高中10.1 随机事件与概率学案设计

概率的基本性质

甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.

[问题]　甲获胜的概率是多少？

知识点　概率的基本性质

性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝，P(∅)＝．

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．

性质5：如果A⊆B，那么P(A)P(B)．

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

1．当A与B互斥(即AB＝∅)时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．

2．一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．

3．P(A)＋P(A)＝1.　　　　

设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？

提示：不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任一事件的概率总在(0，1)内．(　　)

(2)不可能事件的概率不一定为0.(　　)

(3)必然事件的概率一定为1.(　　)

(4)如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D．1

解析：选B　事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是5或6”的概率是＋＝.

3．事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.2，则P(B)＝________．

解析：因为A与B是对立事件，所以P(A)＋P(B)＝1，即P(B)＝1－P(A)＝0.8.

答案：0.8

4．事件A与B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(B)＝0.5，则P(A∪B)＝________．

解析：因为A与B互斥，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.5＝0.7.

答案：0.7

[例1]　(链接教科书第241页例11)某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：

(1)射中10环或9环的概率；

(2)至少射中7环的概率．

[解]　设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则

(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.

所以射中10环或9环的概率为0.3.

(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.

[母题探究]

(变设问)在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．

解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.3＋0.1＝0.4.

含“至多”“至少”等词语的概率的计算

(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；

(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．　　　　

[跟踪训练]

1．某运动员射击一次，若事件A(中靶)的概率为0.95，则的概率＝________；若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率＝________；事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率＝________.

解析：P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.

依据题意，事件C与事件B是对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3.

依据题意，事件C是事件D与事件的和事件，且事件D与事件互斥，故P(C)＝P(D)＋P()，

故P(D)＝P(C)－P()＝0.3－0.05＝0.25.

答案：0.05　0.3　0.25

2．黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：

已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：

(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？

(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？

解：对任何一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.

(1)因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.

(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.

[例2]　(链接教科书第241页例12)一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：

(1)取出1球是红球或黑球的概率；

(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．

[解]　记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则

P(A1)＝，P(A2)＝，

P(A3)＝，P(A4)＝.

根据题意，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．

法一：由互斥事件概率公式，得

(1)取出1球为红球或黑球的概率为

P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.

(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为

P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)

＝＋＋＝.

法二：(1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为

P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)

＝1－－＝＝.

(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，

所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.

求复杂互斥事件概率的2种方法

[跟踪训练]

1.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示．现从中随机抽取一名队员，求：

(1)该队员只属于一支球队的概率；

(2)该队员最多属于两支球队的概率．

解：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由题图知3支球队共有球员20名．

则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.

则D＝A＋B＋C，

∵事件A，B，C两两互斥，

∴P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.

(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，

则为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，

∴P(E)＝1－P()＝1－＝.

2．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别为多少．

解：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，显然事件A，B，C，D彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝　①，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝　②，P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝　              ③.

由事件A和事件B＋C＋D是对立事件可得

P(A)＝1－P(B＋C＋D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，

即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝　 ④.

联立②③④可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.

即得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.

1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　)

A．　　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：选C　该子集恰是{a，b，c}的子集的概率为P＝1－＝.

2．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　　)

A．0.3　　　　　　　　　 B．0.7

C．0.1  D．1

解析：选A　∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.

3．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率是________．

解析：设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)

＝0.85＋0.74－0.63

＝0.96.

答案：0.96

4．某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：

(1)求派出医生至多2人的概率；

(2)求派出医生至少2人的概率．

解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事

件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.

(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.

法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74.