2021--2022学年高二数学下学期期中模拟卷12（人教A版2019新高考版本）

2021-2022学年高二数学下学期期中模拟卷（12）（人教A版2019）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 函数在区间上的平均变化率等于

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】C

【解析】解：在区间上的平均变化率
故选：
 

2. 已知直线和直线互相平行，则

A. 1 B.  C.  D. 0

【答案】C

【解析】解：根据题意，直线和直线互相平行，
则有，解得，
当时，直线的方程为和，两直线平行，符合题意；
当时，直线的方程为和，两直线平行，符合题意；
故；
故选：
 

3. 若方程表示双曲线，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】解：方程表示双曲线，
可得，
解得
故选：
 

4. 已知二项展开式，则

A.  B. 3 C.  D. 5

【答案】C

【解析】解：根据的展开式可求得，，
，，，

故选：
 

5. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高
   
    

A. 9cm B. 6cm C. 3cm D.

【答案】A

【解析】解：由题意可得，，
解得
故选：
 

6. 某传统体育学校计划举行夏季运动会，本次运动会径赛项目有：50米、100米、…、3000米共8个项目．为确保径赛项目顺利举办，需要招募一批志愿者，甲、乙两名同学申请报名时，计划在8个项目的服务岗位中各随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有

A. 420种 B. 441种 C. 735种 D. 840种

【答案】D

【解析】解：根据题意可知，可分三步考虑：第一步，在8项中选取2项，共有种不同的方法；
第二步，甲在剩下6项中选取1项，共有种不同的方法；
第三步，乙在剩下5项中选取1项，共有种不同的方法；
根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有种，
故选：
 

7. 已知定义在R上的函数，为其导函数，满足①，②当时，若不等式有实数解，则其解集为

A.  B.
C.  D.

【答案】D

【解析】解：令，
，
，即，
为R上的偶函数；
令，则，即为R上的偶函数；
又当时，，
在上单调递增；
又，
，
解得：或，
故选：
 

8. 函数的部分图象如图所示，则下列结论成立的是
    

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

【答案】B

【解析】

解：易知函数过，由图象可知，，
，由图象可知，有两个正根，，且函数在，单增，在单减，
，则，
故选：

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列求导数运算正确的是

A.  B.
C.  D.

【答案】BC

【解析】解：，，，
故选：
 

10. 已知等差数列的公差，前n项和为，若，则下列结论中正确的是

A.  B.
C. 当时， D.

【答案】BC

【解析】解：等差数列的公差，前n项和为，，
，整理得，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，当时，，故C正确；
对于D，，
，
，，故D错误．
故选：
 

11. 已知…，则下列结论正确的是

A.  B.
C.  D. …

【答案】ABD

解：…，
令，可得，故A正确；
令，可得…①，
令，可得… ②，
用①+②，再除以2，可得，故B正确；
令，可得，
，故C错误；
在所给的等式中，两边同时对x求导数，可得…，
再令，可得…，故D正确，
故选：

12. 牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是单位：，环境温度是单位：，其中则经过t分钟后物体的温度将满足，其中k为正常数.现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却，正确的结论是

A.
B. 若，则
C. 若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降
D. 红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少

【答案】ACD

解：对于A，，
，
，，
，故A正确；
对于B，，，，
由，得，
则，故B错误；
对于C，表示在处，的变化速度，
，其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C正确；
对于D，设，
则，
在定义域内单调递增，
又，的下降速度随时间增加而减小，
又，下降相同温度，用时相对增加，故D正确．
故选：

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数______.

【答案】

【解析】解：若，则，
则，解得：，
故答案为：
 

14. 若函数在处有极值，则m的值为______.

【答案】2或6

【解析】解：，
由题意得，，
所以或，
当时，，
易得函数在处取得极小值，符合题意，
当时，，
易得函数在处取得极大值，符合题意．
故答案为：2或
 

15. 某条铁路线上有杭州、绍兴、宁波、台州、温州五个大站，铁路部门应为该路线上的这五个大站间准备______种不同的火车票．

【答案】20

【解析】解：根据题意，在五个大站中任选1个作为起点，在剩下4个中任选1个作为终点，有种情况，
则需要准备20种不同的火车票，
故答案为：
 

16. 关于x的方程在区间上有三个不相等的实根，则实数a的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【解答】

解：函数的图象如图示：
当时，显然，不合乎题意，
当时，如图示，
当时，存在一个零点，
当时，，
可得，
，
若，可得，为减函数，
若，可得，为增函数，
此时必须在上有两个零点，
，解得，
故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为
    求的展开式中的常数项；
    在…的展开式中，求项的系数结果用数字作答

【答案】解：由已知得二项式系数之和为，所以
展开式通项为：，1，…，
令得故常数项为
的项的系数为
将代入得
 

18. 设数列的前n项和为，满足，且
    求数列的通项公式；
    设，求的前n项和

【答案】解：当时，，，
两式相减得，，
即，
即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
故
由知，
则，
，
，①
，②
①-②得，，
所以
 

19. 已知函数
    当时，求曲线在点处的切线方程；
    讨论函数的极值点的个数．

【答案】解：当时，，
则，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为；
由题意可知，，
记，，
令，得，令，得，
所以的增区间为，减区间，
所以的最大值为，所以，
①当时，恒成立，
令，得；令，得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
此时有且只有1个极值点，
②当时，恒成立，
令，得；令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以有且仅有1个极值点，
③当时，方程有两个相异的实数根，，不妨设，
则，，当，，当，，当，，
所以在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，
此时有3个极值点．
综上可知，当或时，有1个极值点；
当时，有3个极值点．

20. 已知椭圆的离心率为，左焦点
    求椭圆C的标准方程；
    若直线与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点M在圆上，求m的值.

【答案】解：由题意椭圆的离心率为，左焦点
解得，，则，椭圆C的标准方程为 
设点A、B的坐标分别为，，
线段AB的中点为，
由，消y得， 

由根与系数关系得：， 
，， 
点在圆上，，
，满足，
 

21. 如图所示，一座海岛O距离海岸线上最近点B的距离是20km，在点B沿海岸正东120km处有一个城镇A，现急需从城镇A处派送一批药品到海岛已知A和B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车速度为，快艇速度为设快艇出发点C与点B之间距离为
    写出运输时间小时关于x的函数；
    当x为何值时运输时间最短？

【答案】解：由题意知，， 
 
 
令，得
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；      
即时取最小值，所以当时运输时间最短.

22. 已知函数
    讨论函数的单调性；
    设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的最大值．

【答案】解：，则
令，若，即时，则恒成立，即恒成立，
可得在上单调递增；
若，则或，
当时，函数的对称轴方程为，，则当时，
恒成立，即恒成立，可得在上单调递增；
当时，函数的对称轴方程为，，
由，得，
当时，，，
当时，，，
在，上单调递增，
在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，
在上单调递减．
函数，
，
由，得，
，是函数的两个极值点，，，
，，，，
解得，
，
构造函数
，
在上单调递减．
当时，，
故k的最大值为