高中数学人教A版（2019）必修第一册 第三章　函数的概念与性质 单元测试

这是一份高中数学人教A版（2019）必修第一册 第三章　函数的概念与性质 单元测试，共14页。
第三章　函数的概念与性质　单元测试一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列四组函数中,表示同一个函数的一组是(　B　)(A)f(x)=1,g(x)=x0(B)f(x)=|x|,g(t)=(C)f(x)=,g(x)=x+1(D)f(x)=·,g(t)=解析:A选项,因为f(x)=1的定义域为R,g(x)=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不是同一函数,故A错;B选项,因为f(x)=|x|的定义域为R,g(t)=的定义域也为R,且g(t)==|t|与f(x)=|x|对应关系一致,是同一函数,故B正确;C选项,因为f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)=x+1的定义域为R,定义域不同,不是同一函数,故C错;D选项, 因为f(x)=·的定义域为[1,+∞),g(t)=的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不同,不是同一函数,故D错.故选B.2.幂函数的图象过点(2,),则它的单调递增区间是(　C　)(A)(0,+∞) (B)[0,+∞)(C)(-∞,0) (D)(-∞,+∞)解析:设幂函数y=xα,则2α=,解得α=-2,所以y=x-2,故函数y=x-2的单调递增区间是(-∞,0).3.y=x+的大致图象是(　B　)解析:设f(x)=x+,则f(-x)=(-x)+=-(x+)=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称.又x>0时,x>0,>0,所以f(x)=x+>0.故选B.4.m=2是函数f(x)=|x-m|在[2,+∞)上为增函数的(　A　)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:m=2时,f(x)=|x-2|=该函数在[2,+∞)上为增函数;反之,若函数f(x)=|x-m|在[2,+∞)上为增函数,则只需m≤2即可,所以m=2是函数f(x)=|x-m|在[2,+∞)上为增函数的充分不必要条件.故选A.5.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　D　)(A)[-1,1]∪[3,+∞)(B)[-3,-1]∪[0,1](C)[-1,0]∪[1,+∞) (D)[-1,0]∪[1,3]解析:由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)单调递减,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x<0,所以-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3],选D.6.若函数f(x)同时满足:(1)对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;(2)对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有x1f(x1)-x1f(x2)>x2f(x1)-x2f(x2),则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数:①f(x)=x2;②f(x)=x3;③f(x)=;④f(x)=其中被称为“理想函数”的有(　B　)(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个解析:由(1)知,f(x)为定义域上的奇函数;由(2)知,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知f(x)单调递增.即“理想函数”满足(1)奇函数;(2)在定义域内单调递增;对于①,f(x)=x2是偶函数,在定义域内不单调递增,①不是“理想函数”;对于②,f(x)=x3满足函数是奇函数,在定义域内单调递增,②为“理想函数”;对于③,f(-x)==≠-f(x),函数不是奇函数,③不是“理想函数”;对于④,f(x)=当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x=-f(x),又f(0)=0,可知f(x)为定义域上的奇函数;又当x≥0时,f(x)单调递增,由奇函数性质知:f(x)在(-∞,0]上单调递增,则f(x)在定义域内单调递增,④为“理想函数”.故选B.7.设f(x)=若2f(a)=f(2a),则f(a+2)的值为(　B　)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:若0≤a<,则2a2=4a2,解得a=0;若≤a<1,则2a2=4a-1,解得a=(舍去);当a≥1时,4a-1=2(2a-1),无解.综上只能a=0,所以f(a+2)=f(2)=3.故选B.8.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=2f(x),且当x∈(0,2]时,f(x)=x+-.若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　D　)(A)(-∞,] (B)(-∞,](C)(-∞,] (D)(-∞,]解析:当x∈(0,2]时,f(x)=x+-的最小值是-,由f(x+2)=2f(x)知当x∈(2,4]时,x-2∈(0,2],f(x)=f(x-2+2)=2f(x-2)=2[(x-2)+-]的最小值是-,同理;当x∈(4,6]时,x-4∈(0,2],f(x)=4[(x-4)+-]的最小值是-1,若对任意x∈(-∞,m]都有f(x)≥-,则4[(x-4)+-]≥-,解得m≤或m≥.