2021--2022学年高二数学下学期期中模拟卷09（人教A版2019新高考版本）

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高二数学下学期期中模拟卷（9）（人教A版2019）一．选择题（共8小题）1．函数的导函数为　　A． B． C． D．【分析】直接利用复合函数的求导公式求解即可．【解答】解：函数，所以．故选：．2．将3封信入2个邮箱，共有　　种投法．A．3 B．4 C．6 D．8【分析】根据题意，分析可得每一封信有2种投法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，将3封信入2个邮箱，每一封信有2种投法，则3封信有种投法，故选：．3．曲线在点，处的切线方程为　　A． B． C． D．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案．【解答】解：由，得，，又，曲线在点，处的切线方程为．故选：．4．函数在，上的最大值为　　A． B． C．2 D．【分析】先求出函数的导数，利用导数的正负研究函数的单调性，由单调性即可得到函数的最大值．【解答】解：函数，则，且，，令，解得或，令，解得，所以函数在上单调递增，在单调递减，则，，又，，故函数在，上的最大值为．故选：．5．永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富．在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《祁阳小调》《道州调子戏》《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为　　A．480 B．240 C．384 D．1440【分析】利用插空法，即可求出．【解答】解：先排《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《女书表演》四个节目，再将《祁阳小调》与《道州调子戏》插入所形成的空中，故有种，故选：．6．若，为有理数），则　　A． B．25 C．40 D．41【分析】由二项式定理，得，由此能求出的值．【解答】解：，为有理数），由二项式定理，得，故选：．7．若函数在，上为增函数，则的取值范围为　　A．， B．， C．， D．，【分析】先求导函数，原问题可转化为在区间，上恒成立，然后求出的取值范围．【解答】解：函数在区间，上是增函数，在区间，上恒成立，即在区间，上恒成立，实数的取值范围为，．故选：．8．已知函数，则函数，上的所有零点的和为　　A．6 B．8 C． D．【分析】利用函数的零点与方程根的关系，画出函数的图象，判断零点个数即可．【解答】解：令，可得，函数的零点就是方程的根，也就是两个函数与交点的横坐标，两个函数的图象如图，由图象可知，两个函数共有8个交点，故选：．二．多选题（共4小题）9．下列各式正确的是　　A． B． C． D．【分析】根据常函数，三角函数和幂函数的导数运算，逐一排除即可．【解答】解：对于，，选项错误；对于，，选项错误；对于，，选项正确；对于，，选项正确；故选：．10．已知，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．【分析】分别令，，，求出对应的，，选项，然后再求出展开式中含的项即可求出，由此即可判断．【解答】解：令，则①，故错误，令，则，故正确，令，则②，①②可得：，故正确，展开式中含的项为，故，所以错误，故选：．11．如图，小明、小红分别从街道的、处出发，到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则　　A．小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3 B．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35 C．若小明不经过处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32 D．若小明先到处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为18【分析】分析可知，当纵向的路径确定后，横向的路径也是确定的，故只需要确定纵向的路径的种数，同时注意到不能后退，从而结合图象，分类讨论求各选项的路径数．【解答】解：如图，小红到老年公寓的最短路径有：，，，共3条，故正确；由小红到老年公寓的最短路径可知，当纵向的路径确定后，横向的路径也是确定的，从左向右分别标为1，2，3，4，5，小明确定出最短路径有三条纵向的路径可以选择，①若三条纵向的路径标号相同，共5种，②若三条纵向的路径标号两条相同，共有种，③若三条纵向的路径标号各不相同，共有种，故小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35种，故正确；同理，由到的最短路径共有种，故若小明先到处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故正确；故若小明不经过处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种，故错误；故选：．12．已知函数，下列选项正确的是　　A．图像关于点成中心对称 B．若有三个不同的解，，，则， C．对任意实数，函数在上单调递增 D．当时，若过点可以作函数的三条切线，则【分析】直接利用函数的导数和函数的单调性的关系，函数的图象和对称性的关系，函数的导数的几何意义的应用判断、、、的结论．【解答】解：函数，对于，故函数的图象关于成中心对称，故正确；对于：由于函数有三个实根，故，所以，，故正确；对于：函数的导数，当时，函数不恒大于或等于0，故错误；对于：当时，，所以，设切点的坐标为，故斜率，切线为：，点在切线上，故，即关于的方程有3个解，设，故，令有，所以在和单调递减，在上单调递增；由于，（3）；所以，故正确；故选：．三．填空题（共4小题）13．函数的最大值为 　　．【分析】求出，利用导数的正负判断函数的单调性，由此求出函数的最大值即可．【解答】解：函数，则，令，解得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，函数取得最大值（1）．故答案为：．14．已知，则的值为　4或6　．【分析】由题意利用组合数的性质，可得结论．【解答】解：，，或，解得，或，故答案为：4或6．15．秉辰“新时代、共享未来”的主题．第四届”进博会”于2021年11月5至10日在上海召开．某高校派出2名女教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天安排1人，每人工作1天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那么符合条件的不同安排方案共有 　48　种．【分析】根据题意，由排除法分析：先计算“不考虑限制条件”的全部安排方法数目，再计算“男教师相邻”、“女教师相邻”和“男教师和女教师都相邻”的排法数目，由此分析可得答案．