鲁教版 (五四制)八年级下册2 矩形的性质与判定第2课时同步训练题

第六章 特殊平行四边形

2 矩形的性质与判定

第2课时 矩形的判定

知识梳理

1.定理：对角线_______________的平行四边形是矩形.

2.定理：有_____________个角是直角的四边形是矩形.

基础练习

1.已知▱ABCD，有下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD.其中，能说明▱ABCD是矩形的是（   ）

A.①        B.②        C.③        D.④

2.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，请你添加一个条件：________________，使四边形BEFD为矩形.

3.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形.

4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.求证：

（1）△BDE≌△FAE；

（2）四边形ADCF为矩形.

5.如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的中线，AD与BE交于点O，F，G分别是BO，AO的中点，连接DE，EG，GF，FD.

（1）求证：FG∥DE；

（2）若AC＝BC，求证：四边形EDFG是矩形.

巩固提高

6，如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AF， CE，AC.当AC＝BC时，四边形AECF是（   ）

A.平行四边形      B.矩形      C.菱形      D.无法确定

第6题                       第7题

7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E，F分别是AC， BC的中点，D是斜边AB上的一点，添加一个条件可以使四边形DECF成为矩形，这个条件是（  ）

A. ∠ACD=∠BCD     B. AD=BD    C. CD ⊥AB    D. CD=AC

8，如图，在△ABC中，AB＝AC，0是△ABC内任意一点，D，E，F，G分别是AB，AC，OB，OC的中点， ∠A＝2∠BDF，则四边形DEGF是_____________.

9，将两块全等的含30°角的直角三角尺按如图①所示的方式摆放在一起，设较短直角边的长度为1，如图②，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为_____________时，四边形ABC＇D＇为矩形.

10.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E， F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG.

（1）求证:△ABE ≌△CDF.

（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.

11.如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线EF∥BC，分别交∠ACB，∠ACD的平分线于点E，F.

（1）若CE＝8，CF＝6，求OC的长.

（2）连接AE，AF.当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.

参考答案

［知识梳理］

1.相等    2.三

［基础练习］

1.B    2.答案不唯一，如∠B＝90°

3.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC.

∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE.

∵E为BC的中点，∴EB＝EC.∴△ABE≌△FCE.∴AB＝FC.

∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形.

∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF.∴四边形ABFC是矩形.

4.（1）∵AF∥BC，∴∠DBE＝∠AFE.

∵E是线段AD的中点，∴DE＝AE.

∵∠DEB＝∠AEF，∴△BDE≌△FAE.

（2）∵△BDE≌△FAE，∴BD＝AF.

∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD.

∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形.

∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∴四边形ADCF为矩形.

5.（1）∵AD，BE分别是边BC，AC上的中线，∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥AB，且DE=AB.

∵F，G分别是BO，AO的中点，∴FG是△OAB的中位线.∴FG∥AB，且FG=AB.

∴FG∥DE.

（2）由（1），知FGDE，FG＝DE，∴四边形EDFG是平行四边形.

∴DG＝2OG，EF＝2OF.

∵AD，BE分别是边BC，AC上的中线，∴CD＝BC，CE＝AC.

又∵AC＝BC，∴CD＝CE.

在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE.∴∠CAD＝∠CBE.

∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA.∴∠DAB＝∠EBA.∴OA＝OB.

∵F，G分别是BO，AO的中点，∴OG＝OA，OF=OB.∴OG＝OF.所以DG＝EF.

∴四边形EDFG是矩形.

［巩固提高］

6.B    7.B    8.矩形    9.

10.（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC.∴∠ABE＝∠CDF.∵E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF=OD.∴BE＝DF.

在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF.

（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形

理由：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA.

∵E是OB的中点，∴AG⊥OB.∴∠OEG＝90°.

同理得CF⊥OD.∴AG∥CF.EG∥CF.

由（1），得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.∵EG＝AE，∴EG＝CF.

∴四边形EGCF是平行四边形.∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形.

11.（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.

∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.∴OE＝OC，OF＝OC.∴OE＝OF.

∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°，即2（∠OCE＋∠OCF）＝180°，

∴∠ECF＝90°.在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF＝＝10.

∴OC＝OE＝EF＝5.

（2）当点O在边AC上运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形

理由： 当O为AC的中点时，AO＝CO.

∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形.

∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形.