人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后复习题

第八章 立体几何初步

8.6.2直线与平面垂直(提升练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.下列说法中正确的个数是 (　　)

①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;

②若直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α;

③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;

④若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α.　　　　 　　　　　 　　　　　

A.4                B.2             C.3                D.1

【答案】B

【解析】易知①②是错误的,③④是正确的.故选:B.

2．如图，设平面，平面，平面，垂足分别为.为使，则需增加的一个条件是（    ）

A．平面 B．平面 C． D．

【答案】B

【解析】因为平面，平面，所以.若平面，则由平面，得.

又与为相交直线，且平面，平面，则，∴四点共面，所以平面，所以.故选:B.

3．在直三棱柱中，.以下能使的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为直三棱柱所以，

又因为，所以

因为，平面，

所以平面，所以，

那么，要证，

故只需要证明平面，即证，

因为直三棱柱的侧面都是长方形，

当增加条件时，则可以得到，

因为，，

平面，所以平面，

所以.    故选:A.

4．如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD),若M、O分别为线段A1C、DE的中点,则在△ADE翻折过程中,下列说法错误的有 (　　)

A.与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直

B.异面直线BM与A1E所成的角是定值

C.一定存在某个位置,使DE⊥MO

D.三棱锥A1-ADE外接球的半径与AD的比为定值

【答案】C

【解析】取A1D的中点F,连接MF、EF,易知四边形BEFM是平行四边形,∴BM∥EF,

又EF⊂平面A1DE,BM⊄平面A1DE,∴BM∥平面A1DE,∴与平面A1DE垂直的直线必与MB垂直,故A正确;易知∠A1EF为异面直线BM与A1E所成的角,为定值,故B正确;

取DC的中点N,连接AN,A1O,NE,AA1,A1N,易知四边形ADNE为正方形,∴AN⊥DE,A1O⊥DE,A1O∩AN=O,∴DE⊥平面A1AN,

∴过点O与DE垂直的直线一定在平面A1AN内,故C错误;

易知O为三棱锥A1-ADE外接球的球心,

∴三棱锥A1-ADE外接球的半径为AD,故D正确.    故选:C.

5.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面CDD1C1及边界上运动,并保持BP⊥A1C,若正方体的棱长为1,则PC的取值范围是 (　　)

A.                             B.

C.                               D.

【答案】A

【解析】如图,连接AC,C1D,BC1,BD,

由正方体性质知,AC⊥BD,BD⊥AA1,因为AA1∩AC=A,所以BD⊥平面A1AC,所以BD⊥A1C,同理C1D⊥A1C,

因为C1D∩BD=D,所以A1C⊥平面BDC1,若BP⊥A1C,则动点P的轨迹为线段C1D.

由正方体的棱长为1,可得点C到线段C1D的距离d=,则PC∈[d,CC1]=.  故选:A.

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是(    )

A．BC1//平面AQP                         B．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形

C．A1D⊥平面AQP                        D．异面直线QP与A1C1所成的角为60°

【答案】ABD

【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，

如图所示：

对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，

所以PQ//BC1，由于PQ⊂平面APQ，BC1不在平面APQ内，

所以BC1//平面APQ，故选项A正确.

对于选项B：连接AP，AD1，D1Q，

由于AD1//PQ，D1Q=AP，所以平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故选项B正确.

对于选项C：由于A1D⊥平面ABC1D1，平面ABC1D1和平面APQD1为相交平面，

所以A1D⊥平面AQP是错误的，故选项C错误.

对于选项D：PQ//BC1，△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B=60°，

即异面直线QP与A1C1所成的角为60°，故选项D正确.    故选:ABD.

7．在正四棱锥S-ABCD中,E、M、N分别是BC、CD、SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论,不一定成立的为 (　　)

1. EP⊥AC                          B.EP∥BD

C.EP∥平面SBD                      D.EP⊥平面SAC.

【答案】BD

【解析】对于A,设AC∩BD=O,连接SO,易知SO⊥平面ABCD,∴SO⊥AC.又∵AC⊥BD,SO∩BD=O,SO⊂平面SBD,BD⊂平面SBD,∴AC⊥平面SBD.

连接EN,EM,∵E、M、N分别为BC、CD、SC的中点,∴EN∥SB,MN∥SD,

∵NM⊄平面SBD,SD⊂平面SBD,∴MN∥平面SBD,同理EN∥平面SBD,

又MN∩EN=N,∴平面EMN∥平面SBD,

∴AC⊥平面EMN,又EP⊂平面EMN,∴EP⊥AC,A成立.