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)9.已知函数f(x)=则下列说法中正确的是(　ACD　)(A)f(x)的定义域为R(B)f(x)的值域为R(C)f(x)为奇函数(D)f(x)为增函数解析:根据分段函数的解析式可知,f(x)的定义域为R,选项A正确;f(x)的值域为(-∞,-1)∪{0}∪(1,+∞),选项B不正确;画出函数图象可知,选项C,D正确.故选ACD.10.已知幂函数f(x)=,则(　ABD　)(A)f(x)是偶函数(B)f(x)的值域为(0,+∞)(C)f(x)在(-∞,0)上单调递减(D)f(x)在(0,+∞)上单调递减解析:f(x)==,故f(x)为偶函数、值域为(0,+∞),选项A,B正确;幂指数小于零,故f(x)在(0,+∞)上单调递减,根据偶函数性质,f(x)在(-∞,0)上单调递增,选项C不正确,选项D正确.故选ABD.11.已知函数f(x)=,那么(　AC　)(A)f(3)=1 (B)f(10)=4(C)∀a∈[0,2),f(a)=f(a+4) (D)∃a∈[0,2),f(a)=f(a+1)解析:f(3)=f(1)=1,选项A正确;f(10)=f(8)=…=f(0)=0,选项B不正确;∀a∈[0,2),f(a+4)=f(a+2)=f(a),选项C正确;若0≤a<1,f(x)在[0,2)单调递增,不可能有f(a)=f(a+1),若1≤a<2,则f(a+1)=f(a-1),此时a≠a-1,且a,a-1均在区间[0,2),根据函数单调性,也不可能有f(a)=f(a-1),选项D不正确.故选AC.12.给出定义:若m-<x≤m+(其中m为整数),则称m为离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m.则下列关于函数f(x)=x-{x}的四个命题中是真命题的有(　AD　)(A)函数y=f(x)的定义域是R,值域是(-,](B)函数y=f(x)是偶函数(C)函数y=f(x)是奇函数(D)函数y=f(x)在(-,]上单调递增解析:化简函数解析式可得,f(x)=x-{x}=画出函数的图象,如图所示,由图象可知函数y=f(x)的定义域是R,值域是(-,],故A为真命题;由图可以得出,函数图象既不关于y轴对称,也不关于坐标原点对称,且f(x)在(-,]上单调递增,故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,从而B,C为假命题,D为真命题.故选AD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f(x)=x2-,则满足f(x)<0的x的取值范围为　　　　. 解析:设函数y1=x2,函数y2=,则f(x)<0, 即y1<y2.在同一平面直角坐标系中作出函数y1与y2的图象,如图所示,则由数形结合得x∈(0,1).答案:(0,1)14.已知函数f(x)=(2-x)(x+m)为偶函数,f(f(2))=　　　　　　. 解析:f(x)=(2-x)(x+m)=-x2+(2-m)x+2m,该函数为偶函数,则m=2,此时f(x)=-x2+4,f(f(2))=f(0)=4.答案:415.已知f(x)=ax3+bx-4,其中a,b为常数,若f(-2)=2,则f(2)=　　　　. 解析:设g(x)=ax3+bx,显然g(x)为奇函数,则f(x)=ax3+bx-4=g(x)-4,于是f(-2)=g(-2)-4=-g(2)-4=2,所以g(2)=-6,所以f(2)=g(2)-4=-6-4=-10.答案:-1016.为贯彻执行党中央“不忘初心,牢记使命”主题教育活动,增强企业的凝聚力和竞争力.某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武,根据以往技术资料统计,某工人装配第n件工件所用的时间(单位:分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)=(k,M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间为　　　　分钟. 解析:由已知该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,及函数f(n)的解析式知f(9)==20,所以k=60,又4<9,所以f(4)==30.答案:30四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm.(1)求实数m的值;(2)判断y=f(x)的奇偶性,并写出其单调区间.解:(1)因为函数f(x)=(m2-m-5)xm,所以m2-m-5=1,即m2-m-6=0,解得m=-2或m=3.(2)当m=-2时,f(x)=x-2,偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;当m=3时,f(x)=x3,奇函数,在(-∞,+∞)上为增函数.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=是奇函数(a,b都是正整数),且f(1)=2,f(2)<3.(1)求a,b,c的值;(2)当x<0时,f(x)的单调性如何?用单调性定义证明你的结论.解:(1)由f(x)=是奇函数,得f(-x)=-f(x)对定义域内的x恒成立,则=-⇒-bx+c=-(bx+c)对定义域内的x恒成立,即c=0.f(1)==2,f(2)=<3,又a,b是整数,得b=a=1.(2)由(1)知f(x)==x+,当x<0时,f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,0)上单调递减,下面用定义证明.