2021--2022学年高二数学下学期期中模拟卷01（人教A版2019新高考版本）

高二数学下学期期中模拟卷（1）（人教A版2019）

考试时间：120分钟   满分：150分

测试范围：函数与导数、计数原理与概率统计

一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若函数的导函数为，且满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

求导得，再代入即可计算出.

【详解】

由题意，所以，得.

故选：C.

2．造纸术､印刷术､指南针､火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治､经济､文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁､扫码支付､共享单车和网购．若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

这是一个古典概型，先求得从8个发明中任取两个发明的基本事件数，再求得两个都是新四大发明基本事件数，代入公式求解.

【详解】

从8个发明中任取两个发明共有种，

两个都是新四大发明的有种，

∴所求概率为，

故选：C

3．若，则的值为                    

A． B． C．. D．

【答案】C

【解析】

【详解】

在所给的算式中，令可得：，由二次项的展开式可得：，据此可得：.

本题选择C选项.

点睛：求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.

4．下列结论正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【解析】

【分析】

根据基本初等函数的求导法则，对选项一一判断即可得解.

【详解】

解：选项A，由三角函数的求导法则知，A正确；

选项B，若，则，即B错误；

选项C，若，则，即C错误；

选项D，若，则，即D错误.

故选：A.

5．函数，若关于x的方程有四个不等的实数根，则实数a的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

作出函数的大致图象，令，则原问题可转为关于t的方程有2个不等实根和，结合的图象可确定和符合两种情形：，或，，最后分两类讨论即可求得a的取值范围.

【详解】

当时，，∴，

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

函数的大致图象如图所示：令，

当或4时，方程有2个实根；

当，方程有1个实根.

当t∈（0，4）时，方程t＝f（x）有3个实根；

则关于x的方程有四个不等的实数根可等价于关于t的方程有2个不等实根和.

∴和可符合两种情形：,或∈（0，4），.

若，，则；

若∈（0，4），，设g（t）＝t2﹣at+4a﹣a2，

则g（0）•g（4）＜0，∴，解得.

综上，实数a的取值范围为.

故选：C.

【点睛】

本题考查方程根的问题，利用导数研究函数的单调性与最值，考查学生的数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

6．设函数在上单调递增，则实数的取值范围(　　)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【详解】

分析：求得函数的导数，令，求得函数的递增区间，又由在上单调递增，列出不等式组，即可求解实数的取值范围．

详解：由函数，可得，

令，即，即，解得，

所以函数在上单调递增，

又由函数在上单调递增，所以，解得，故选A．

点睛：本题主要考查了根据函数的单调性利用导数求解参数的取值范围问题，其中熟记导函数的取值正负与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

7．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有

A．20个 B．48个 C．52个 D．120个

【答案】C

【解析】

【分析】

由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目；②若0不在个位，要排除0在首位的可能，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案．

【详解】

根据题意，分2种情况讨论：

①若0在个位，

此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A52=20个没有重复数字的三位偶数；

②若0不在个位，

此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，

0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，

此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数，

综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数．

故选C．

【点睛】

本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．

8．设函数有且仅有一个零点，则实数的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

对实行参变分离，对新函数的图象求导，研究其导函数的正负，得新函数的单调性，从而求出新函数的最趋势和最值，求得的范围.

【详解】

令因为所以

令得

时，所以在上单调递增；

时，所以在上单调递减；

所以在处取得最大值,又

要使有且仅有一个零点，

则的值为.

故选B

【点睛】

本题关键在于对实行参变分离，转化为求新函数的图象趋势和最值，属于难度题.

二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.

