2020-2021学年第4章 数列4.2 等差数列备课课件ppt

这是一份2020-2021学年第4章 数列4.2 等差数列备课课件ppt，共47页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂演练，课时对点练，内容索引，a1＋n－1d，故a1＝10，课堂小结，基础巩固，为公差的等差数列，综合运用等内容，欢迎下载使用。

1.掌握等差数列的通项公式，能利用等差数列的通项公式进行基本 的运算.2.能在实际问题中抽象出等差数列，并解决一些简单的问题.
同学们，前面我们学习过数列的通项公式，我们是根据一个数列的前几项猜测或归纳出的这个数列的通项公式，但对于等差数列，就像是“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花”一样富有规律性和连续性，我们今天就一起来探讨等差数列的通项公式.
一、等差数列的通项公式
二、等差数列中的基本计算
三、等差数列的实际应用
问题　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d，左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝ _ .注意点：(1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式；(2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一.
例1　在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.
反思感悟　等差数列通项公式的求法与应用技巧(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可.(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.
跟踪训练1　在等差数列{an}中，求解下列各题：
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝______.
解析　设首项为a1，公差为d，
(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝______.
解析　由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，∴a15＝4×15－2＝58.
例2　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解　设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，∴每年的利润构成一个等差数列{an}，从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损.∴由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
反思感悟　解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题.
跟踪训练2　一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2 m，以后每秒都比前一秒多滑行4 m，又知离地前一秒滑行了58 m，则这架飞机起飞所用的时间为____秒.
解析　飞机起飞前每秒滑行的距离组成等差数列，记为{an}，其中a1＝2，d＝4，an＝58，代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得2＋4(n－1)＝58，所以n＝15(秒).
1.知识清单：(1)等差数列通项公式的推导.(2)等差数列基本量的运算.(3)等差数列的实际应用.2.方法归纳：定义法，累加法，公式法.3.常见误区：实际问题中项数的确定.
A.25 B.28 C.31 D.34
所以2a1＋10d＝32，a1＋d＝4，解得a1＝1，d＝3，所以a10＝a1＋9d＝28.
2.设{an}是公差为正数的等差数列，若a2＝5，a1a3＝16，则数列{an}的通项公式为A.－3n＋1 B.3n－1 C.－2n＋9 D.2n＋1
解析　设公差为d，∴d>0，
解得a1＝2，d＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
3.2 020是数列2,4,6,8，…的第A.1 008项 B.1 009项 C.1 010项　 D.2 020项
解析　数列2,4,6,8，…为等差数列，
由等差数列2,4,6可知其首项为2，公差为2，通项公式为an＝2＋(n－1)×2＝2n，令2n＝2 020，n＝1 010.
4.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费______元.
解析　根据题意知，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).
A.3n－1 B.3n＋2C.3n－2 D.3n＋1
2.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是
解析　依题意，得金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，
3.已知在等差数列 中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于A.90 B.96 C.98 D.100
解析　由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100.
又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，
A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1)C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1)
故an＝2(n＋1)2.
∴a6＝a1＋5d＝0.
8.体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，则队伍里一共有____人.
解析　由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150，设末项为第n项，则17＋7(n－1)＝150，解得n＝20，则队伍里一共有20人.
9.在等差数列{an}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
解　a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.
解　由an＝a1＋(n－1)d，得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
10.在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.(1)求数列的第10项；
解　设数列{an}的公差为d，
a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)问112是数列{an}的第几项？
解　an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，由112＝3n－5，解得n＝39.所以112是数列{an}的第39项.
所以n的取值为29,30，…，38，共10项.
(3)在80到110之间有多少项？
解　由80<3n－5<110，
12.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是
解析　设an＝－24＋(n－1)d，n∈N*，
13.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 021这2 021个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则a10等于A.190 B.211 C.232 D.253
解析　由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，
即an＝21n－20，∴a10＝21×10－20＝190.
15.意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用，该数列an满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，则该数列的前1 000项中，为奇数的项共有A.333项 B.334项C.666项 D.667项
解析　因为a1＝a2＝1为奇数，a3＝2为偶数，a4＝3，a5＝5为奇数，a6＝8为偶数，依此类推，a9，a12，…，a999为偶数.由999＝3＋3(n－1)＝3n，可得为偶数的项共有333项，那么为奇数的项共有667项.
16.某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元.设an为购买n件这类上衣所花费的金额(元)，求an.