2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）专题五 特殊平行四边形最值问题专题训练（培优篇）（专项练习）

这是一份2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）专题五 特殊平行四边形最值问题专题训练（培优篇）（专项练习），共60页。
专题五 特殊平行四边形最值问题专题训练（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．20
2．如图，在菱形中，点是对角线上一点，是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为（ ）

A．2 B．2 C．3 D．
3．如图，在正方形中，、分别为、上的点，且平分，，为线段上的动点，记的最小值为，若正方形边长为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（ ）

A． B．5 C． D．
5．如图，点P为正方形内一点，已知正方形的边长为2，且有，则的最小值为（ ）．

A．1 B． C． D．
6．四边形四个顶点的坐标分别为，则四边形周长的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（　　）

A．4 B．4.8 C．5 D．6
8．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（　　）

A．4 B．8 C．2 D．4
9．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）

A．0.5 B．2.5 C． D．1
10．如图，ABC≌AED，BC与ED交于点F，连接AF，P为线段AF上一动点，连接BP、DP，EF＝3，CF＝5，则BP+DP的最小值是（　　）

A．4 B．8 C．10 D．16


二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为______．

12．如图，正方形的边长为4，为边上一点，AE=1.5，为边上一动点，连接，以为边向右作等腰直角，，连接．当取最小值时，的长度是______．

13．如图，在四边形中，，四边形的面积为，连接对角线，则的最小值为______．

14．如图，在矩形中，，，为的中点，为线段上一动点，为中点，连接，则线段长的取值范围是______

15．如图，F为正方形的边上一动点，，连接，过A作交于H，交于G，连接，当为最小值时，的长为___________．

16．如图，矩形中，，点H在边上，，E为边上一个动点，连．以为一边在的右上方作菱形，使点G落在边上，连结．

（1）当菱形为正方形时，的长为________；
（2）在点E的运动过程中，的面积S的取值范围为________．
17．如图，正方形ABCD的边长为8，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是_________．

18．如图，四边形是边长为的正方形，M为对角线（不含B点）上任意一点．
（1）的最小值是______．
（2）的最小值是________．

19．如图，边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，点M为AD的中点，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，则线段MF＋AE的最小值为________．

20．在中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB上一动点，连接CD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE的最小值为_____．


21．如图①，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有Rt△ABC，已知AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一个动点，点N为DE中点，若筝形ADPE的面积为18，则AN的最大值为_____．

22．如图，在菱形中，已知，，把沿方向移动得到，连接、，则的最小值为______．

23．如图，已知正方形ABCD的边长为5，l是过点A的任意一条直线，点M（在正方形内部或边上）是点D关于直线l的对称点．连接CM，则线段CM长度的最大值是______．

24．如图，已知菱形的两条对角线长分别是6和8，点分别是边、上的动点，在对角线上找一点，使有最小值，其最小值是_______．

25．如图，正方形ABCD中，的平分线交DC于点E，若P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．

26．如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是______．

27．如图，在正方形ABCD中，AC=6，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是_________．

28．如图，有一根固定长度的木棍在正方形的内部如图1放置，此时木棍的端点恰好与点重合，点在边上，，将木棍沿向下滑动个单位长度至图2的位置．同时另一个端点沿向右滑动个单位长度至，且，．在滑动的过程中，点到木棍中点的最短距离为__________．


三、解答题
29．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
（1）如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
（2）如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
（3）如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．


30．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形．
（1）求AB的长度；
（2）重叠部分的面积为　 　；
（3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值．


























参考答案
1．B
【分析】
连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图，连接BP，

在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=6，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE，
则BE=2AB=8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴CE==10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故选：B．
【点拨】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解题的关键．
2．A
【分析】
点和点是定点，点在直线上一动点，是轴对称最值问题，连接，由菱形的对称性可知，点和点关于对称，连接，即为所求．
【详解】
解：如图，由菱形的对称轴可知，点和点关于对称，连接，即为所求的最小值．