【解答】解：根据题意，不考虑限制条件，5人安排在5天进行志愿活动，有种安排方法，其中2名男教师相邻的有种，2名女教师相邻的有种，男教师和女教师都相邻的有种，则有种安排方法，故答案为：48．16．已知函数的导函数为，且函数的图像经过点，函数的表达式为 　　；若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为 　　．【分析】利用待定系数法设，利用点，求出的值，即可得到的解析式；对任意一个负数，不等式恒成立，转化为对恒成立，构造函数，利用导数以及零点的存在性定义求解的最大值，即可得到答案．【解答】解：由题意，，设，因为函数的图像经过点，则，即，故；对任意一个负数，不等式恒成立，即对恒成立，令，则，，令，解得，当时，，故单调递减，当时，，故单调递增，又，，故存在，使得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值，因为中，，，故，所以的最大值，当时，，又整数，所以的最小值为2．故答案为：；2．四．解答题（共6小题）17．请从下面二个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答．①第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9；②二项式的常数项为．问题：在二项式展开式中，_____．（1）求奇数项的二项式系数的和；（2）求该二项展开式中的系数．【分析】选择条件①，由题意可知，，解得，（1）根据题意，分别列出奇数项的二次项系数，并求和，即可求解．（2）根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．选择条件②，由二项式定理得展开式的通项为，根据题意，得，分，讨论，即可求得，（1）根据题意，分别列出奇数项的二次项系数，并求和，即可求解．（2）根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．【解答】解：选择条件①由题意可知，，，解得：，（1）奇数项的二项式系数的和．（2）由二项式定理得展开式的通项为，根据题意，得，，因此，的系数是．选择条件②由二项式定理得展开式的通项为，根据题意，得，因此，为奇数，当时，，不合题意，当时，，符合题意．所以．（1）奇数项的二项式系数的和．（2）由二项式定理得展开式的通项为，根据题意，得，，因此，的系数是．18．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（e）的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得（e），又（e），再由直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由，求解函数的增区间，由，求解函数的减区间．【解答】解：（Ⅰ）由，得，（e），又（e），曲线在点，（e）的切线方程为，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由，得，由，得，的单调减区间为，单调增区间为，．19．一组学生共有7人．（1）如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？（2）如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有648种，问该组学生中男、女生各有多少人？【分析】（1）根据组合的定义即可求出；（2）设有男生人，女生则有人，根据分步计数原理得，列出方程，解方程求得．【解答】解：（1）所有的不同选法种数，就是从7名学生中选出3人的组合数，所以选法种数为．（2）设有男生人，女生则有人，从这7人中选出2名男生2女生方法有种要求每人参加一项且每项活动都有人参加种，根据分步乘法计数原理得，所以，且，解得，或，所以该组学生中男生3人，女生4人或男生4人，女生3人．20．如图，一个面积为6400平方厘米的矩形纸板，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边，的长分别为厘米和厘米，其中．（1）当，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定，，的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【分析】（1）当时，，纸盒的底面是正方形，边长为，周长为，所以纸盒的侧面积，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．（2）纸盒的体积，其中，且，因为，当且仅当时取等号，所以，，记，，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．【解答】解：（1）当时，，纸盒的底面是正方形，边长为，周长为，所以纸盒的侧面积，其中，令，得，所以当时，，可知在区间上单调递增，当时，，可知在区间上都单调递减，的最大值为，所以当时，纸盒侧面积的最大值为3200平方厘米．（2）纸盒的体积，其中，且，因为，当且仅当时取等号，所以，，记，，则，令，得，列表如下：0单调递增极大值单调递减由上表可知，的极大值是，也是最大值，所以当，且时，纸盒的体积最大，最大值为立方厘米．21．已知．（1）若存在最小值，求此时的取值范围，并求出的最小值；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【分析】（1）求出导函数，讨论当时，当时，分别判断是否存在最小值，再利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值即可；（2）利用参变量分离法将不等式恒成立转化为对恒成立,构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出的最小值即可．【解答】解：（1），则，①当时，恒成立，所以在上单调递增，故不存在最小值，不符合题意‘②当时，令，解得，当时，，故单调递减，当时，，故单调递增，所以当时，取得最小值为．综上所述，的取值范围为，的最小值为；（2）当时，恒成立，即对恒成立，等价于对恒成立,令,则，令，则，则对恒成立，所以在,上单调递增，所以，则在,上单调递增，所以（1），故在,上单调递增，所以（1），即的最小值为2，所以．22．已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）设，求证：当时，．【分析】（1）求出的定义域，的导函数，对分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解；（2）当时，利用放缩法可得，令，利用导数可求得，从而证得．【解答】（1）解：的定义域为．因为，当时，，所以在区间上单调递增；当时，令，得，所以当时，，可知在区间上单调递增；当时，，可知在区间上单调递减．（2）证明：当时，．令，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以（e），所以．所以，所以，所以．