安徽省合肥市第八中学高一下学期期末复习数学限时作业（11）

合肥八中高一（下）数学限时作业（11）                          

一、选择题：本题共8小题，前6小题为单项选择，每小题5分；后2小题为多项选择，每小题7分，合计共44分。

1．平面外的不共线三个点到平面的距离都相等，则平面与平面的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或平行

【答案】D

【详解】  

如图1，当三点在平面同侧时，平面与平面的位置关系是平行，

如图2，当三点在平面异侧时，平面与平面的位置关系是相交，

故选：D

2．设是一平面，是一直线，直线，则“”是“”的（    ）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【详解】由，可得∥，又，则，

由，，可得或，所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．（空课十一）在直三棱柱中，侧棱平面，若，，点，分别，的中点，则异面直线与所成的角为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】在直三棱柱中，侧棱平面，

，，点，分别，的中点，

∴，，

∴是异面直线与所成的角（或所成角的补角），

连结，则，∴，

∴异面直线与所成的角为．故选B．

4．如图，已知四边形为圆柱的轴截面，为的中点，为母线的中点，异面直线与所成角的余弦值为，，则该圆柱的体积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】取的中点，连接、，

、分别为、中点，则，所以异面直线与所成的角为或其补角，

因为为的中点，所以，，即，

平面，平面，，

，平面，

平面，，

设圆柱的底面圆的半径为，

平面，平面，，，

又因为，则，

所以，，因为，解得，

因此，圆柱的体积为.

故选：B.

5．（单元练习8）已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，且，，若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

6．已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，下列结论中，其中正确的个数是（    ）

①过三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；

②平面；

③；

④异面直线与所成角的正切值为；

⑤四面体的体积等于

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】对于①.延长分别与的延长线交于，连接交于，设与的延长线交于，连接交于，交于，连，则截面六边形为正六边形，故①正确；
对于②.与相交，故与平面相交，所以②不正确；
对于③.∵，且与相交，所以平面，故③正确；
对于④.连接,由条件有,所以为异面直线与的夹角,在直角三角形中， .故④正确；
对于⑤.四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故⑤不正确．
故选：C

二、多选题

7．（单元练习9）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面内（包括边界）一动点，且平面EFG，则（    ）

A． B．平面EFG

C．三棱锥的体积为 D．P点的轨迹长度为2

【答案】BCD

【详解】对于A，取的中点为，连接，由正方体的性质可知，，而与相交，所以不平行，故A错误；

对于B，连接，容易知道平面平面，由面面平行的性质可知平面EFG，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，由B可知平面平面，即点的轨迹为线段，长度为，故D正确；

故选：BCD

8．如图，直角梯形，，，，E为中点，以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且.则                          （    ）

A．平面平面       B．二面角的大小为

C．.                   D．与平面所成角的正切值为

【答案】AB

【详解】A中, ,在三角形中，，所以,又，可得平面，平面，所以平面平面，A选项正确；

B中，二面角的平面角为，根据折前着后不变知，故B选项正确；

C中，若，又，可得平面,则,而,

显然矛盾，故C选项错误；

D中，由上面分析可知，为直线与平面所成角，在中，,故D选项错误.

故选：AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分

9．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为.设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则的值是__.

【答案】2.

解：设酒杯上部分高为，则酒杯内壁表面积，则，

所以，，故，故答案为：2.

10．（空课七）如图所示，正方体的棱长为2，是上的一个动点，，则的最小值是_______．

【答案】

将△沿直线折起，当点、、在同一条直线上时，最小，

此时，△是边长为的等边三角形，所以

所以的最小值是．

故答案为：

11．如图，三棱椎的底面是等腰直角三角形，，且，，则点到平面的距离等于______．

【答案】

【详解】由题意，可将三棱锥补全为边长为1的正方体如图所示，

，，

设点到平面的距离为，则由得，

所以．

故答案为：

12．二面角的大小为为垂足，为垂足，是棱上动点，则的最小值为_______．

【答案】

【详解】如图，将二面角沿棱展成平角，连结，根据两点之间线段最短，可知就是的最小值，

以为邻边，作矩形，由可知三点共线，

则.

故答案为：

四、解答题：本题共2小题，共32分；第13题14分，第14题18分

13．如图，在三棱柱中，平面，分别是线段，的中点.

（1）证明：平面；

（2）当三棱柱的各棱长均为2时，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】（1）证明：连接与相交于点，连接，

由侧面为平行四边形可得是线段的中点，

又因为是线段的中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵平面，平面，∴

∵，是线段的中点，∴

∵，平面，∴平面，

∴线段为三棱锥的高，

∵，∴，

∵平面，平面，∴，

∵三棱柱的各棱长均为2，∴四边形为正方形，

∴，

∴

14．如图，等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，P是弧AB上一点，且∠PAB=30°.

（1）证明：平面BCP⊥平面ACP；

（2）若Q是弧AP上异于A､P的一个动点，当三棱锥C-APQ体积最大时，求二面角A-PQ-C的余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【详解】（1）因为等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，

所以平面APB，又PB平面APB，

所以，又，，

所以平面ACP，又平面BCP，

所以平面BCP⊥平面ACP；

（2）由（1）知平面APB，

所以AC为三棱锥C-APQ的高，设

若三棱锥C-APQ体积最大，则三角形APQ面积最大

当为的中点时，三角形APQ面积最大，

如图所示：

过点A作，连接，

所以平面ACE，

所以为二面角A-PQ-C的平面角，

因为∠PAB=30°.

所以 ，

所以，

所以，

所以.

【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，三棱锥的体积求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.