连接，
，四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
点为的中点，
，
菱形的周长为16，
，
在中，，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
3．B
【分析】
连接EG，BP，由题意得当点P与点G重合时，的值最小=BF，再证明，从而得是等腰直角三角形，设CF=BE=GE=x，则EC=，列方程求出x的值，进而即可求解．
【详解】
解：连接EG，BP，
∵点B与点D关于AC对称，
∴=，
∴当点P与点G重合时，的值最小=BF，
∵在正方形中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

又∵，
∴，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABM=∠CBF+∠ABM=90°，即：∠AMB=∠AMG=90°，
∵平分，
∴∠BAM=∠GAM，
又∵AM=AM，
∴
∴AB=AG，
又∵AE=AE，
∴
∴∠AGE=∠ABE=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴设CF=BE=GE=x，则EC=，
∴x+=，解得：，
∴BF=，即：，
∴=．
故选B．

【点拨】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
4．C
【分析】
作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，
当H、P、N、Q四点共线时，MN+NP=PQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明△ABE≌△BCF，进而得△APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ．
【详解】
解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，
则MN=QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCF中,
，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∠AEB=∠BFC，
∵ AB∥CD，
∴∠ABP=∠BFC=∠AEB，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∠BAE+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴PH=AB=2，
∵M点是BC的中点,
∴BM=MC=CQ=BC=2，
∵PH+PQ≥HQ，
∴当H、P、Q三点共线时，
PH+PQ=HQ==的值最小，
∴PQ的最小值为2 -2，
此时，若N与N'重合时，
MN+PN=MN=QN´+PN´=QN´+PN´=2 -2的值最小，
故答案为：C．

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是确定PM+MN取最小值时P与N的位置．
5．C
【分析】
取AD中点E，连接PE、BE，当P、E、B三点共线时，最小，求出BE、PE即可．
【详解】
解：取AD中点E，连接PE、BE，
∵正方形的边长为2，
∴PE=AE=1，
，
∵，
当P、E、B三点共线时，最小，最小值为，
故选：C．

【点拨】本题考查了正方形中线段最短问题，解题关键是确定点P的运动轨迹，明确BP长取值范围．
6．D
【分析】根据C和D的坐标可知，C和D点位于直线上，然后做出A关于直线的对称点A1，再作A1G=1且A1G⊥x轴，构造平行四边形，找到最小值是C和D的位置，计算即可
解：如图所示，作点A关于直线的对称点A1，然后做A1G=1且A1G⊥x轴，连接GB交y轴于点C，然后点C上移一个单位后得到点D，此时四边形ABCD周长最小

∵A和A1关于直线对称
∴A1D=AD，A1坐标为（8，4）
∵A1G∥DC且A1G=DC
∴四边形A1DCG是平行四边形
∴A1D=AD=CG
∴AD+BC=BG，此时AD+BC有最小值
∵G坐标为（8，3）
∴BG==
∵
∴AB=，CD=1
∴四边形周长的最小值=6+
故选：D
【点拨】本题主要考查将军饮马，做对称点，然后构造平行四边形是解题的关键．
7．B
【分析】
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【详解】
连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OBOC＝BCOP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．

【点拨】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
8．D
【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当CP⊥P1P2时，PC取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2，故CP的最小值为CP1的长，由勾股定理求解即可．
解：如图：

当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2，
∴P1P2∥DE且P1P2＝DE
当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，
∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，DP1＝2
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°
∴∠AP2P1＝90°
∴∠AP1P2＝45°
∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2，
∴CP的最小值为CP1的长
在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝4，
∴CP1＝4
∴PB的最小值是4．
故选：D．
【点拨】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
9．B
【分析】
由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解】
由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB≅ΔEHG，

从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，

则.
故选B．
【点拨】本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键．
10．B
【分析】
依据点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，即可得到CP＝DP，EF＝BF＝3，再根据当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，即可得出BP+DP的最小值．
【详解】
解：如图所示，连接CP，

