.
解析：∵A，B是相互独立事件，
∴A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也是相互独立事件．
又∵P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，
故P(eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
∴P(Aeq \x\t(B))＝P(A)P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，
P(eq \x\t(A)eq \x\t(B))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,6) eq \f(1,6)
新课程标准解读
核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义
数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率
数学运算
相互独立事件的判断
相互独立事件概率的计算
相互独立事件概率的实际应用