专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直（重难点突破）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直

一、考情分析

二、考点梳理

考点一  直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

考点二 平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

考点三 知识拓展

1.两个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.

四、题型分析

重难点题型突破1 线面垂直

例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是(　　)

A.若m⊂α，则m⊥β

B.若m⊂α，n⊂β，则m⊥n

C.若m⊄α，m⊥β，则m∥α

D.若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α

【答案】C

【解析】对于A：若m⊂α，则m与平面β可能平行或相交，所以A错误；对于B：若m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C：若m⊄α，m⊥β，则m∥α，C正确；对于D：α∩β＝m，n⊥m，则n不一定与平面α垂直，所以D错误.

【变式训练1-1】、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)

A.若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n

B.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

C.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

【答案】B

【解析】若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；

∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；

若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；

若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误.

例2.如图所示，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：

(1) PH⊥平面ABCD；

(2) EF⊥平面PAB.

【证明】 (1) 因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥AB.

因为PH为△PAD中边AD上的高，所以PH⊥AD.

因为AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.

(2) 如图，取PA的中点M，连结MD，ME.

因为E是PB的中点，所以ME＝AB，ME∥AB.又因为DF＝AB，DF∥AB，

所以ME＝DF，ME∥DF，

所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.

因为PD＝AD，所以MD⊥PA.

因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.

因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.

重难点题型突破2 面面垂直

例3. （安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

【答案】D

【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，

BC⊄平面PDF，

所以BC∥平面PDF，故选项A正确；

在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，

且AE，PE⊂平面PAE，

所以BC⊥平面PAE，

因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，

又DF⊂平面PDF，

从而平面PDF⊥平面PAE.

因此选项B，C均正确．

【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是(　　)

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；

②BC∥平面A′DE；

③三棱锥A′­FED的体积有最大值．

A．①　　　　　　　　　   B．①②

C．①②③   D．②③

【答案】C

【解析】①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，

所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．

②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.

③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积达到最大，故选C.

例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2.

(1)求证：PF⊥平面ABED；

(2)求点A到平面PBE的距离．

【解析】(1)证明：在题图2中，连接EF，

由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，

在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，

所以PF⊥BF.

在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝＝，

在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，

因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.

(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，

所以PF为三棱锥P­ABE的高．

设点A到平面PBE的距离为h，

因为VA­PBE＝VP­ABE，即××6×9×h＝××12×6×2，所以h＝，

即点A到平面PBE的距离为.

【变式训练4-1】、 (2018·北京高考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

 (1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(3)求证：EF∥平面PCD.

证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，

所以BC∥AD，所以PE⊥BC.

(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，

因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，

所以PD⊥平面PAB.

因为PD⊂平面PCD，

所以平面PAB⊥平面PCD.

(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，

所以FG∥BC，FG＝BC.

因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，

所以DE∥BC，DE＝BC.

所以DE∥FG，DE＝FG.

所以四边形DEFG为平行四边形．

所以EF∥DG.

又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，

所以EF∥平面PCD.