高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系学案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。


【自主学习】
1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中 元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 (或 )，读作“ ”(或“ ”)．
2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且 ( )，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作
3．如果A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的 ，记作 (或 )．
4．不含任何元素的集合叫做 ，记作 .
5． 是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集.
【小试牛刀】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )
(2)任何一个集合都有子集．( )
(3)若A＝B，则A⊆B.( )
(4)空集是任何集合的真子集．( )
2.集合{0,1}的子集有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )
A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A
4．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是( )
【经典例题】
题型一 集合间关系的判断
例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[跟踪训练] 1
(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是( )
A．M T B．M⊆T C．M＝T D．M ∈T
(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
题型二 子集、真子集的个数问题
例2 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为( )
A．－2 B．4 C．0 D．以上答案都不是
[跟踪训练] 2
(1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若集合A {1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
题型三 根据集合的包含关系求参数
例3 已知集合A＝{x|1[跟踪训练] 3. 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝eq \f(1,5)，试判定集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．
题型四 集合相等关系的应用
例4 已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}且A＝B，求x，y的值．
注意：集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．
[跟踪训练] 4. 含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，求a.，b.
【当堂达标】
1．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( )
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0,1或－1
2．已知集合M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是( )
A．M>N B．MN C．NM D．M⊆N
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．0
4．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．设A＝{x|2A．m>3 B．m≥3 C．m<3 D．m≤3
6．已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．
7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a的值为________．
8．已知A＝{x|－3a}，A⊆B，则实数a的取值范围是________．
9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值．
10．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求由实数a的值组成的集合C.
【参考答案】
【自主学习】
1．任意一个， A⊆B，B⊇A， A含于B ， B包含A
2．集合B是集合A的子集，B⊆A， A＝B.
3．真子集， A B(或B A)．
4．空集， ∅.
5．空集 ，空集
【小试牛刀】
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2. D 【解析】集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．
3. D 【解析】集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．
4 .B 【解析】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.
【经典例题】
例1 (1) B (2)见解析
【解析】 (1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.
(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
③方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.
方法二 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.
[跟踪训练] 1
(1)A 【解析】因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以MT.
(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图
例2 (1) B (2)C
【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}．
(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.
[跟踪训练] 2 (1)B (2)5 【解析】(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，
又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
(2)若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}．
例3 解：(1)当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B. ①
(2)当a>0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)又∵B＝{x|－1∴a≥2.
(3) 当a<0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)∵A⊆B，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)≥－1，,\f(1,a)≤1.))∴a≤－2.
综上所述，a的取值范围是{a|a＝0，或a≥2，或a≤－2}.
[跟踪训练] 3 解：(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，当a＝eq \f(1,5)时，
由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以B A.
(2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))，
由B⊆A得eq \f(1,a)＝3或eq \f(1,a)＝5，所以a＝eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,5).
综上所述，实数a的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)，\f(1,5)))
例4 解 方法一 ∵A＝B ∴集合A与集合B中的元素相同
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2x,y＝y2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝y2,y＝2x))，解得x，y的值为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4),y＝\f(1,2)))
验证得，当x＝0，y＝0时，
A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．
∴x，y的取值为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4),y＝\f(1,2)))
方法二 ∵M＝N，∴M、N中元素分别对应相同．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2x＋y2，,x·y＝2x·y2，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y(y－1)＝0， ①,xy(2y－1)＝0. ②))
∵集合中元素互异， ∴x、y不能同时为0. ∴y≠0.由②得x＝0或y＝eq \f(1,2).
当x＝0时，由①知y＝1或y＝0(舍去)；
当y＝eq \f(1,2)时，由①得x＝eq \f(1,4).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,2)))
[跟踪训练] 4.由集合相等得：0∈，易知a≠0，∴＝0，即b＝0，∴a2＝1且a.2≠a. ∴a.＝－1.
综上所述：a＝－1，b＝0.
【当堂达标】
1．D【解析】由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.
2．C 【解析】因为y＝(x－1)2－2≥－2，所以M＝{y|y≥－2}，所以N M
3．C【解析】由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.
4．B【解析】根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．
5．B【解析】因为A＝{x|26．AB 【解析】A＝{x|x－3>0}＝{x|x>3}，B＝{x|2x－5≥0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(5,2))))). 结合数轴知AB.
7．－1或2
【解析】∵A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，
∴a2－a＋1∈A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
由a2－a＋1＝3，得a＝2或a＝－1；
由a2－a＋1＝a，得a＝1. 经检验，a＝1时集合A，B不满足集合中元素的互异性，舍去．
故a＝－1或a＝2.
8．{a|a≤－3} 【解析】在数轴上画出集合A.
又因为A⊆B，所以a<－3，当a＝－3时也满足题意，所以a≤－3.
9．解：方法一 根据集合中元素的互异性，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2a，,b＝b2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b2，,b＝2a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))
再根据集合中元素的互异性，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))
方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝2a＋b2，,a·b＝2a·b2，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋bb－1＝0， ①,ab2b－1＝0. ②))
∵集合中的元素互异， ∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0或b＝eq \f(1,2).
当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．
当b＝eq \f(1,2)时，由①得a＝eq \f(1,4).
当b＝0时，a＝0(舍去)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))
10．解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2. 所以A＝{1,2}．
因为B⊆A，所以对B分类讨论如下：①若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0；
②若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}．
当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；
当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.
综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．
课程标准
学科素养
1. 理解子集、真子集、空集的概念；(重点)
2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点)
3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。
1、逻辑推理
2、直观想象
3、数形结合