2021--2022学年高二数学下学期期中模拟卷09（人教A版2019新高考版本）

高二数学下学期期中模拟卷（9）（人教A版2019）

一．选择题（共8小题）

1．函数的导函数为　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用复合函数的求导公式求解即可．

【解答】解：函数，所以．

故选：．

2．将3封信入2个邮箱，共有　　种投法．

A．3 B．4 C．6 D．8

【分析】根据题意，分析可得每一封信有2种投法，由分步计数原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，将3封信入2个邮箱，每一封信有2种投法，

则3封信有种投法，

故选：．

3．曲线在点，处的切线方程为　　

A． B． C． D．

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案．

【解答】解：由，得，

，

又，

曲线在点，处的切线方程为．

故选：．

4．函数在，上的最大值为　　

A． B． C．2 D．

【分析】先求出函数的导数，利用导数的正负研究函数的单调性，由单调性即可得到函数的最大值．

【解答】解：函数，则，且，，

令，解得或，令，解得，

所以函数在上单调递增，在单调递减，

则，，

又，，

故函数在，上的最大值为．

故选：．

5．永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富．在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《祁阳小调》《道州调子戏》《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为　　

A．480 B．240 C．384 D．1440

【分析】利用插空法，即可求出．

【解答】解：先排《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《女书表演》四个节目，再将《祁阳小调》与《道州调子戏》插入所形成的空中，

故有种，

故选：．

6．若，为有理数），则　　

A． B．25 C．40 D．41

【分析】由二项式定理，得，由此能求出的值．

【解答】解：，为有理数），

由二项式定理，得，

故选：．

7．若函数在，上为增函数，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】先求导函数，原问题可转化为在区间，上恒成立，然后求出的取值范围．

【解答】解：函数在区间，上是增函数，

在区间，上恒成立，

即在区间，上恒成立，

实数的取值范围为，．

故选：．

8．已知函数，则函数，上的所有零点的和为　　

A．6 B．8 C． D．

【分析】利用函数的零点与方程根的关系，画出函数的图象，判断零点个数即可．

【解答】解：令，可得，函数的零点就是方程的根，

也就是两个函数与交点的横坐标，两个函数的图象如图，

由图象可知，两个函数共有8个交点，

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．下列各式正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据常函数，三角函数和幂函数的导数运算，逐一排除即可．

【解答】解：对于，，选项错误；

对于，，选项错误；

对于，，选项正确；

对于，，选项正确；

故选：．

10．已知，则下列结论正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】分别令，，，求出对应的，，选项，然后再求出展开式中含的项即可求出，由此即可判断．

【解答】解：令，则①，故错误，

令，则，故正确，

令，则②，

①②可得：，故正确，

展开式中含的项为，

故，所以错误，

故选：．

11．如图，小明、小红分别从街道的、处出发，到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则　　

A．小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3 

B．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35 

C．若小明不经过处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32 

D．若小明先到处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为18

【分析】分析可知，当纵向的路径确定后，横向的路径也是确定的，故只需要确定纵向的路径的种数，同时注意到不能后退，从而结合图象，分类讨论求各选项的路径数．

【解答】解：如图，小红到老年公寓的最短路径有：

，，，共3条，故正确；

由小红到老年公寓的最短路径可知，

当纵向的路径确定后，横向的路径也是确定的，

从左向右分别标为1，2，3，4，5，

小明确定出最短路径有三条纵向的路径可以选择，

①若三条纵向的路径标号相同，共5种，

②若三条纵向的路径标号两条相同，共有种，

③若三条纵向的路径标号各不相同，共有种，

故小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35种，故正确；

同理，由到的最短路径共有种，

故若小明先到处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，

则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故正确；

故若小明不经过处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种，

故错误；

故选：．

12．已知函数，下列选项正确的是　　

A．图像关于点成中心对称 

B．若有三个不同的解，，，则， 

C．对任意实数，函数在上单调递增 

D．当时，若过点可以作函数的三条切线，则

【分析】直接利用函数的导数和函数的单调性的关系，函数的图象和对称性的关系，函数的导数的几何意义的应用判断、、、的结论．

【解答】解：函数，

对于，故函数的图象关于成中心对称，故正确；

对于：由于函数有三个实根，故，

所以，，故正确；

对于：函数的导数，当时，函数不恒大于或等于0，故错误；

对于：当时，，所以，

设切点的坐标为，

故斜率，

切线为：，

点在切线上，

故，

即关于的方程有3个解，

设，

故，

令有，

所以在和单调递减，在上单调递增；

由于，（3）；

所以，故正确；

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．函数的最大值为 　　．

【分析】求出，利用导数的正负判断函数的单调性，由此求出函数的最大值即可．

【解答】解：函数，

则，

令，解得，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

所以当时，函数取得最大值（1）．

故答案为：．

14．已知，则的值为　4或6　．

【分析】由题意利用组合数的性质，可得结论．

【解答】解：，，或，

解得，或，

故答案为：4或6．

15．秉辰“新时代、共享未来”的主题．第四届”进博会”于2021年11月5至10日在上海召开．某高校派出2名女教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天安排1人，每人工作1天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那么符合条件的不同安排方案共有 　48　种．

【分析】根据题意，由排除法分析：先计算“不考虑限制条件”的全部安排方法数目，再计算“男教师相邻”、“女教师相邻”和“男教师和女教师都相邻”的排法数目，由此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，不考虑限制条件，5人安排在5天进行志愿活动，有种安排方法，

