高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性单元测试课时作业

10.2 事件的相互独立性

第I卷 选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2021·全国·高一专题练习）甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件为“甲击中目标”，事件为“乙击中目标”，则事件与事件（       ）

A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立

C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥

【答案】A

【解析】

【分析】

根据事件独立性的概念直接判断.

【详解】

对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件与相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件与可能同时发生，所以事件与不是互斥事件．故选A．

2．（2021·全国·高一课前预习）在一次试验中，随机事件，满足，，则（       ）

A．事件，一定互斥 B．事件，一定不互斥

C．事件，一定互相独立 D．事件，一定不互相独立

【答案】B

【解析】

【分析】

根据互斥事件和独立事件的概念判断即可得出答案.

【详解】

根据题意，

根据互斥事件的概念可知，事件不是互斥事件，选项A错误，选项B正确；

由事件的概率不能确定事件的相互独立关系，选项C，D错误.

故选：B.

3．（2021·全国·高一课时练习）元旦放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别是、，假定人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有人去北京旅游的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由对立事件为：三人都不去北京旅游，求，应用求概率即可.

【详解】

记事件至少有1人去北京旅游，其对立事件为：三人都不去北京旅游，

由独立事件的概率公式可得，

由对立事件的概率公式可得，

故选：B.

4．（2021·全国·高一专题练习）袋子中有4个大小和质地完全相同的球，其中2个红球，2个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球，设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到绿球”，那么下列说法正确的是（       ）

A．A与B互斥 B．A与B互为对立事件

C．A、B相互独立 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据互斥事件、对立事件的概念以及相互独立事件的概念逐一判断即可求解.

【详解】

A，互斥事件是在同一试验中，不能同时发生的事件，故A错误；

B，对立事件是在同一试验中，不能同时发生的事件，

且至少有一个发生的事件，故B错误；

C，不放回地依次随机摸出2个球，

“第一次摸到红球”与“第二次摸到绿球”相互影响，故C错误；

D，，故D正确；

故选：D

5．（2022·全国·高一专题练习）某工厂有甲、乙、丙三名工人进行零件安装比赛，甲每个零件的安装完成时间少于丙的概率为.乙每个零件的安装完成时间少于丙的概率为，比赛要求甲、乙、丙各安装一个零件，且他们安装每个零件相互独立，则甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由独立事件概率乘法公式可求得甲和乙安装完成时间均多于丙的概率，由对立事件概率公式可求得结果.

【详解】

甲和乙安装完成时间均多于丙的概率为，

甲和乙中至少有一人安装完成时间少于丙的概率为.

故选：C.

6．（2021·广东广州·高一期末）甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（       ）

A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98

【答案】D

【解析】

【分析】

利用对立事件和独立事件概率的求法即可得到答案.

【详解】

由题意，甲不中靶的概率为，乙不中靶的概率为，所以至少有一人中靶的概率为：.

故选：D.

7．（2021·全国·高一课时练习）若，则事件A与B的关系是（       ）

A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立

C．事件A与B相互独立 D．事件A与B互斥又独立

【答案】C

【解析】

【分析】

根据概率即可依次判断.

【详解】

因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故AD错误；

因为，所以，因为，则，所以事件A与B不是互为对立事件，故B错误；

因为，所以事件A与B相互独立，故C正确.

故选：C.

8．（2022·全国·高一专题练习）先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则（       ）

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立

C．乙与丁相互独立 D．丙与丁相互独立

【答案】A

【解析】

【分析】

根据事件独立性的定义：判断各选项的正误.

【详解】

丙事件的{第一次,第二次}点数组合为，则丙；

丁事件的{第一次,第二次}点数组合为，则丁；

甲乙；

∴1、甲丙甲丙，故甲与丙相互独立.

2、甲丁甲丁，故甲与丙不相互独立.

3、乙丁乙丁，故乙与丁不相互独立；

4、显然，丙与丁为互斥事件，丙丁丙丁，故不相互独立.

故选：A

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.

9．（2022·全国·高一课时练习）若，，，则事件与的关系错误是（       ）

A．事件与互斥 B．事件与对立

C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又独立

【答案】ABD

【解析】

【分析】

计算得出，由此可得出结论.

【详解】

由题意可得，因为，，所以，，

故事件与相互独立.

故选：ABD.

10．（2021·山东青岛·高一期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则下列结论正确的为（       ）

A．两人都中靶的概率为0.72

B．恰好有一人中靶的概率为0.18

C．两人都脱靶的概率为0.14

D．恰好有一人脱靶的概率为0.26

【答案】AD

【解析】

【分析】

由积事件的概率判断A，由和事件及互斥事件的概率判断B；由对立事件的概率判断C，由互斥事件的和判断D.