9．变量，的个样本点，，，及其线性回归方程，下列说法正确的有（       ）

A．相关系数的绝对值越接近1，表示，的线性相关程度越强

B．相关指数的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好

C．残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好

D．若，则点一定在线性回归方程上

【答案】ABD

【解析】

【分析】

当r的绝对值|r|越接近1时，两个随机变量的线性相关性越强，故选项A正确；

R2越大，说明模型的拟合效果越好，故选项B正确；

残差的平方和越大，说明拟合效果越差，故选项C错误；

样本中心一定在线性回归方程上，故选项D正确．

【详解】

解：由线性相关系数的意义可知，当r的绝对值|r|越接近1时，两个随机变量的线性相关性越强，故选项A正确；

用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故选项B正确；

拟合效果的好坏是由残差的平方和来体现的，残差的平方和越大，说明拟合效果越差，故选项C错误；

样本中心一定在线性回归方程上，故选项D正确．

故选：ABD．

10．已知，为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

通过构造函数法，结合导数对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

依题意0＜a＜b＜1，e为自然对数的底数，

对于A，设 f（x）＝xex，0＜x＜1，则＝（x+1）ex＞0，f（x）在 （0，1）上单调递增，

故 f（a）＜f（b），即 aea＜beb，故A正确；

对于B，设 h（x）＝（0＜x＜1），则h′（x）＝＜0在 （0，1）上恒成立，故函数h（x）在 （0，1）上单调递减，

故 h（a）＞h（b），即＞，故 bea＞aeb，故B正确；

对于C，设 t（x）＝xlnx（0＜x＜1），则 t′（x）＝lnx+1，当x∈（0，） 时，t′（x）＜0，当x∈（，1）时，t′（x）＞0，

故 t（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，t（a）与t（b）的大小关系不确定，故C错误；

对于D，设g（x）＝（0＜x＜1），则g′（x）＝＞0，函数g（x）在 （0，1）上单调递增，

故g（a）＜g（b），即＜，化为blna＜alnb，即lnab＜lnba，即ab＜ba，故D正确.

故选：ABD

11．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（       ）

A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06

B．任取一个零件是次品的概率为0.0525

C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为

D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为

【答案】BD

【解析】

【分析】

记A：车床加工的零件为次品，记Bi：第i台车床加工的零件，根据已知确定P(A|B1)、P(A|B2)、P(A|B3)、P(B1)、P(B2)、P(B3)，再利用条件概率公式、全概率公式判断各选项描述中的概率是否正确即可.

【详解】

记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，则P(A|B1)＝6%，P(A|B2)＝P(A|B3)＝5%，又P(B1)＝25%，P(B2)＝30%，P(B3)＝45%，

A：任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)＝6%×25%＝1.5%，故错误；

B：任取一个零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)＝6%×25%+5%×75%＝5.25%，故正确；

C：如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)＝＝＝＝，故错误；

D：如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)＝＝＝＝，故正确；

故选：BD．

12．已知，展开式的各项系数和为1024，下列说法正确的是（       ）

A．展开式中偶数项的二项式系数和为256

B．展开式中第6项的系数最大

C．展开式中存在常数项

D．展开式中含项的系数为45

【答案】BC

【解析】

【分析】

由结合展开式的各项系数和得出，再由二项式定理的性质逐一判断即可.

【详解】

解：∵展开式的各项系数之和为1024，

∴，

∵a＞0，∴a＝1．

原二项式为，其展开式的通项公式为：

展开式中偶数项的二项式系数和为×1024＝512，故A错；

因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对；

令，即展开式中存在常数项，C对；

令，D错．

故选：BC．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为 ______．

【答案】180

【解析】

【分析】

根据题设，先从A区块着色，判断各部分的着色方案数，即可求不同的着色方法种数.

【详解】

按A、B、C、D顺序着色，

A区块有5种着色方案，

B区块有4种着色方案，

C区块有3种着色方案，

D区块有3种着色方案，

故不同的着色方法种数为5×4×3×3＝180，

故答案为：180．

14．若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

将x6改写为[1+(1+x)]6，根据题设展开式及展开式通项，即可求的值.

【详解】

x6＝[1+(1+x)]6＝a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+……+a6(x+1)6，

∴a3＝(1)3＝20，

故答案为：20．

15．若随机变量，，若，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

解不等式1﹣（1﹣p）3＝0.657得到p＝0.3，再利用正态分布求解.

【详解】

解：∵P（X≥1）＝0.657，

∴1﹣（1﹣p）3＝0.657，即（1﹣p）3＝0.343，解得p＝0.3，

∴P（0＜Y＜2）＝p＝0.3，

∴P（Y＞4）＝＝．

故答案为：0.2．

16．有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为 ________________．

【答案】

【解析】

【分析】

每个人自第二层开始在每一层离开电梯的概率都是，再利用独立事件的概率公式求解.

【详解】

解：∵每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，

∴每个人自第二层开始在每一层离开电梯的概率都是，

根据相互独立事件的概率乘法公式可得这2个人在不同楼层离开的概率为P＝（）×（）＝．

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在某校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从、、、四首不同曲目中任选一首.

（1）求甲、乙两班选择不同曲目的概率；

（2）设这四个班级总共选取了首曲目，求的分布列及数学期望.