对于B,当且仅当P与M重合时,EP∥BD,B不一定成立.

对于C,由①知平面EMN∥平面SBD,又EP⊂平面EMN,∴EP∥平面SBD,C成立.

对于D,当且仅当P与M重合时,才有EP⊥平面SAC,D不一定成立.   故选:BD.

8.如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（    ）

A．

B．平面

C．A到直线MN的距离为

D．过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为

【答案】ACD

【解析】正方体中，，而M，N分别为棱，的中点，则，所以，A正确，B错误；

设与分别交于点，则，，

由M，N分别为棱，的中点，知是中点，，C正确；

正方体外接球球心是正方体对角线交点，由对称性知过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为，

，，，

，

截面圆半径为，则，面积为，D正确．

故选：ACD．

三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

9．如图，在四面体中，平面，，若，则_____________

【答案】

【解析】因为，，所以，

又平面，平面，所以；

因此.    故答案为：

10．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC､CC1的中点， 是侧面BCC1B1内一点(含边界)，若A1P平面AEF，点P的轨迹长度为___________.直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是___________.

【答案】       

【解析】（1）如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，

因为为所在棱的中点，所以，所以，

又平面平面，所以平面；

因为，所以四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面，

因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，

在直角中，，

同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，

当在中点时，，此时最短，位于处时最长，

，，

所以线段长度的取值范围是.

（2）平面，设直线A1P与平面BCC1B1所成角为，

,，由（1）可知点在线段上，的最小值是,的最大值是,

的最小值是，的最大值是,

直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是.

故答案为：；

11．在棱长为的正四面体中，点，分别为直线，上的动点，点为中点，为正四面体中心（满足），若，则长度为_____________

【答案】

【解析】将正四面体放在棱长为4的正方体中，

则，为正方体的中心，

设分别是的中点，

则是的中点，，

连接，设的中点为，连接，

因为是的中位线，所以，

同理，

因为，所以，

所以，即，

则，所以，

因为，所以，

因为，,，

所以平面，所以，在中，

       故答案为：

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12．在四棱锥中，平面ABCD，，，，.

（1）求证：平面PAD；

（2）若E是PC的中点，求直线BE与平面PAD所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】（1）证明：取的中点，连接，如图，

则//，∴四边形是平行四边形，

∴.又∵，，

，∴，

又∵，∴，

又平面，∴，

∵平面，，∴平面.

（2）取的中点，靠近点的四等分点，连接，，，如图所示，

∵//////，

∴四边形是平行四边形，∴，

∴直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角.

∵平面，∴即为直线与平面所成的角.

在中，，，∴，

即直线与平面所成角的正切值为

13．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.

(1)证明:B1C⊥AB;

(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,∵侧面BB1C1C为菱形,

∴B1C⊥BO.

∵AO⊥平面BB1C1C,∴B1C⊥AO,

∵AO∩BO=O,∴B1C⊥平面BAO,

又AB⊂平面ABO,∴B1C⊥AB.

(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H.

∵AO⊥平面BB1C1C,∴BC⊥AO,又BC⊥OD,AO∩OD=O,

∴BC⊥平面AOD,∴OH⊥BC,又OH⊥AD,AD∩BC=D,∴OH⊥平面ABC.

∵∠CBB1=60°,BB1=BC,∴△CBB1为等边三角形,

易得OD=,

∵AC⊥AB1,∴OA=B1C=.

由OH·AD=OD·OA,且AD==,得OH=.

又O为B1C的中点,∴点B1到平面ABC的距离为.

∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴三棱柱的高即为平面ABC与平面A1B1C1的距离,也就是点B1到平面ABC的距离,∴三棱柱ABC-A1B1C1的高为.

14．如图所示，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（I）由题意知△ABC为等腰直角三角形，

而F为BC的中点，所以AF⊥BC．

又因为平面AEDC⊥平面ABC，且∠ACD=90°，

所以DC⊥平面ABC．   

而AF⊂平面ABC，所以AF⊥DC．

而BC∩DC=C，所以AF⊥平面BCD．

连结PF，则PF∥DC，PF=DC，

而AE∥DC，AE=DC，所以AE∥PF，AE=PF，

AFPE是平行四边形，

因此EP∥AF，故EP⊥平面BCD．

（II）因为EP⊥平面BCD，所以EP⊥平面BDF，EP是三棱锥E﹣BDF的高．

所以EP=AF=BC==． 

故三棱锥E﹣BDF的体积为：

V=．