高中数学人教A版（2019）必修第一册 第五章　三角函数 单元测试

这是一份高中数学人教A版（2019）必修第一册 第五章　三角函数 单元测试，共15页。
第五章　三角函数　检测试题一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在(　B　)(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:由tan α<0,cos α<0,所以角α的终边在第二象限.故选B.2.函数f(x)=tan(-),x∈R的最小正周期为(　C　)(A)    (B)π (C)2π (D)4π解析:f(x)=tan(-),因为ω=,所以T==2π,即函数的最小正周期为2π.故选C.3.已知tan θ=2,则等于(　B　)(A)2 (B)-2(C)0 (D)解析:因为tan θ=2,所以====-2.故选B.4.化简:等于(　A　)(A)2cos α (B)2cos α(C)2sin α    (D)sin α解析:原式==2cos α.故选A.5.函数f(x)=3cos x-sin x图象的一条对称轴方程是(　A　)(A)x= (B)x=(C)x=    (D)x=-解析:因为f(x)=3cos x-sin x=2(cos x-sin x)=2cos(x+),所以函数的对称轴方程为x+=kπ,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z,所以当k=1时,x=是其中的一条对称轴方程.故选A.6.函数y=Asin(ωx+)在一个周期内的图象如图,则此函数的解析式为(　A　)(A)y=2sin(2x+) (B)y=2sin(2x+)(C)y=2sin(-)    (D)y=2sin(2x-)解析:由已知可得函数y=Asin(ωx+)的图象经过点(-,2)和点(,-2),则A=2,T=π,即ω=2,则函数的解析式为y=2sin(2x+),将(-,2)代入得-+=+2kπ,k∈Z,即=+2kπ,k∈Z,当k=0时,=,此时y=2sin(2x+).故选A.7.若将函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x+1的图象向右平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是(　C　)(A) (B) (C) (D)解析:将函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x+1=sin 2x+cos 2x=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,可得y=sin[2(x-)+]=sin(2x+-2)的图象.再根据所得图象关于y轴对称,可得-2=kπ+,k∈Z,即=--,k∈Z,故的最小正值是.故选C.8.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响.某市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米面积的价格,单位为元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+)+9 500(>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:x123y10 0009 500?则此楼群在第三季度的平均单价大约是(　C　)(A)10 000元 (B)9 500元(C)9 000元 (D)8 500元解析:由表格数据可知,10 000=500sin(ω+)+9 500,9 500=500sin(2ω+)+9 500,所以sin(ω+)=1,sin(2ω+)=0,即ω+=2kπ+,k∈Z,2ω+=2kπ+π,k∈Z,解得ω=,=2kπ,k∈Z,所以当x=3时,y=500sin(2kπ+)+9 500=9 000,故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)9.已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α可能是(　AC　)(A)第一象限角 (B)第二象限角(C)第三象限角 (D)第四象限角解析:因为角2α的终边在x轴的上方,所以k·360°<2α<k·360°+180°,k∈Z,则有k·180°<α<k·180°+90°,k∈Z.故当k=2n,n∈Z时,n·360°<α<n·360°+90°,n∈Z,α为第一象限角;当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+180°<α<n·360°+270°,n∈Z,α为第三象限角.故选AC.10.已知α,β是锐角,cos α=,cos(α-β)=,则cos β等于(　AC　)(A) (B) (C) (D)-解析:由α是锐角,cos α=,则sin α==,又α,β是锐角,则-β∈(-,0),得α-β∈(-,).又cos(α-β)=,则sin(α-β)=±,则cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×±×=,得cos β=或cos β=.故选AC.11.已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下面结论正确的是(　ABC　)(A)函数f(x)的最小正周期为2π(B)函数f(x)在区间[0,]上是增函数(C)函数f(x)的图象关于直线x=0对称(D)函数f(x)是奇函数解析:由题意,可得f(x)=-cos x,故根据余弦函数的图象可知D是错误的.故选ABC.12.关于函数f(x)=sin |x|+|sin x|,下述四个结论正确的是(　AD　)(A)f(x)是偶函数(B)f(x)在区间(,π)上单调递增(C)f(x)在[-π,π]有4个零点(D)f(x)的最大值为2解析:f(-x)=sin |-x|+|sin(-x)|=sin |x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故A正确;当<x<π时,f(x)=sin x+sin x=2sin x,所以f(x)在(,π)上单调递减,故B不正确;f(x)在[-π,π]的图象如图所示,由图可知函数f(x)在[-π,π]只有3个零点,故C不正确;因为y=sin |x|与y=|sin x|的最大值都为1且可以同时取到,所以f(x)可以取到最大值2,故D正确.故选AD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知2弧度的圆心角所对的弧长为2,那么这个圆的半径r=　　　　. 解析:由弧长公式l=αr,得r===1.答案:114.已知tan α=,tan(α-β)=,则tan(2α-β)=　　　　. 解析:因为tan α=,tan(α-β)=,则tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]===.答案:15.当x∈[,]时,函数y=3-sin x-2cos2x的最小值是　　　　,最大值是　　　　(第一空2分,第二空3分). 解析:因为x∈[,],所以-≤sin x≤1.y=3-sin x-2cos2x=1-sin x+2(1-cos2x)=2sin2x-sin x+1=2(sin x-)2+,当sin x=时,ymin=;当sin x=1或sin x=-时,ymax=2.答案:　216. