安徽省合肥市第八中学高一下学期期末复习数学限时作业（3）

合肥八中高一（下）数学限时作业（3）

一、选择题：本题共8小题，共44分；前6小题为单项选择，每小题5分；后2小题为不定项选择，每小题7分。

1.已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)

A.               B.                 C.              D.

2．在△ABC中，，则＝（　　）

A． B． C． D．     

3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c<bcos A，则△ABC为(　　)

A．钝角三角形    B．直角三角形       C．锐角三角形      D．等边三角形

4.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于（　　）

A． B．5 C．6 D．7

5.已知中，的对边分别是，，则（   ） 

A．           B．  C．    D．

6．一艘客船上午9:30在处,测得灯塔在它的北偏东方向上, 之后它以每小时 的速度沿正北方向匀速航行,上午10:00到达处,测得船与灯塔相距 ,则此时灯塔在客船的(   )

A.北偏东方向上                    B.南偏东方向上
C.北偏东或南偏东方向上          D.以上方位都不对

7.（多选）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知bsinA＝（3b﹣c）sinB，且cosA＝，则（　　）

A．a+c＝3b   B．tanA＝2 C．△ABC的周长为4c  D．△ABC的面积为c2

【解答】解：因为bsinA＝（3b﹣c）sinB，

所以由正弦定理可得ab＝（3b﹣c）b，可得a＝3b﹣c，即a+c＝3b，故A正确；

又因为cosA＝，

所以tanA＝＝＝2，故B正确；

可得△ABC的周长a+b+c＝3b+b＝4b≠4c，

可得sinA＝＝，

根据余弦定理（3b﹣c）2＝b2+c2﹣2bccosA，整理解得b＝c，

△ABC的面积S＝bcsinA＝×c×c×＝c2．

故选：ABD．

8.（多选）在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（　　）

A．若sinA＜cosB，则△ABC为钝角三角形

B．存在△ABC满 足cosA+cosB≤0 

C．c＝acosB+bcosA 

D．若，且，则ΔABC为等边三角形

【解答】解：A、若sinA＜cosB，则cos（﹣A）＜cosB，

在△ABC中，A，B，C∈（0，π），

∴﹣A＞B，∴A+B＜，∴C＞，

△ABC中，＜C＜π，则△ABC为钝角三角形，故选项A正确；

B、由0＜A＜π﹣B＜π，可得cosA＞cos（π﹣B）＝﹣cosB，

恒有cosA+cosB＞0，故选项B不正确；

对于C，因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，由正弦定理可得c＝acosB+bcosA，故正确；

对于D，∵若，，分别为单位向量，

∴∠A的角平分线与BC垂直，

∴AB＝AC，

∵cosA＝•＝，

∴∠A＝，

∴∠B＝∠C＝∠A＝，

∴三角形为等边三角形，故正确．

故选：ACD．

二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分。

9.   在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若，则角B的值为 　       　．
10. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足，b＝3的△ABC有且仅有一个，则边a的取值范围是　       　．
11. 在锐角中， ，则的取值范围是　      　．
12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b﹣c＝2，，，则△ABC周长的值为　  18     　．

【解答】解：由题意得，＝，

∴bc＝24．

由b﹣c＝2，bc＝24，解得，b＝6，c＝4或b＝﹣4，c＝﹣6（舍），

∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝．

∴a＝8，

∴△ABC周长为18．

故答案为：18．

三、解答题：本题共2小题，共32分；第13题14分，第14题18分。

13.设的内角的对边分别为，且.

（1）求角的大小.

（2）若，求的周长.

（1）

（2）

14.在①；②2acosA＝bcosC+ccosB，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知_______．

（1）求角A；

（2）设△ABC的面积为S，若，求面积S的最大值．

【解答】解：（1）若选条件①，∵，

∴由正弦定理得，

∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，

∴＝，

，

∵sinC≠0，

∴，

∵0＜A＜π，

∴；

若选条件②，∵2acosA＝bcosC+ccosB，

∴由正弦定理得

2sinAcosA＝sinBcosC+sinCcosB，

即2sinAcosA＝sin（B+C）＝sinA，

，

∵0＜A＜π，

∴；

若选条件③，∵，

∴由正弦定理得

，

∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，

∴＝sinAcosC+cosAsinC，

，

∵sinC≠0，

∴，

∵0＜A＜π，

∴；

所以不管选择哪个条件，．

（2）a2＝b2+c2﹣2bccosA，

，

即b2+c2﹣bc＝3，

∵b2+c2≥2bc，

∴2bc﹣bc≤3，即bc≤3，当b＝c时等号成立．

∴bc的最大值为3，

∵，

∴．