其中2名男教师相邻的有种，2名女教师相邻的有种，

男教师和女教师都相邻的有种，

则有种安排方法，

故答案为：48．

16．已知函数的导函数为，且函数的图像经过点，函数的表达式为 　　；若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为 　　．

【分析】利用待定系数法设，利用点，求出的值，即可得到的解析式；对任意一个负数，不等式恒成立，

转化为对恒成立，构造函数，利用导数以及零点的存在性定义求解的最大值，即可得到答案．

【解答】解：由题意，，设，

因为函数的图像经过点，

则，即，

故；

对任意一个负数，不等式恒成立，

即对恒成立，

令，则，

，

令，解得，

当时，，故单调递减，

当时，，故单调递增，

又，，

故存在，使得，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

所以当时，取得最大值，

因为中，，，

故，

所以的最大值，

当时，，

又整数，

所以的最小值为2．

故答案为：；2．

四．解答题（共6小题）

17．请从下面二个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答．

①第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9；

②二项式的常数项为．

问题：在二项式展开式中，_____．

（1）求奇数项的二项式系数的和；

（2）求该二项展开式中的系数．

【分析】选择条件①，由题意可知，，解得，

（1）根据题意，分别列出奇数项的二次项系数，并求和，即可求解．

（2）根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．

选择条件②，由二项式定理得展开式的通项为，根据题意，得，分，讨论，即可求得，

（1）根据题意，分别列出奇数项的二次项系数，并求和，即可求解．

（2）根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．

【解答】解：选择条件①

由题意可知，，，

解得：，

（1）奇数项的二项式系数的和．

（2）由二项式定理得展开式的通项为，

根据题意，得，，

因此，的系数是．

选择条件②

由二项式定理得展开式的通项为，

根据题意，得，

因此，为奇数，

当时，，不合题意，

当时，，符合题意．

所以．

（1）奇数项的二项式系数的和．

（2）由二项式定理得展开式的通项为，

根据题意，得，，

因此，的系数是．

18．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点，（e）的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间．

【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得（e），又（e），再由直线方程的点斜式得答案；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由，求解函数的增区间，由，求解函数的减区间．

【解答】解：（Ⅰ）由，得，

（e），又（e），

曲线在点，（e）的切线方程为，

即；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

由，得，由，得，

的单调减区间为，单调增区间为，．

19．一组学生共有7人．

（1）如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？

（2）如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有648种，问该组学生中男、女生各有多少人？

【分析】（1）根据组合的定义即可求出；

（2）设有男生人，女生则有人，根据分步计数原理得，列出方程，解方程求得．

【解答】解：（1）所有的不同选法种数，就是从7名学生中选出3人的组合数，所以选法种数为．

（2）设有男生人，女生则有人，

从这7人中选出2名男生2女生方法有种

要求每人参加一项且每项活动都有人参加种，

根据分步乘法计数原理得，

所以，且，

解得，或，

所以该组学生中男生3人，女生4人或男生4人，女生3人．

20．如图，一个面积为6400平方厘米的矩形纸板，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边，的长分别为厘米和厘米，其中．

（1）当，求纸盒侧面积的最大值；

（2）试确定，，的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

【分析】（1）当时，，纸盒的底面是正方形，边长为，周长为，所以纸盒的侧面积，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．

（2）纸盒的体积，其中，且，因为，当且仅当时取等号，所以，，记，，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．

【解答】解：（1）当时，，纸盒的底面是正方形，边长为，周长为，

所以纸盒的侧面积，其中，

令，得，

所以当时，，可知在区间上单调递增，

当时，，可知在区间上都单调递减，

的最大值为，

所以当时，纸盒侧面积的最大值为3200平方厘米．

（2）纸盒的体积，其中，且，

因为，

当且仅当时取等号，

所以，，

记，，

则，

令，得，列表如下：

由上表可知，的极大值是，也是最大值，

所以当，且时，纸盒的体积最大，最大值为立方厘米．

21．已知．

（1）若存在最小值，求此时的取值范围，并求出的最小值；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

【分析】（1）求出导函数，讨论当时，当时，分别判断是否存在最小值，再利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值即可；

（2）利用参变量分离法将不等式恒成立转化为对恒成立,构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出的最小值即可．

【解答】解：（1），则，

①当时，恒成立，所以在上单调递增，故不存在最小值，不符合题意‘

②当时，令，解得，

当时，，故单调递减，当时，，故单调递增，

所以当时，取得最小值为．

综上所述，的取值范围为，的最小值为；

（2）当时，恒成立，即对恒成立，

等价于对恒成立,

令,则，

令，则，则对恒成立，

所以在,上单调递增，所以，

则在,上单调递增，所以（1），

故在,上单调递增，所以（1），即的最小值为2，

所以．

22．已知函数．

（1）判断函数的单调性；

（2）设，求证：当时，．

【分析】（1）求出的定义域，的导函数，对分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解；

（2）当时，利用放缩法可得，令，利用导数可求得，从而证得．

【解答】（1）解：的定义域为．

因为，

当时，，所以在区间上单调递增；

当时，令，得，

所以当时，，可知在区间上单调递增；

当时，，可知在区间上单调递减．

（2）证明：当时，

．

令，则，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以（e），

所以．

所以，

所以，

所以．