设x1<x2≤-1,则f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=x1-x2+=(x1-x2)(1-),因为x1<x2≤-1,所以x1-x2<0,1->0.f(x1)-f(x2)<0,故f(x)在(-∞,-1]上单调递增.同理可证f(x)在[-1,0)上单调递减.19.(本小题满分12分)某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元,甲、乙两种商品分别可获得y1,y2万元的利润,利润曲线P1:y1=axn,P2:y2=bx+c,如图所示.(1)求函数y1,y2的解析式;(2)应怎样分配投资资金,才能使投资获得的利润最大?解:(1)由题知(1,1.25),(4,2.5)在曲线P1上,则解得即y1=.又(4,1)在曲线P2上,且c=0,则1=4b,则b=,所以y2=x.(2)设甲投资x万元,则乙投资为(10-x)万元,投资获得的利润为y万元,则y=+(10-x)=-x+.令=t∈[0,],则y=-t2+t+=-(t-)2+.当t=,即x==6.25(万元)时,利润最大为万元,此时10-x=3.75(万元),答:当投资甲商品6.25万元,乙商品3.75万元时,所获得的利润最大为万元.20.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在非零实数集上的函数,且对任意非零实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)证明:f(x)为偶函数;(3)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求不等式f(3-x)≤f(2)+f(3)的解集.(1)解:在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),得f(1)=0;再令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),得f(-1)=0.(2)证明:在f(xy)=f(x)+f(y)中,令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)解:f(2)+f(3)=f(6),不等式f(3-x)≤f(2)+f(3),　即f(3-x)≤f(6).当3-x>0时,根据函数的单调性和不等式f(3-x)≤f(6),得3-x≤6,解得-3≤x<3;当3-x<0时,f(3-x)=f(x-3)≤f(6),由函数单调性,得x-3≤6,解得3<x≤9.综上,不等式f(3-x)≤f(2)+f(3)的解集为[-3,3)∪(3,9].21.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值是.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间[0,1]上的最小值,其中t∈R;(3)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.解:(1)由题知二次函数图象的对称轴为x=,又最小值是,则可设f(x)=a(x-)2+(a≠0),又图象过点(0,4),则a(0-)2+=4,解得a=1.所以f(x)=(x-)2+=x2-3x+4.(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其对称轴为x=t.①t≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增,最小值为h(0)=4.②当0<t<1时,函数h(x)的最小值为h(t)=4-t2.③当t≥1时,函数h(x)在[0,1]上单调递减,最小值为h(1)=5-2t.所以h(x)min=(3)由已知得f(x)>2x+m对x∈[-1,3]恒成立,所以m<x2-5x+4对x∈[-1,3]恒成立.所以m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]).令g(x)=x2-5x+4,因为g(x)=x2-5x+4在x∈[-1,3]上的最小值为g()=-,所以实数m的取值范围为(-∞,-).22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=为奇函数.(1)求b的值;(2)证明:函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减;(3)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0.(1)解:因为函数f(x)=为定义在R上的奇函数,所以f(0)=b=0.(2)证明:由(1)可得f(x)=,下面证明函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减.设x2>x1≥1,则有f(x1)-f(x2)=-==.再根据x2>x1≥1,可得1+>0,1+>0,x1-x2<0,1-x1x2<0,所以>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减.(3)解:由不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0,可得f(1+2x2)>-f(-x2+2x-4)=f(x2-2x+4)=f[(x-1)2+3],1+2x2≥1,(x-1)2+3>1,再根据函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,可得1+2x2<x2-2x+4,求得-3<x<1,故不等式的解集为{x|-3<x<1}.