【详解】

记“甲中靶”，“乙中靶”，“甲不中靶”，“乙不中靶”，则两两独立.

因为，，所以，.

对于选项A：“两人都中靶”，，故A正确；

对于选项B：“恰好有一人中靶”，，故B不正确；

对于选项C：“两人不都中靶”与“两人都中靶”是对立事件，由选项A可知，“两人不都中靶”的概率是，故C错误；

对于选项D：“恰好有一人脱靶”，由B知，概率为0.26，故D正确.

故选：AD

11．（2021·全国·高一课前预习）已知，是随机事件，则下列结论正确的是（       ）．

A．若，是对立事件，则，是互斥事件

B．若事件，相互独立，则

C．假如，，若事件，相互独立，则与不互斥

D．假如，，若事件，互斥，则与相互独立

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的意义对各选项逐一分析判断作答.

【详解】

对于A，由对立事件定义知，，是对立事件，则，是互斥事件，A正确；

对于B，事件，相互独立，则，而不一定成立，B不正确；

对于C，因，，事件，相互独立，则，即与可以同时发生，它们不互斥，C正确；

对于D，因事件，互斥，则，而，，即，于是得与不相互独立，D不正确.

故选：AC

12．（2021·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（       ）

A．两人均获得满分的概率为 B．两人至少一人获得满分的概率为

C．两人恰好只有甲获得满分的概率为 D．两人至多一人获得满分的概率为

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率公式计算各自的概率，进而作出判定.

【详解】

∵甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，

分别记甲、乙得满分的事件为，则独立.

∴两人均获得满分的概率为:

,故正确;

两人至少一人获得满分的概率为:

，故错误；

两人恰好只有甲获得满分的概率为:

，故错误；

两人至多一人获得满分的概率为:

，故错误.

故选：.

第II卷 非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期末）小刘毕业找工作，他先后接到了4所公司的面试通知，若他被每一所公司录用的概率均为，则小刘被录用的概率为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出对立事件4所公司都不录用小刘的概率，再用1减去对立事件的概率即可得解.

【详解】

4所公司都不录用小刘的概率为

所以小刘被录用的概率为

故答案为：

14．（2021·湖南邵阳·高一期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率_________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．

【详解】

解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，

则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，

故该密码被成功破译的概率．

故答案为：．

15．（2022·江西·新余市第一中学高一期末）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为______．

【答案】##0.25

【解析】

【分析】

结合相互独立事件的乘法公式直接计算即可.

【详解】

记师傅加工两个零件都是精品的概率为，则，徒弟加工两个零件都是精品的概率为，则师徒二人各加工两个零件都是精品的概率为，求得，故徒弟加工两个零件都是精品的概率为.

故答案为：

16．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题设写出基本事件，再应用互斥事件加法公式求概率.

【详解】

由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，

第一种摸出“白白红红”的概率为，

第二种摸出“白红白红”的概率为，

第三种摸出“红白白红”的概率为，

所以连续摸4次停止的概率等于．

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2021·全国·高一课时练习）某车间共有八名工人，为了保障安全生产，每月1号要从中选取四名工人参加同样的技能测试，每名工人通过每次测试的概率都是．甲从事的岗位比较特殊，每次他都必须参加技能测试．工厂规定：若工人连续两次没通过测试，则被撤销上岗资格．求甲恰好参加四次技能测试后被撤销上岗资格的概率．

【答案】

【解析】

【分析】

结合独立事件公式直接计算即可.

【详解】

设一次测试甲通过测试的事件为，由题可知，甲第三次，第四次一定没通过测试，则第二次一定通过测试，第一次通不通过测试不受影响，故甲恰好参加四次技能测试后被撤销上岗资格的概率.

18．（2022·湖南·高一课时练习）常言道：“三个臭皮匠，赛过诸葛亮．”意为：三个才能平庸的人，若能同心协力、集思广益，也能提出比诸葛亮还周到的计策．这是对人多智慧广、人多办法多的一种赞誉．试用两种计算概率的方法来加以论证，假设诸葛亮解出问题的概率为0.8，三个臭皮匠独立解出问题的概率分别为，，，且每个臭皮匠解出问题是相互独立的．

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

解法1：先求得问题不能被解决的概率为，结合对立事件的概率计算公式，即可求解；

解法2：根据相互独立事件的概率乘法公式，求得问题被解决的概率，即可求解.