由题可得，点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，
∴CP＝DP，EF＝BF＝3，
∴BP+DP＝BP+CP，
∴当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，
∵EF＝3，CF＝5，
∴BF+CF＝BC＝8，
∴BP+DP的最小值是8，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11．
【分析】
要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，即四边形APQE的周长最小．
【详解】
在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．则四边形APQF是平行四边形
∴PA=FQ=GQ

∵E为CD边的中点
∴DE=EC=2
∴
∵GH=DF=6，EH=EC+CH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴，
∴四边形APQE的周长的最小值=QE+EA+PQ+AP
=+EQ+2+AP
=+EQ+2+QG
=+EG+2
=．
故答案为．
【点拨】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．
12．1.5
【分析】
如图所示，过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，根据正方形的性质和三角形的内角和可以推出∠1=∠3，根据全等三角形的判定可得△AFE≌△HEG，正方形的边长为4，AE=1.5，设FD=x，BG=y，根据勾股定理可得y²=（1.5-x）²+1.5²=（x-1.5）²+1.5²，再根据非负数的性质知，当x=1.5时，y²有最小值1.5²，即当BG取最小值时，FD的长度为1.5．
【详解】
解：如图所示，
过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，

∵正方形ABCD，
∴AD=AB，∠A=90°=∠EHG，
又∵∠FEG=90°，FE=EG，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△AFE≌△HEG（AAS），
∴AE=GH，AF=EH，
∵正方形的边长为4，AE=1.5，设FD=x，BG=y，
则EH=AF=4-x，EB=4-1.5=2.5，GH=AE=1.5，
BH=EH-EB=4-x-2.5=1.5-x，
由BG2=BH2+GH2得，
y2=（1.5-x）2+1.52=（x-1.5）2+1.52≥1.52，
∴当x=1.5时，y2有最小值1.52，
∴当BG取最小值时，FD的长度为1.5，
故答案为：1.5．
【点拨】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，非负数的性质等．解本题要熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等基本知识．
13．
【分析】
连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，利用直角三角形的性质和勾股定理求出相应线段，从而计算出△ABC的面积，结合四边形ABCD的面积得到△ADC的面积，从而求出点D到AC的距离h，过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，过点C作DE 的对称点为F，连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，结合对称的性质证明△CEF是等边三角形，利用勾股定理求出BF的长，根据对称的性质判断出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值，即为BF即可．
【详解】
解：如图，连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，

在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=60°，AB=2，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=1，
∴AH=，
∵BC=4，
∴CH=BC-BH=3，
∴AC=，
∴AC=2AH，
∴∠ACH=30°，
∵S△ABC=，S四边形ABCD=，
∴S△ADC=S四边形ABCD-S△ABC=，
设点D到AC的距离为h，
∴S△ADC=，
∴h=1，即点D到AC的距离为1，

过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C关于直线DE 的对称点F，
连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，
∵AC∥DE，
∴∠ACH=∠DEC=30°，
由对称性可知：DC=DF，EC=EF，∠DEC=∠DEF=30°，
∴∠CEF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF=2h=2，
∵FG⊥CE，
∴CG=EG=1，BG=BC+CG=5，
∴FG=，
在△BGF中，∠BGF=90°，BF=，
∵BD+CD=BD+DF≥BF，
∴当且仅当B，D，F三点共线时，
BD+CD取得最小值，即为BF，
∴BD+CD的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．
14．
【分析】
根据中位线定理先判断出点P的轨迹是线段P1P2，再根据矩形的性质及已知条件判断△DP1P2是直角三角形，从而得出点D到线段P1P2上各点的连线中，DP1最小，DP2最大．
【详解】
解：如图：

