高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试2

第二章《一元二次函数、方程和不等式》

单元测试2

一、单选题

1．不等式(x＋3)2＜1的解集是(　　)

A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4}

C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}

2．已知， ，则 和的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

3．不等式的解集为，则（    ）

A． B． C． D．

4．对，不等式恒成立，则a的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

5．已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运

A．3年 B．4年

C．5年 D．6年

7．若，，则的值可能是（    ）．

A． B． C．2 D．4

8．若，则下列结论中不恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

9．某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１（０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（　　）

A．１００台 B．１２０台 C．１５０台 D．１８０台

10．若关于x的不等式的解集是M，则对任意实常数k，总有（  ）

A． B． C． D．

11．当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

12．若不等式恒成立，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

二、填空题

13．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．

14．已知，则的最小值为______．

15．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约销售100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税元（叫作税率），则每年的销售量将减少万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税的金额不少于112万元，则的取值范围为______.

三、解答题

16．当都为正数且时，试比较代数式与的大小．

17．已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证：(-1)(-1)(-1)≥8．

18．已知且，求使不等式恒成立的实数m的取值范围．

19．已知关于的不等式，其中.

（1）当变化时，试求不等式的解集；

（2）对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）. 试探究集合能否为有限集？若 能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由.

20．解不等式：（为常数，）.

参考答案

1．C

【解析】

原不等式可化为x2＋6x＋8＜0，解得－4＜x＜－2.选C.

2．D

【解析】，

故有，

故选：D．

3．A

【解析】由题意，可得不等式的解集为，

所以是方程的两个根，

所以可得，，

解得，，所以，

故选：A．

4．A

【解析】不等式对一切恒成立，

当，即时，恒成立，满足题意；

当时，要使不等式恒成立，

需，即有，

解得.

综上可得，的取值范围为.

故选：A.

5．C

【解析】.

若，则，从而无最小值，不合乎题意；

若，则，.

①当时，无最小值，不合乎题意；

②当时，，则不恒成立；

③当时，，

当且仅当时，等号成立.

所以，，解得，因此，实数的最小值为.

故选：C.

6．C

【解析】可设y=a(x－6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11 ∴a=－1．

即y=－x2+12x－25，∴=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C．

7．C

【解析】，，．

故选：C.

8．D

【解析】因为，所以所以，即，故A，B正确.

因为，所以，所以故C正确.

当 时， ，故D错误.

故选：D

9．C

【解析】

解：依题意

利润0，整理得，解得

，又因为X∈（0，240），所以最低产量是150台．

10．A

【解析】由解得，即，又 ，，所以，.选A.

11．A

【解析】原不等式可化为，

由题意，可知只需当时，小于的最大值，

又对称轴为，开口向上，

所以当时，单调递减；

当时，单调递增；

因为，，

易得当时，的最大值是-4，所以.

故选A

12．C

【解析】原不等式转化为，

又，则

，当且仅当，即时等号成立，

则根据恒成立的意义可知，解得.

故选C

13．{x|2≤x<8}

【解析】由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，

所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}．

故答案为：{x|2≤x<8}

14．．

【解析】，当且仅当，解得，又因为，所以时等号成立．

故答案为：．

15．

【解析】设加附加税后，每年销售为万瓶，

则每年的销售收入为万元，从中征收的税金为万元，其中.

由题意，得，整理得，解得.

故答案为

16．

【解析】由题意，两式均为正数，做差之后结合均值不等式的结论可得.

因为，所以

因此

因为为正数，所以

因此，当且仅当时等号成立

17．证明见解析

【解析】主要考查不等关系与基本不等式．

证明：因为a, b, c且a+b+c=1，所以．

18．.

【解析】由，则．

当且仅当即时取到最小值16．

若恒成立，则．

19．⑴当时，；当且时，；

当时，；时，；

（2）

【解析】（1）当时，；

当且时，；

当时，；

当时，.

（2）由（1）知：当时，集合中的元素的个数无限；分

当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集.

因为，当且仅当时取等号，

所以当时，集合的元素个数最少.

此时，故集合.

20．当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为.

【解析】当时，原不等式等价于，解得或；

当时，原不等式等价于，解得；

当时，原不等式等价于，解得或；

当时，原不等式等价于，解得.

综上所述，当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为.