2020-2021学年2 矩形的性质与判定课后复习题

矩形（基础）

【学习目标】

1. 理解矩形的概念.

2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.

【要点梳理】

要点一、矩形的定义

有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

【典型例题】

类型一、矩形的性质 

1、（2020•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．

（1）求证：∠PNM=2∠CBN；

（2）求线段AP的长．

【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；

（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．

【答案与解析】

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，

∴MN∥BC，

∴∠CBN=∠MNB，

∵∠PNB=3∠CBN，

∴∠PNM=2∠CBN；

（2）连接AN，

根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，

∵MN∥AD，

∴∠PAN=∠ANM，

由（1）知∠PNM=2∠CBN，

∴∠PAN=∠PNA，

∴AP=PN，

∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，

∴DN=2，

设AP=x，则PD=6﹣x，

在Rt△PDN中

PD2+DN2=PN2，

∴（6﹣x）2+22=x2，

解得：x=

所以AP=．

【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．

举一反三：

【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是　_________　．

【答案】；

提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.

类型二、矩形的判定 

2、（2020•济宁一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点．

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

【思路点拨】

（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；

（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．

【答案与解析】

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE（1分）

∵E是AD的中点，

∴AE=DE．（2分）

∵∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC．（3分）

∴AF=DC，

∵AF=BD

∴BD=CD，

∴D是BC的中点；（4分）

（2）四边形AFBD是矩形，（5分）

证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，（6分）

∵AF=BD，AF∥BC，

∴四边形AFBD是平行四边形，（7分）

∴四边形AFBD是矩形．

【总结升华】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.

求证：四边形ADCE是矩形.

　　　　
【答案】

证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
　　　∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD
　　　∵D为BC的中点，
　　　∴CD＝BD
　　　∴CD∥AE，CD＝AE
　　　∴四边形ADCE是平行四边形
　　　∵AB＝AC
　　　∴AC＝DE
　　　∴平行四边形ADCE是矩形.
3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．

        求证：四边形EFGH是矩形．

【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．

【答案与解析】

证明：在ABCD中，AD∥BC，

    ∴  ∠BAD＋∠ABC＝180°，

    ∵  AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，

    ∴  ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．

    ∴  ∠HEF＝∠AEB＝90°．

    同理：∠H＝∠F＝90°．

    ∴  四边形EFGH是矩形．

【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．

类型三、直角三角形斜边上的中线的性质

4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

A．20        B．12       C．14       D．13

【答案】C；

【解析】

解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．

【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．

【答案】

解：连接OP．

    ∵  四边形ABCD是平行四边形．

    ∴  AO＝CO，BO＝DO，

    ∵  ∠APC＝∠BPD＝90°，

∴  OP＝AC，OP＝BD，

∴  AC＝BD．

    ∴  四边形ABCD是矩形．