当点F与点C重合时，点P在点P1 处，CP1=BP1，
当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2=BP2，
∴P1P2∥EC且P1P2=CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP=FP，
由中位线定理可知：P1P∥CF且P1P=CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为AD的中点，
∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形，
∴∠ECB=45°，∠DP1C=45°，
∵P1P2∥EC，
∴∠P2P1B=∠ECB=45°，
∴∠P2P1D=90°，
∴DP的长DP1最小，DP2最大，
∵CD=CP1=DE=2，
∴DP1=，CE=，
∴P1P2=，
∴DP2=，
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的性质、轨迹等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
15．
【分析】
如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．首先证明O，G，C共线时，CG的值最小（如图2中），证明CF=CG=BH即可解决问题（图2中）．
【详解】
解：如图1中，取的中点，连接，．

四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，最小值（如图2中），

，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
16．1
【分析】
（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=90°，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=1；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=1，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围．
【详解】
解：（1）如图1，当菱形为正方形时，，，

四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
故答案为：1；
（2）如图2，过作，交延长线于，连接，

，
，
，
，
，
在和中，

，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值1，
因此，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
的最小值为，此时，的最大值为，此时，
在点的运动过程中，的面积的取值范围为：；
故答案为：；
【点拨】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
17．4
【分析】
根据题意过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【详解】
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，

∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=8，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2=64，
∴P′D′=4，即DQ+PQ的最小值为4．
故答案为：4．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据角平分线的性质作出辅助线是解答此题的关键．
18．2 +1
【分析】
（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC，根据正方形的边长求出AC即可；
（2）以AB为边作等边△ABE，连接CE，根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，求出EF和BF，再利用勾股定理求出CE的长即可．
【详解】
解：（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC，
∵AB=BC=CD=DA=，
∴AC=2；

（2）如图，以AB为边作等边△ABE，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小．
理由如下：在EC上截取EN=CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
又∵BM=BM，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM=CM，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=BC，∠ABE=60°，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
又∵BE=BC，EN=CM，
∴△BEN≌△BCM（SAS），
∴BM=BN，∠EBN=∠CBM=45°，
∴∠ABN=15°，
∴∠MBN=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短，
∴当点M在BD上使∠BCM=15°时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
∵正方形ABCD的边长为，
如图，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°，
∴EF=BE=，
∴BF==，
∴EC===+1，
故答案为：2，+1．

【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键确定点M的位置．
19．
【分析】
取CD、BC中点N、G，连接FN，NG，EG，先根据菱形的性质、中位线的性质以及平行四边形的判定及性质证得MF＝EG，进而根据勾股定理求线段AG的长即可．
【详解】
解：如图，取CD、BC中点N、G，连接FN，NG，EG，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，
∴BCD、ABD为等边三角形，
∴BD＝BC＝CD＝AB＝AD＝4，∠ADC＝∠BDC＝∠C＝60°，∠ABC＝120°，
∵点N、G为CD、BC中点，点M为AD的中点，
∴NGBD，NG＝BD＝2，DM＝DN，BG＝BC＝2，
又∵EF＝2，
∴NG＝ EF，NGEF，
∴四边形EFNG为平行四边形，
∴EG＝FN，
∵DM＝DN，∠ADC＝∠BDC，DF＝DF，
∴DMF≌DNF（SAS）
∴MF＝NF，
∴MF＝EG，
∴MF＋AE＝EG＋AE，
∵点A、G为定点，点E为线段BD上的动点，
∴当点A、E、G在同一直线上时，EG＋AE即可取得最小值，为AG的长，此时MF＋AE的值最小，
如图，当点A、E、G在同一直线上时，
过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∴∠H＝90°
∵∠ABC＝120°，
∴∠BGH＝∠ABC－∠H＝30°，
∴BH＝BG＝1，
∴AH＝AB＋BH＝5，
∵在RtBGH中，GH2＝BG2－BH2＝3，
∴在RtBGH中，AG＝＝，
∴MF＋AE的最小值为，

