高中数学10.3 频率与概率学案

频率的稳定性 随机模拟

投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是.很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型的对称性，体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地．为了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近，我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固定在处，即正面和反面出现的概率都为.

[问题]　你认为频率与概率之间有什么关系？

知识点一　频率的稳定性

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．

频率和概率可以相等吗？

提示：可以相等．但因为每次试验的频率为多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．

1．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是(　　)

A．本市明天将有90%的地区降雨

B．本市明天将有90%的时间降雨

C．明天出行不带雨具肯定会淋雨

D．明天出行不带雨具可能会淋雨

解析：选D　“本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨的可能性为90%”．故选D.

2．某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．

解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品．

答案：50

知识点二　随机模拟

1．产生随机数的方法

(1)利用计算器或计算机软件产生随机数；

(2)构建模拟试验产生随机数．

2．蒙特卡洛方法

利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法．

1．用抛质地均匀的硬币的方法可产生________个随机数，抛质地均匀的骰子可产生________个随机数．

答案：2　6

2．在用随机模拟方法解决“盒中仅有4个白球和5个黑球，从中取4个，求取出2个白球2个黑球的概率”问题时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表白球，用5～9代表黑球．因为是摸出4个球，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4 678”，则它代表的含义是__________________．

解析：分析题意，易知数字4代表白球，数字6，7，8代表黑球，因此这组随机数的含义为摸出的4个球中，只有1个白球．

答案：摸出的4个球中，只有1个白球

[例1]　(链接教科书第253页例1)某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：

(1)填写表中击中靶心的频率；

(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？

[解]　(1)表中从左到右依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.

(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.

1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．

2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．　　　　

[跟踪训练]

近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；

(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．

解：(1)厨余垃圾投放正确的概率为

＝＝.

(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则A的概率为“厨余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里厨余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里厨余垃圾量和可回收物量的总和除以生活垃圾总量，

即P(A)＝＝0.3.

[例2]　(链接教科书第253页例2)有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.

(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；

(2)摸球方法与(1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由．

[解]　(1)记甲、乙摸出的数字为(x，y)，则共有16种情况，

则x>y的有(4，1)，(4，2)，(4，3)，(3，2)，(3，1)，(2，1)，共6种情况，故甲获胜的概率为＝.

(2)不公平．理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有(4，4)，(3，3)，(2，2)，(1，1)，共4种情况，

故甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，故不公平．

游戏公平性的标准及判断方法

(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的；

(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．　　　　

[跟踪训练]

有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：

A．猜“是奇数”或“是偶数”；

B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；

C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．

请回答下列问题：

(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？

(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？

(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．

解：(1)A方案中，“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5；B方案中，“是4的整数倍的数”的概率为0.2，“不是4的整数倍的数”的概率为0.8；C方案中，“是大于4的数”的概率为0.6，“不是大于4的数”的概率为0.4.故选择B方案，猜“不是4的整数倍的数”获胜的概率最大．

(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．

(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，也可以保证游戏的公平性．

[例3]　(链接教科书第256页例3、例4)一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个球，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率．

[解]　用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数，因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组，如下，产生20组随机数：

666　743　671　464　571

561　156　567　732　375

716　116　614　445　117

573　552　274　114　662

就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为＝0.1.

利用随机模拟估计概率应关注三点

用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．我们可以从以下三方面考虑：

(1)当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；

(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；

(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．　　　　

[跟踪训练]

已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采取随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率．先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：

907　966　191　925　271　932　812　458　569　683　431

257　393　027　556　488　730　113　537　989

据此估计，该运动员三次投篮有两次命中的概率为________．

解析：由题意知，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，812，393，共5组随机数，

∴所求概率为＝.

答案：

探究统计与概率的综合问题

天安门广场国旗的升降时间是根据北京的日出日落时间确定的，具体时间是由北京天文台的天文学家专门计算的．早晨，当太阳的上部边缘与天安门广场所见地平线相平时，为升旗时间．国旗的降旗时间分为逐渐推迟和逐渐提前两个时段．遇到阴天、雨天或雪天，升旗和降旗的时间与前一天相同．每个月第一天，天安门广场升旗时由军乐队奏国歌，整个升旗持续时间为2分零7秒．下表是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表.

将表中的升旗时刻化为分数后作为样本数据.

[问题探究]

1．请完成下面的频率分布表及频率分布直方图.

提示：频率分布表及频率分布直方图如下：

2．若甲学校从上表日期中随机选择一天观看升旗．试估计甲学校观看升旗的时刻早于6：00的概率．

提示：由表知，甲学校从20次升旗日期中随机选择一天观看升旗，观看升旗的时刻早于6：00的为8次，利用频率估计概率，可知甲学校观看升旗的时刻早于6：00的概率约为＝0.4.

[迁移应用]

若甲、乙两个学校各自从表中五月、六月的日期中随机选择一天观看升旗，求两校观看升旗的时刻均不早于5：00的概率．

解：由题中表知，五月、六月的升旗日期中不早于5：00的时间有2次，两个月一共升旗5次．

设按表中五月、六月的日期先后顺序，甲校选择一天观看升旗分别为a1，a2，a3，a4，a5，乙校选择一天观看升旗分别为b1，b2，b3，b4，b5，则甲、乙两个学校观看升旗的时刻的样本空间Ω＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(a3，b1)，(a4，b1)，(a5，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，(a3，b2)，(a4，b2)，(a5，b2)，(a1，b3)，(a2，b3)，(a3，b3)，(a4，b3)，(a5，b3)，(a1，b4)，(a2，b4)，(a3，b4)，(a4，b4)，(a5，b4)，(a1，b5)，(a2，b5)，(a3，b5)，(a4，b5)，(a5，b5)}，共有25个样本点．

设两校观看升旗的时刻均不早于5：00为事件A，则A包含4个样本点，即(a1，b1)，(a2，b1)，(a1，b2)，(a2，b2)，

所以P(A)＝，即两校观看升旗的时刻均不早于5：00的概率为.

1．某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次．若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生的(　　)

A．概率为　　　　　　 B．频率为

C．频率为8  D．概率接近0.8

解析：选B　投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A发生的频数为8，所以事件A发生的频率为＝.

2．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示：

根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．

解析：由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94，0.92，0.96，0.95，0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约调查n件产品，则≈0.95，所以n≈1 000.

答案：1 000

3．某制造商2020年8月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：

(1)请将上表补充完整；

(2)已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率．

解：(1)

(2)标准尺寸是40.00 mm，若要使误差不超过0.03 mm，则直径落在[39.97，40.03]内．

由(1)中表知，直径落在[39.97，40.03]内的频率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9，所以这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率约为0.9.