高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案，共7页。


在上一节，我们已经知道圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
[问题] 如果把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？




知识点 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq \f(1,2)_eq \r(D2＋E2－4F)．
eq \a\vs4\al()
圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F>0.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示圆．( )
(2)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆．( )
答案：(1)× (2)√
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析：选D 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(－4,2)，－\f(6,2)))，即(2，－3)．
3．过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为______．
解析：该圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))，半径为eq \f(5,2)，
故其标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋(y－2)2＝eq \f(25,4).
化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0.
答案：x2＋y2－3x－4y＝0
[例1] (链接教科书第88页练习2题)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解] (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜eq \f(1,5)，
故m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,5))).
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝eq \r(1－5m).
eq \a\vs4\al()
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
[跟踪训练]
1．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋eq \f(5,2)＝0，配方得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋(y＋1)2＝－eq \f(5,4)＜0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
答案：(－2，－4) 5
2．已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
证明：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.
又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，
即曲线C是一个圆．
设圆心坐标为(x，y)，则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2m，,y＝－m))消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上.
[例2] (链接教科书第86页例4)已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq \r(3)，求圆的方程．
[解] 法一(待定系数法)：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4D－2E＋F＋20＝0， ①,D－3E－F－10＝0， ②))
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③
由已知|y1－y2|＝4eq \r(3)，其中y1，y2是方程③的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
联立①②④解得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.))
故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
法二(几何法)：由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径长r＝|CP|＝eq \r(（a－4）2＋（a＋1）2). ①
由已知圆C截y轴所得的线段长为4eq \r(3)，而圆心C到y轴的距离为|a|.
∴r2＝a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),2)))eq \s\up12(2)，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝eq \r(13)，r2＝eq \r(37).
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
eq \a\vs4\al()
利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
[跟踪训练]
1．过点M(－1，1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________．
解析：将已知圆的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r＝|CM|＝eq \r(（2＋1）2＋（－3－1）2)＝5.所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
2．过三点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的圆的一般方程为________________．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．由已知，点O(0，0)，M(7，1)，N(4，2)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得关于D，E，F的三元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,7D＋E＋F＋50＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，))解方程组得D＝－8，E＝6，F＝0，于是得到所求圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
答案：x2＋y2－8x＋6y＝0
角度一 直接法求动点的轨迹方程
[例3] 求到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的eq \f(1,2)的点M的轨迹方程．
[解] 设点M的坐标是(x，y)，则eq \f(|MO|,|MA|)＝eq \f(1,2).
∴eq \f(\r(x2＋y2),\r(（x－3）2＋y2))＝eq \f(1,2).
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，
即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
角度二 代入法求动点的轨迹方程
[例4] 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．
[解] 设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2x，,y0＝2y.))
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－8x0－6y0＋21＝0.
∴(2x)2＋(2y)2－8×2x－6×2y＋21＝0，即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋eq \f(21,4)＝0.
角度三 定义法求动点的轨迹方程
[例5] 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程．
[解] 法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
又因为kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，且kAC·kBC＝－1，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，化简，得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法二：同法一，得x≠3，且x≠－1.
由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1)．
法三：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0)．
由直角三角形的性质，知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1)．
eq \a\vs4\al()
求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明；
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程．
[注意] 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点．
[跟踪训练]
已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2＋x,2)＝x0，,\f(0＋y,2)＝y0.))①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋yeq \\al(2,0)＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．其轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝16B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16
解析：选C 将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.
2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，＋∞))
解析：选A 方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．
3．求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5，2)和(3，－2)的圆的一般方程．
解：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
∵圆心在直线2x－y－3＝0上，
∴2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(E,2)))－3＝0.①
又∵点(5，2)和(3，－2)在圆上，
∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0.②
32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0.③
解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
新课程标准解读
核心素养
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程
逻辑推理
2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程
数学运算
圆的一般方程的辨析
求圆的一般方程
求动点的轨迹方程