故答案为：．
【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定及性质、中位线的性质、平行四边形的判定及性质以及勾股定理，此题较难，能够灵活运用各种图形的性质及判定是解决本题的关键．
20．4.8．
【分析】
过C作CF⊥AB于点F，利用勾股定理建立方程便可求得CF，当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，证此时DE＝CF．
【详解】
解：∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OA＝OC，DE＝2OD，
∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，
过C作CF⊥AB于点F，则∠CFD＝∠EDF＝90°，
∵平行四边形ADCE中，AD∥CE，即AB∥CE，
∴∠ECF＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DE＝CF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
设BF＝x，则AF＝5﹣x，
∵BC2﹣BF2＝CF2＝AC2﹣AF2，
即62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，
解得，x＝3.6，
∴BF＝3.6，
∴CF＝，


∴DE的最小值为4.8．
故答案为4.8．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短等知识；构造直角形求出CF是解题的关键．
21．．
【分析】
根据题意可知，可知当AP取最小值时，DE有最大值；根据直角三角形斜边中线的性质可知AN=DE，故当DE取最大值时，AN有最大值；求出AP的最小值即可解决问题．当AP⊥BC时，AP取到最小值，利用三角形面积公式可求出AP的最小值．
【详解】
解：如图②，

∵ADPE是筝形，
∴筝形ADPE的面积=，
∴，
∴当AP取最小值时，DE有最大值，
∵P为BC边上一个动点，
∴当AP⊥BC时，AP取到最小值，
∴AP的最小值= = ，
∴，
∴DE=，
∴DE的最大值是，
∵Rt△ADE中，点N为DE中点，
∴AN=DE，
∴当DE取最大值时，AN有最大值，
∴AN的最大值是．
故答案是：．
【点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质及直角三角形的面积公式，理解“筝形”的定义是解题的关键，难点在于分析出当AP取最小值时，DE有最大值．
22．
【分析】
连接AA1，得到直线l，先证明四边形A1B1CD为平行四边形，得到B1C=A1D，由此可得A1C+B1C=A1C+A1D，作D点关于的对称点D′，D′D交l于H点，连接CD′，得D′H=DH，则A1C+B1C 的最小值为CD′，由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，BD为对角线，在Rt△DAH中，求出DH的长，再得到到△CDD′为等腰三角形，过D作DM⊥CD′交CD′于M点，再求出CD′，即可求解 .
【详解】
连接，得到直线，
∵沿运动得到，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
此时、为动点，在上运动，
两定一动为将军饮马问题，
作点关于的对称点，交于点，连接，得，

则，
∵四边形为菱形，，为对角线，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，，，
，
在中，


，即为等腰三角形，
过作交于点，

∵为等腰三角形，，
∴平分，，
在中，，
，
∴，
∴A1C+B1C=.
故答案为：.
【点拨】这题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，和最短路径问题，解题的关键是理清题意，灵活运用平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识求出最小值．此题较难．
23．
【分析】
连接，．求出，，根据即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接，．

四边形是正方形，
，，
，
，关于直线对称，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，轴对称变换、线段和最值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．
【分析】
当点N关于AC对称点N'与P，M三点共线且与BC垂直时， PN+PM的最小值就是MN的长，然后求MN得长即可．
【详解】
解：如图：当点N关于AC对称点N与P，M三点共线且与BC垂直时，PN+PM的最小值就是MN'的长
∵菱形ABCD的两条对角线长分别是6和8，
∴BC==5，
∵MN'⊥BC
∴S菱形ABCD=BC·MN'=BD·AC.
∴MN'=
即PM+PN的最小值是．
故答案为．

【点拨】本题考查了菱形的性质和运用轴对称确定最短路径问题，将PM+ PN的最小值转换为线段MN的长度是解答本题的关键．
25．
【分析】
作P点关于线段AE的对称点，根据轴对称将转换成，然后当的时候是最小的，得到长，最后求出正方形边长DC．
【详解】
∵AE是的角平分线，
∴P点关于线段AE的对称点一定在线段AC上，记为
由轴对称可以得到，
∴，
如图，当的时候是最小的，也就是取最小值4，
∴，
由正方形的性质是AC的中点，且，
在中，．
故答案是：．

