2021学年2 矩形的性质与判定第3课时达标测试

第六章 特殊平行四边形

2 矩形的性质与判定

第3课时 矩形的性质与判定的综合应用

知识梳理

1.矩形的四个角都是___________，矩形的对角线____________.

2.对角线相等的_________________是矩形；有三个角是直角的四边形是______________.

基础练习

1.如图，在矩形ABCD中，AB>BC，E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形共有(   )

A.5个         B.8个        C.9个        D. 11个

第1题                 第2题

2.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AD=4，△AOD=60°，则AB的长为(   )

A.        B.       C.8        D.

3.如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线.若要使所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足的条件是(   )

A.AD⊥CD       B.AD=CD      C.AC⊥BD       D.AC=BD

4.如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过点F作FG⊥EF交BC于点G，连接GH.当AD，AB满足___________时，四边形EFGH为矩形.

5.如图，在▱ABCD中，P是边AB上一点(不与点A，B重合)，CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交边AD于点Q，连接CQ，∠BPC=∠AQP.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)当AP=2，AD=6时，求AQ的长.

6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且

∠AOB=2∠OAD.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)如果∠AOB：∠ODC=4：3，求∠ADO的度数.

巩固提高

7.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E.若∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是(   )

A.         B.        C.4        D.

第7题                    第8题

8.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，且BA=3，AC=4，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为______________.

9.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快____________s后，四边形ABPQ成为矩形.

第9题                    第10题

10.如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC=6，BD=8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为_____________.

11.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.

(1)求证：四边形OEFG是矩形；

(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.

12.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，点E，P分别在边AD，BC上，且DE=BP=1.

(1)判断△BEC的形状，并说明理由.

(2)四边形EFPH是什么特殊四边形?请证明你的判断.

(3)求四边形EFPH的面积.

参考答案

[知识梳理]

1.都相等  周长    2.互相垂直  面积    3.(1)邻边  四条    (2)互相垂直

[基础练习]

1.C    2. 4    3.4

4.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC=DC，∠DCA=∠BCA.∴∠DCF=∠BCF.

∵CF=CF,∴△CDF≌△CBF.∴DF=BF.

∵AD//BC,∴∠DAC=∠BCA..∴∠DAE=∠BCF.

∵AE=CF,DA=BC,∴△DAE≌△BCF.∴DE=BF.

同理,可得△DCF≌△BAE.∴DF=BE.∴DF=BF=DE=BE.∴四边形BEDF是菱形.

5.(1)∵AD//BC，∴∠DMO=∠BNO.

∵MN是对角线，BD的垂直平分线，∴OB=OD，MN⊥BD.

在△MOD和△NOB中， ∴△MOD≌△NOB.

∴OM=ON.∵OB=OD，∴四边形BNDM是平行四边形.

∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形.

(2)∴四边形BNDM是菱形，BD=24，MN=10，∴BM=BN=DM= DN，OB=BD=12，OM=MN=5.

在Rt△BOM中， ,∴四边形BNDM的周长=4BM=4×13=52.

[巩固提高]

6. B    7.A    8.①②④

9.(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D.

∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°.

∵BE=DF.∴△AEB≌△AFD.∴AB=AD.∴四边形ABCD是菱形.

(2)如图，连接BD交AC于点O.

∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，AO=OC=

∵AB=5，AO=3，∴在Rt△ABO中，

∴BD=2BO=8.∴S菱形ABCD=

10.(1)∵EF//AB，PM//AC，∴四边形PFAM为平行四边形.

∵AB=AC，AD是△BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD.

∵EF∥AB,∴∠BAD=∠FPA.∴∠CAD=∠FPA.∴FA=FP.∴四边形PFAM为菱形.

(2)过点F作FH⊥BC于点H，设FM与AD交于点G.

∵四边形PFAM为菱形，∴AD⊥FM，AP=2GP.

∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.∴FM∥BC.

又∵EF∥AB，∴四边形BEFM为平行四边形.∴S菱形PFAM=

S四边形BEFM=FM·FH.∵S四边形PFAM= S四边形BEFM.∴.

∵易得GD=FH，∴GP=.∴∴点P在线段AD的三等分点处(靠近点D).