人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.2 事件的相互独立性学案

事件的相互独立性及频率与概率

核心知识点一：事件的相互独立

事件A和事件B相互独立事件，P（AB）=P（A）P（B）。

核心知识点二：频率与概率

1. 频率的稳定性

根据频率的稳定性，可以用频率来估计概率。

2. 随机模拟

利用随机数模拟试验，用模拟试验中事件产生的频率来估计事件的概率。

例题1  分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：

①事件A与事件B相互独立；

②事件B与事件C相互独立；

③事件C与事件A相互独立。

以上命题中，正确的个数是（　　）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

答案：D

解析：分别抛掷2枚质地均匀的硬币可能出现的所有结果为：正正，正反，反正，反反。

设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，

则，

而事件AB表示事件A与事件B同时发生，因此事件AB包含的基本事件为：正正，所以，

同理可知，则由相互独立事件定义得：①②③均正确，

故选：D。

总结提升：判断两事件是否相互独立的方法

（1）利用相互独立事件的概率公式P(AB)=P(A)P(B)，可以准确地判断两个事件是否相互独立，这是定量计算的方法，必须熟练掌握。

（2）判断两个事件是否为相互独立事件，也可以从定性的角度进行分析，也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件。

例题2  一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为，，，则三人独立解答，仅有1人解出的概率为  （　　）

A.  B.  C.  D. 1

答案：B

解析：根据题意，只有一人解出的试题的事件

包含A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出，三个互斥的事件，而三人解出答案是相互独立的，

则P（只有一人解出试题）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，

故选：B。

总结提升：明确事件的相互独立性，注意审题，找到解决题目所需要的公式或者定理，利用积事件的概率模型来求解。

例题3  在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为（    ）

A. 0.49 B. 49 C. 0.51 D. 51

答案：D

解析：由题意知“正面朝上”的次数为，

故“正面朝下”的次数为。故选D。

总结提升：

在频率和概率的关系中，频率是试验次数的增加时逐渐接近概率的一个值，概率时不变的，所以在做题的时候要分清是频率的问题还是概率的问题。

例题4  下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是（    ）

①在大量随机试验中，事件A出现的频率与其概率很接近；

②概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；

③计算频率通常是为了估计概率。

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

答案：D

解析：（1）在大量随机试验中，事件A出现的频率与其他概率很接近，所以该命题是真命题；

（2）概率可以作为当试验次数无限增大时频率的极限，所以该命题是真命题；

（3）计算频率通常是为了估计概率，所以该命题是真命题。

故选：D

总结提升：

注意频率和概率的关系。随着试验次数的增加，频率逐渐接近于概率，并在概率的左右微振动，在随机试验中，常常用试验的频率来估计概率，偏差不会很大，频率是变化的，概率时一个定值。

1. 事件的相互独立性

对任意的两个事件A和事件B，如果P（AB）=P（A）P（B），则事件A和事件B是相互独立的，称为独立事件。

2. 频率和概率

（1）在随机试验中，试验次数的不同得到的频率也不同，频率是一个变化的数，随着试验次数的增加，频率逐渐接近于概率。

（2）概率是一个定值，不会随着试验次数的变化而变化。

（3）通常可以运用随机数法来得到随机试验中事件的频率，以此来估计事件发生的概率。

（答题时间：40分钟）

一、选择题

1. 一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，以下事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件次品和全是正品，其中互斥事件为（　　）

A. ①    B. ①③   C. ②③    D. ①②

2. 某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明　（　　）

A. 该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件

B. 该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件

C. 合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品

D. 该厂生产的产品合格的可能性是99.99%

3. 掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋发生的概率为（　　）

A.             B.            C.             D.

4. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是（    ）

A.     B.   C.    D.

二、填空题

5. 小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则____。（填“公平”或“不公平”）

6. 口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是_________。

三、解答题

7. 由经验得知：在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：

（1）求至多2人排队的概率；

（2）求至少2人排队的概率。

8. 甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。

（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；

（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？

（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由。

1. 答案：B

解析：由一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，事件：

在①中，恰有1件次品和恰有2件次品不能同时发生，是互斥事件；

在②中，至少有1件次品和全是次品能同时发生，不是互斥事件；

在③中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，是互斥事件。

故①③。故选：B。

2. 答案：D

解析：合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率。

故选D

3. 答案：C

解析：掷一个骰子的试验有6种可能的结果。

依题意知P（A）＝＝，P（B）＝＝，∴P（）＝1－P（B）＝1－＝，∵P（）表示“出现5点或6点”，因此事件A与P（）互斥，从而P（A＋）＝P（A）＋P（）＝＋＝。

4. 答案：D

解析：每一次出现正面朝上的概率相等都是，故选D。

5. 答案：不公平

解析：当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论第二个人取1支还是2支，第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜。所以不公平。

故答案为不公平。

6. 答案：0.81　

解析：∵口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，

随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，

∴摸出是黄球的概率为0.64﹣0.45＝0.19，

∴摸出是红球或蓝球的概率为：1﹣0.19＝0.81。

故答案为：0.81。

7. 解：（1）至多2人排队的概率为P＝0.10+0.16+0.30＝0.56；

（2）至少2人排队的概率为P′＝1﹣（0.10+0.16）＝0.74。

8. 解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）为：

（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、

（4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’，2）、（4’，3）、（4’，4）共12种不同情况

（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’，因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为

（3）由甲抽到的牌比乙大的有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种，

甲胜的概率，乙获胜的概率为，∵

∴此游戏不公平。