2021--2022学年高二数学下学期期中模拟卷07（人教A版2019新高考版本）

高二数学下学期期中模拟卷（7）（人教A版2019）

一、单选题

1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（理））设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案.

【详解】

由函数的图象可知, 在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时, ;当x∈(0,2)时, .

因为可化为或，解得：0<x<2或x<0,

所以不等式的解集为.

故选:C

2．（2022·福建·古田县第一中学高二阶段练习）函数在处有极值10，则为（       ）

A． B．15 C．或15 D．不存在

【答案】B

【解析】

【分析】

依据函数极值的定义列方程组即可求得的值.

【详解】

由，得

则，解之得或

当时，，

则在定义域上单调递增，在处无极值，不符合题意，舍去.

当时，，

则在处取极小值10，符合题意.

则

故选：B

3．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高二开学考试）记为等比数列的前n项和.已知，则公比q为（       ）

A． B．1 C． D．1或

【答案】D

【解析】

【分析】

就公比是否为1分类讨论可得q的值.

【详解】

∵，

①当时，，满足条件.

②当时，可得解得.

综上可知：或.

故选：D.

4．（2022·江苏省南菁高级中学高二阶段练习）乘积展开后的项数是（        ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用乘法计数原理可得结果.

【详解】

由题意可知乘积展开后的项数是.

故选：C.

5．（2022·福建·古田县第一中学高二阶段练习）设，，（），则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用函数的单调性对a，b，c进行大小比较即可.

【详解】

令，则

由，得，由，得

则在单调递减，在单调递增，在时取最小值.

故，且

又由，可得，则

即，则

综上，有，即

故选：A

6．（2022·重庆·高二期末）已知等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

结合等差数列的性质求得公比，然后由等比数列的性质得结论．

【详解】

设的公比为，　因为，，成等差数列，

所以，即，，或（舍去，因为数列各项为正）．

所以．

故选：A．

7．（2022·湖南·高二阶段练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（       ）

A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种

【答案】D

【解析】

【分析】

先从A区域涂色，讨论B，D区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C，E，F区域涂色方法，应用分类分步计数原理求不同涂色方法数.

【详解】

1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．

2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．

故不同的涂色方法共有756种．

故选：D

8．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知a，，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

得出答案可用特殊值法，严谨证明则要构造函数，判断不等式

【详解】

法1：令，；，．

法2：由于，则，分析．

令，则，

可知，故在上单调递减

时，，

同理时，，

法3：由不等式链：当时，，

当时，，由于在上单调递增，则；

由不等式链：当时，，

当时，，由于在上单调递增，则．

故选：D

二、多选题

9．（2022·江苏省南菁高级中学高二阶段练习）关于排列组合数，下列结论正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据排列数计算公式，可判断A错误，D正确；根据组合数的性质或组合数的计算公式，可得出B正确；利用排列与组合的关系可判断C错误.

【详解】

解：，而，故A选项错误；

，，所以，故B正确；

，，所以，故C错误；

，故D正确；

综上所述，故选：BD.

10．（2022·山西运城·高二阶段练习）在的展开式中，二项式的系数和为，则下列说法正确的是（       ）

A． B．展开式中各项系数和为

C．第项的二项式系数最大 D．展开式中所有系数的绝对值的和为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据二项式定理相关性质计算即可.

【详解】

由二项式定理可知，二项式系数之和为，解得，A选项正确；

令，得，B选项正确；

时，的展开式共项，二项式系数最大的项为第项，C选项错误；

，则，，，为负数，，，，，为正数，故展开式中所有系数的绝对值的和为，令，得，D选项正确；

故选：ABD.

11．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．的最小值为

C．

D．当且仅当时，取最大值

【答案】AB

【解析】

【分析】

由递推关系式可得，知数列为等差数列，由等差数列通项公式可知A正确；由通项公式可知当时，，知B正确；分别在和求得的前项和，知C错误；由当时，，可知D错误.

【详解】

对于A，由得：，

数列为等差数列，设其公差为，则，

，A正确；

对于B，，且当时，，的最小值为，B正确；

对于C，令，解得：，则当时，；

当时，；

当时，；

综上所述：，C错误；

对于D，当时，；当时，；当时，；

当或时，取最大值，D错误.

故选：AB.

12．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线分别与函数和的图像交于点，，则下列不等式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据反函数的知识可得函数和的图像关于直线对称，然后可得，，然后利用均值不等式可判断A，利用可得，，然后可判断B，由可得，然后利用函数的单调性可判断C，由可得，然后可判断D.

【详解】

因为函数和的图像关于直线对称，

又因为直线的斜率1与直线的斜率的乘积为，

因此直线与直线互相垂直，显然直线也关于直线对称，

解方程组得所以直线和的交点为，

所以，，

，，，．

对于选项A，因为，，，

所以，故A正确；

对于选项B，因为，关于点对称，

所以有，

因此有，即，

因为点在直线上，而，

所以，因此，显然函数在上单调递增，

所以，故B正确；

对于选项C，因为，，，

所以，因此有，

设函数，，

因为，所以，因此函数单调递增，

当时，有，即，

因此有，故C错误；

对于选项D，因为，关于点对称，

所以，因此，

所以，

即，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．（2022·浙江·高二阶段练习）将1，2，3，4，5这5个数字自左向右排成一行，要求数字4，5都不能排在两端，则不同的排法共有_______种.（用数字作答）

【答案】36

【解析】

【分析】

先从1，2，3中选2个数排在两端，再将剩下的一个数和4，5全排列，然后利用分步计数原理求解.