【答案】（1）.（2）见解析.

【解析】

【详解】

试题分析：

(1)由题意可得从、、、四首不同曲目中任选一首，共有种选法，甲、乙两班选择不同的曲目共有种选法，则甲、乙两班选择不同曲目的概率为.

(2)由题意可得的可能取值为1，2，3，4，利用概率公式求得分布列，然后计算可得数学期望为.

试题解析：

（1）在某校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从、、、四首不同曲目中任选一首，共有种选法，甲、乙两班选择不同的曲目共有种选法，

∴甲、乙两班选择不同曲目的概率为.

（2）依题意可知，的可能取值为1，2，3，4，

则，

，

，

∴的分布列为：

18．某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．

 (1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求函数的定义域；

 (2)当为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？

【答案】（1），函数的定义域为．（2）切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是．

【解析】

【详解】

试题分析：（1）先用x表示长宽高，再根据长方体体积公式列函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，最后根据单调性确定函数最值

试题解析：（1）因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，       

所以铁皮箱的体积 ．

函数的定义域为．

（2）由（1）得，，

令，解得．

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

所以函数在处取得极大值，这个极大值就是函数的最大值．

又．

答：切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是．

19．在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．

条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；

条件②：只有第5项的二项式系数最大；

条件③：所有项的二项式系数的和为256．

问题：在的展开式中，_____．

（1）求的值；

（2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和．

【答案】（1）条件选择见解析，；（2）1．

【解析】

【分析】

（1）选①，则由计算出.选②，则由第项的二项式系数最大求得.选③，则由求得.

（2）化简展开式的通项公式，根据其常数项为求得，利用赋值法求得展开式中所有项的系数的和.

【详解】

（1）选①：因为，所以n＝8；

选②：因为只有第5项的二项式系数最大，所以，则n＝8；

选③：因为所有项的二项式系数的和为256，则2n＝256，则n＝8；

（2）二项式的展开式的通项公式为，令，解得r＝6，所以展开式的常数项为，得a2＝4，又a＞0，所以a＝2，

令x＝1可得展开式的所有项的系数和为．

20．已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在区间上单调递增，求的取值范围．

【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）．

【解析】

【分析】

（1）利用求得的单调区间；

（2）由在区间恒成立分离常数，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】

（1）当a＝﹣3时，函数f（x）＝x﹣﹣4lnx（x＞0），

＝1+﹣＝＝，

由＞0，可得0＜x＜1或x＞3，

由＜0，可得1＜x＜3，

所以f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，+∞）；递减区间为（1，3）；

（2）＝1﹣﹣＝，x＞0，

f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，

即为≥0在区间（0，+∞）上恒成立，

即a≤x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4在区间（0，+∞）上恒成立，

由（x2﹣4x）min＝﹣4，得a≤﹣4，

即a∈.

21．已知函数

（1）求的极值；

（2）若，求的值，并证明：

【答案】（1）当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值；（2）1，证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)先求导函数,再对参数进行分类讨论,即可求出极值.

(2)由(1)得,,即故要证只要证

构造函数，求导即可求解.

【详解】

解：（1）

①当时，，在上单调递增.

在上无极值.

②当时，令得；令得.

在上单调递减，在上单调递增.

的极小值为，无极大值.

综上，当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.

（2）由（1）可知，①当时，在上单调递增，而，

当时，，即不恒成立.

②当时，在上单调递减，在上单调递增.

令，则

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减.

设，下面证明

当时，，即

只要证

令，则

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

式成立，即成立.

22．已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数存在三个零点，分别记为.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）证明：.

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据导数的几何意义求斜率，由点斜式求解即可；

（2）利用导数研究函数的单调性及极值，（ⅰ）据此当满足时，可求出的取值范围（ⅱ）计算，利用函数单调性可得，即可证明.

【详解】

（1）当时，，得，

因为，，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2）因为，

所以令，得，.

，随的变化如下：

所以的极大值为，极小值为.

（ⅰ）若函数存在三个零点，分别记为

则，所以.

当时，，，

此时，，，故存在三个零点，

所以若函数存在三个零点，的取值范围是.

（ⅱ）证明：因为是函数的零点，

所以.

因为，

所以

.

因为，所以.

又因为，且在区间上单调递增，

所以，即.

【点睛】

关键点点睛：证明转化为，先证明，利用函数的单调性即可求证，属于难题.