【详解】

解法1：由三个臭皮匠独立解出问题的概率分别为，，，且每个臭皮匠解出问题是相互独立的，

其中问题不能被解决的概率为，

所以问题被解决的概率为，

因为，所以“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”.

解法2：由三个臭皮匠独立解出问题的概率分别为，，，且每个臭皮匠解出问题是相互独立的，

所以问题被解决的概率为：

，

因为，所以“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”.

19．（2022·湖南·高一课时练习）一不透明容器中装有仅颜色不同的4个绿球和2个红球，分别采用有放回和不放回两种方式从中取两球．试分别就两种取球方式计算下列事件的概率：

(1)取到两绿球；

(2)取到两颜色相同的球；

(3)取到的两球中至少有一个为绿球．

【答案】(1)有放回取球时，；无放回取球时，；

(2)有放回取球时，；无放回取球时，；

(3)有放回取球时，；无放回取球时，.

【解析】

【分析】

(1)有放回取球和无放回取球时，分别求出两次各取一个绿球的概率，再利用乘法公式计算得解.

(2)有放回取球和无放回取球时，分别求出两次都取到绿球的概率、都取到红球的概率，再用加法公式计算作答.

(3)有放回取球和无放回取球时，分别求出两次都取到红球的概率，再用对立事件求出结果作答.

(1)

有放回取球时，每次取到一个绿球的概率都为，因此，取到两绿球的概率为；

无放回取球时，第一次取到绿球的概率为，第二次取到绿球的概率为，因此，取到两绿球的概率为.

(2)

取到两颜色相同的球是两次都取到绿球的事件与都取到红球的事件的和，它们互斥，

由(1)知，有放回取球时，取到两绿球的概率为，取到两红球的概率为，

因此，取到两颜色相同的球的概率为；

无放回取球时，取到两绿球的概率为，取到两红球的概率为，

因此，取到两颜色相同的球的概率为.

(3)

取到的两球中至少有一个为绿球的事件的对立事件为两次都取到红球的事件，由(2)知，

有放回取球时，取到的两球中至少有一个为绿球的概率为，

无放回取球时，取到的两球中至少有一个为绿球的概率为.

20．（2022·湖南·高一课时练习）甲、乙两人玩射击游戏，甲、乙射击命中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次命中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击，已知甲、乙两人射击一次命中的概率均为，且第一次由甲开始射击．

(1)求前3次射击中甲恰好命中2次的概率；

(2)求第4次由甲射击的概率．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由题意可得第1次射击，甲击中目标，第2次也击中目标，但第3次没有击中目标，根据相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；

（2）根据题意，分4中情况讨论，即可求得第4次由甲射击的概率．

(1)

解：由题意，前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，

但第3次没有击中目标，所以它的概率为.

(2)

解：根据题意，分为4种情况：

第3次由甲射击包括甲连续射击3次且都击中；

第1次甲射击击中，但第2次没有击中，第3次由乙射击没有击中；

第1次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第3次没有击中；

第1次甲没有击中，且乙射击第2次没有击中，第3次甲射击击中，

所以这件事的概率为.

21．（2021·全国·高一专题练习）垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为p，小亮每轮答对的概率为且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知一轮活动中，“明亮队”至少答对1道题概率为．

(1)求p的值；

(2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）设“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”，利用对立事件两人都没有答对可求解.

（2）设“两轮活动中小明答对了1道题”，“两轮活动中小亮答对了1道题”，，1，2，分别求出其概率，设“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则从而可得答案.

(1)

设 “一轮活动中小明答对一题”，

“一轮活动中小亮答对一题”，则，.

设“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”，

则，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，

所以A与B相互独立，从而与相互独立，

所以，

所以

(2)

设“两轮活动中小明答对了1道题”，“两轮活动中小亮答对了1道题”，，1，2.

由题意得，，

，

设“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，

则.由于和相互独立，则与互斥，

所以.

所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率为.

22．（2022·全国·高一专题练习）今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.

(1)求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据独立事件的概率公式计算；

（2）结合互斥事件、独立事件的概率公式计算．

(1)

设事件“甲学校回答正确这道题”，事件“乙学校回答正确这道题”，事件“丙学校回答正确这道题” ，

则，，，

∵各学校回答这道题是否正确是互不影响的.

∴事件A，B，C相互独立.

∴，

∴ ；

(2)

设事件“甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题”且两两互斥，

；

由于事件A，B，C相互独立.

所以

，

，

，