【详解】

解：由题意，先从1，2，3中选2个数排在两端，有种方法；

再将剩下的一个数和4，5全排列，有种方法；

然后由分步计数原理得，共有种方法，

故答案为：36

14．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则数列的前n项和的最小值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

利用给定条件求出等差数列的通项，确定其所有非正数项即可计算作答.

【详解】

因成等比数列，则，即，解得，因此，，

由得：，于是得等差数列是递增数列，前5项均为非正数，从第6项起为正数，

而，则有数列的前4项和与前5项和相等，并且最小，，

所以数列的前n项和的最小值为.

故答案为：

15．（2022·上海·格致中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为（为实数），若是严格增数列，则的取值范围为______

【答案】

【解析】

【分析】

由已知条件推导出对恒成立，即可求出的取值范围.

【详解】

因为数列的通项公式为，且是严格增数列，

所以，即

所以对恒成立，所以.

所以的取值范围为.

故答案为：

16．（2022·江苏省南菁高级中学高二阶段练习）已知函数，且对任意的恒成立，则整数的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最小值的取值范围，即可得出整数的最大值.

【详解】

由题意可知，对任意的，，

构造函数，其中，则，

令，其中，，

所以，函数在上单调递增，

因为，，

所以存在，使得，即，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，

所以，，故整数的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

四、解答题

17．（2022·江苏省南菁高级中学高二阶段练习）（1）解不等式；

（2）求的值 ．

【答案】（1）的取值集合为；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用组合数公式化简可得出关于的不等式，结合的取值范围可得出的取值；

（2）根据题意列出关于的不等式组，结合可求得的值，再结合排列数公式可求得结果.

【详解】

解：（1）由得，

整理得，整理可得，解得，

因为且，故的取值集合为；

（2）由已知可得，解得，因为，所以，

因此，.

18．（2022·浙江省浦江中学高二阶段练习）已知函数，

(1)若，求的极值；

(2)当时，在上的最大值为，求在该区间上的最小值．

【答案】(1)极大值为，极小值为

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用导数可求得单调性，由此得到极值点，代入可得极值；

（2）利用导数可求得单调性，结合，可知，利用可构造方程求得，从而得到.

(1)

当时，，，

令，解得：，，

则变化情况如下表：

的极大值为；极小值为

(2)

，，又，；

令，解得：，；

则变化情况如下表：

在，上单调递增，在上单调递减，

，，，

又，，

在上的最大值为，解得：；

.

19．（2022·上海市松江二中高二阶段练习）在一次招聘会上，应聘者小李被甲､乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%.

(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？

(2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？（参考数据：，，，

【答案】(1)万元

(2)小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入．

【解析】

【分析】

（1）依题意可得小李在乙公司工作第年的年薪为，代入，即可得解；

（2）求出小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入，小李在乙公司工作10年的总收入，建立不等式，即可得出结论．

(1)

解：依题意，小李在乙公司工作第年的年薪为．

所以小李在乙公司连续工作5年，则万元；

(2)

解：由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为，

小李在乙公司工作10年的总收入，

则，

，

，

小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入．

20．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数在处取得极值

(1)求函数的单调性；

(2)证明：对于任意的正整数，不等式都成立.

【答案】(1)增区间是，减区间是

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求导，利用极值点列方程求出，代入，求导即可得单调性；

（2）由（1）可得，令，则，利用其即可证明不等式.

(1)

，为的极值点

，令

的增区间是，减区间是；

(2)

由（1）知当时，，即

令，则，即

，

即

21．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由，

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）对题干条件变形得到是首项为4，公比时2的等比数列，利用等比数列通项公式求出答案；（2）假设存在，根据题意得到，结合，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，求出，故矛盾，得到答案.

(1)

，变形为：，，其中，所以是首项为4，公比为2的等比数列，故，即，

当时，，其中满足上式，综上：的通项公式为

(2)

不存在，理由如下：

由（1）知：，，由题意得：，所以，

假设存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，所以，即，由于m，k，p成等差数列，故，所以，所以，即，即，所以，进而得到，这与假设矛盾，故在数列中是否不存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.

22．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数.

(1)若恒成立，求实数a的取值范围，

(2)若，证明.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）将恒成立，转化为恒成立，然后由求解；

（2）由（1）知，得到，由条件得到，然后将证，转化为证，令，转化为证，然后令证明.

(1)

解：因为函数的定义域为，

所以恒成立等价于恒成立，

所以.

令，则.

当时，，单调递增；当时，单调递减.

所以，

故，即实数a的取值范围是.

(2)

证明：由（1）知，即，

由，，得，

所以.

要证，只需证，

即证，即，

即，也就是.

整理得，即证.

令，则要证.

令，

则，

所以在上单调递增，

所以.

所以当时，，故原结论成立，

即.

【点睛】

关键点点睛：本题第二问关键是将，变形为，结合，，，转化为而得证.