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用.如图,一个半径为4 m的筒车按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周大约用时15 s,其轴心O(即圆心)距水面2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t(单位:s)之间的关系为d=Asin(ωt+)+k(A>0,ω>0,||<).(1)当盛水筒P第一次到达筒车的最高点时,t=　　　　; (2)盛水筒P到水面的距离d关于旋转时间t的函数解析式为　　　　　　　　. 解析:(1)因为轴心O(即圆心)距水面2 m,圆的半径为4 m,所以当盛水筒P第一次到达筒车的最高点时,点P绕点O逆时针旋转了π-=.因为点P绕点O逆时针旋转一周大约用时15 s,所以点P绕点O逆时针旋转速度为每秒,所以当盛水筒P第一次到达筒车的最高点时,t==5(s).(2)由题图可知d的最大值为2+4=6,最小值为-2,所以A+k=6,-A+k=-2,所以A=4,k=2,因为筒车旋转一周大约用时15 s,所以函数的周期T=15,所以ω==,当t=0时,d=0,即4sin(×0+)+2=0,即sin =-,因为||<,所以=-,所以d=4sin(t-)+2(t≥0).答案:5　d=4sin(t-)+2(t≥0)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知f(α)=.(1)若α=-,求f(α)的值;(2)若α为第二象限角,且cos(α-)=,求f(α)的值.解:(1)因为f(α)===cos α,所以f(-)=cos(-)=cos=.(2)因为cos(α-)=,所以sin α=.因为α为第二象限角,所以f(α)=cos α=-=-.18.(本小题满分12分)已知cos α=,cos(α+β)=,α,β均为锐角.(1)求sin 2α的值;(2)求sin β的值.解:(1)因为cos α=,α为锐角,所以sin α===,所以sin 2α=2sin αcos α=2××=.(2)因为α,β均为锐角,cos(α+β)=,所以α+β∈(0,),所以sin(α+β)===,所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos 2x+sin(2x-).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若α∈(0,),f(α)=,求cos 2α的值.解:(1)因为f(x)=cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),所以函数f(x)的最小正周期为T=π.(2)由f(α)=,可得sin(2α+)=.因为α∈(0,),所以2α+∈(,).又因为0<sin(2α+)=<,所以2α+∈(,π),所以cos(2α+)=-.所以cos 2α=cos|(2α+)-]=cos(2α+)cos+sin(2α+)sin=.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,||<)的一个对称中心为(,0),其图象上相邻两个最高点间的距离为π.(1)求函数f(x)的解析式;(2)用“五点作图法”在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象,并写出函数f(x)的单调递减区间.解:(1)因为函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,||<)的一个对称中心为(,0),其图象上相邻两个最高点间的距离为π,所以ω·+=kπ,k∈Z,且=π,所以ω=2,=,所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).(2)列表:2x+0π2πx-f(x)020-20描点作图如图所示.函数f(x)的单调递减区间为(kπ+,kπ+),k∈Z.21.(本小题满分12分)某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据.t/小时036912y/米10.013.09.97.010.0t/小时15182124 y/米13.09.97.010.0 经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Asin ωt+b的图象.(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似解析式;(2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间.(忽略进出港所需的时间)解:(1)由已知数据,描出曲线如图,易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10,所以ω==,所以y=3sint+10.(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米,由y≥11.5,得3sint+10≥11.5,所以sint≥.①因为0≤t≤24,所以0≤t≤4π.②由①②得≤t≤π或π≤t≤π.解得1≤t≤5或13≤t≤17.所以该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港内最多可停留16小时.22.(本小题满分12分)游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景,远眺岳麓山,俯瞰橘子洲,饱览湘江风光.据工作人员介绍,该摩天轮直径约100米,摩天轮的最低处P与地面的距离为20米,设有60个座舱,游客先乘坐直升电梯到入口(入口在摩天轮距地面的最低处)处等待,当座舱到达最低处P时有序进入座舱,摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟.以摩天轮的圆心为坐标原点,水平线为x轴建立平面直角坐标系.(1)试将游客甲离地面的距离h(t)(单位:米)表示为其坐上摩天轮的时间t(单位:分钟)的函数;(2)若游客乙在甲后的5分钟也在点P处坐上摩天轮,求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲、乙的离地面距离之差首次达到最大.解:(1)法一　据题意,游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为=弧度/分钟的匀速圆周运动,设经过t分钟后甲到达Q,则以OP为始边,OQ为终边的角的大小是t,因为圆的半径为r=50米,由三角函数定义知点Q的纵坐标为y=50sin(t-),则其离地面的距离为h(t)=20+50+50sin(t-)=70-50cos t(t≥0).法二　因为摩天轮是做匀速圆周运动,故可设h(t)=Asin(ωt+)+b(A>0,ω>0),据题意有⇒又周期T=20,所以ω=,由在最低点入舱得·0+=-⇒=-,故得h(t)=50sin(t-)+70=70-50cos t,t≥0.(2)由(1)可知游客乙离地面的距离为g(t)=70-50cos[(t-5)]=70-50sin t,其中时间t表示游客甲坐上摩天轮的时间,则甲、乙的离地面距离之差为Δh=h(t)-g(t)=50(sin t-cos t)=50sin(t-),当t-=+2kπ(k∈Z),即t=+20k(k∈Z)时,甲、乙的离地面距离之差达到最大,所以t=,即游客乙坐上摩天轮t-5=分钟后,甲、乙的离地面距离之差首次达到最大.