【点拨】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出取最小值的状态，并将它转换成去求解．
26．
【分析】
先判断出≌，得出，进而判断出≌，得出，即可判断出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．
【详解】
如图，

在正方形ABCD中，，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值，
故答案为．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系等，综合性较强，有一定的难度，确定出CF最小时点F的位置是解题关键．
27．
【详解】
解析：∵在正方形ABCD中，AC=，
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF与AD交点为O，O是AD的中点,
∴AO=3
以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小，
即△AOE是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=OA=，
∴EF=2OE=
28．
【分析】
分别根据图1和图2得出MN2=AB2+BN2=（a+3.9）2+2.52，M′N′2=BM′2+BN′2=3.92+（2.5+）2，求出a值，连接BP，BD，求出BD和BP，分析出当B、P、D三点共线时，DP最短，利用DP=BD－BP得到DP的值即可.
【详解】
解：由图2可知：AB=AM′+BM′=a+3.9，
∵BN=2.5，
∴在图1中，MN2=AB2+BN2=（a+3.9）2+2.52，
∵a：b=7:9，
∴，
在图2中，M′N′2=BM′2+BN′2=3.92+（2.5+）2，
∵MN2=M′N′2，
∴（a+3.9）2+2.52=3.92+（2.5+）2，
解得：a=2.1或a=0（舍），
∴AB=a+3.9=2.1+3.9=6，
∴在图1中，MN=，
连接BP，BD，如图，

∵∠BAD=90°，AD=AB=6，
∴BD==，
∵∠M′BN′=90°，P是M′N′的中点，
∴BP=M′N′=MN=×6.5=，
∵DP≥BD－BP，
∴当B、P、D三点共线时，DP最短，此时DP=BD-BP=－，
∴在滑动的过程中，点D到木棍中点P的最短距离为－.
故答案为：－.
【点拨】本题考查了正方形中的最短距离问题，勾股定理，属于动态型的问题，解题的关键是根据所学知识结合实际情境判断出当B、P、D三点共线时，DP最短.
29．
（1）见解析（2）4（3）4
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．
（1）
解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
（2）
如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．

∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
（3）
如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，

∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．
30．（1）12cm；（2）cm2；（3）
【分析】
（1）证明A，D，F共线，△ABF是等边三角形即可解决问题．
（2）根据S△DEB=S△DCB求解即可．
（3）首先判定四边形ADC′B′是平行四边形，得到C′F=B′D，作点D关于AB的对称点D′，可判断当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′，过F作FH⊥DG，垂足为H，在△D′HF中利用勾股定理求出D′F的长即可．
【详解】
解：（1）∵△BCE是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=60°，CD∥AB，
∴∠EDB=∠DBA，
由翻折可知，∠ABD=∠DBF，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB=EC，
∴∠DCB=90°，
∵AD∥BC，
∴BD⊥AF，
∴A，D，F共线，AD=DF=6cm，
∵BA=BF，∠A=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=AF=12cm；
（2）∵∠DBC=90°，BC=AD=6cm，∠C=60°，
∴BD=BC=cm，
∵DE=EC，
∴S△DEB=S△DCB=××6×=cm2；
（3）由平移可知：BC=B′C′，BC∥B′C′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AD=B′C′，AD∥B′C′，
∴四边形ADC′B′是平行四边形，
∴C′F=B′D，
作点D关于AB的对称点D′，
则B′D=B′D′，即C′F+B′F=B′D′+B′F，
当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴AG=3，DG===D′G，
过F作FH⊥DG，垂足为H，同理可求：GH=，
∴HD′=HG+D′G=，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDE=∠F=60°，
∴HF=DF=3，
∴D′F==，即C′F+B′F的最小值为．

【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质，翻折变换，最短路径，等边三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．