


人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率学案
展开我们知道,经过平面直角坐标系中的一点,可以有无数条不同的直线.
[问题] 如图所示,过同一点的直线l1,l2,l3,l4,它们彼此之间的不同点是什么?你能找到一个量来描述它们的不同点吗?你找到的量,能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗?
知识点一 直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.如图所示,直线l的倾斜角是∠APx,直线l′的倾斜角是∠BPx.
2.倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
已知直线上一点和该直线的倾斜角,该直线是否唯一确定?
提示:确定.
1.如图所示,直线l的倾斜角为________.
答案:135°
2.直线x=1的倾斜角α=________,直线y=1的倾斜角α=________.
答案:90° 0°
知识点二 直线的斜率
1.斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan_α.
2.斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=eq \f(y2-y1,x2-x1).当x1=x2时,直线P1P2没有斜率.
1.任何一条直线都有倾斜角吗?任何一条直线都有斜率吗?
提示:任何一条直线都有倾斜角.但倾斜角为90°的直线没有斜率.
2.直线的倾斜角越大,斜率就越大吗?
提示:不是,如60°<120°,但斜率分别为eq \r(3)和-eq \r(3),而eq \r(3)>-eq \r(3).应分区间说明,当α∈[0°,90°)和α∈(90°,180°)时,上述结论在这两个区间分别成立.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)倾斜角为135°的直线的斜率为1.( )
(2)若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tan α.( )
(3)直线斜率的取值范围是(-∞,+∞).( )
答案:(1)× (2)× (3)√
2.若直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角是( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.-45°
解析:选B 作出直线l,如图所示,由图易知,应选B.
3.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3)
C.1 D.eq \f(\r(2),2)
解析:选A 由题意可知,直线l的斜率k=tan 30°=eq \f(\r(3),3).
[例1] 设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( )
A.α+45° B.α-135°
C.135°-α D.α+45°或α-135°
[解析] 由倾斜角的取值范围知,只有当0°≤α+45°<180°(0°≤α<180°),即0°≤α<135°时,l1的倾斜角才是α+45°.而0°≤α<180°,所以当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为α-135°(如图).
[答案] D
eq \a\vs4\al()
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角;
(2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°;②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
[跟踪训练]
如图,直线l的倾斜角为( )
A.60° B.120°
C.30° D.150°
解析:选D 由图易知l的倾斜角为45°+105°=150°.
[例2] (链接教科书第54页例1)经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3),B(4,5);
(2)C(-2,3),D(2,-1);
(3)P(-3,1),Q(-3,10).
[解] (1)存在.直线AB的斜率kAB=eq \f(5-3,4-2)=1,即tan α=1,又0°≤α<180°,所以倾斜角α=45°.
(2)存在.直线CD的斜率kCD=eq \f(-1-3,2-(-2))=-1,即tan α=-1,又 0°≤α<180°,所以倾斜角α=135°.
(3)不存在.因为xP=xQ=-3,所以直线PQ的斜率不存在,倾斜角α=90°.
eq \a\vs4\al()
1.利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率是不存在的;
(2)斜率公式与两点P1,P2的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.
2.在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
[跟踪训练]
1.直线经过点P(3,2),Q(-3,3),则k=________.直线PQ的倾斜角为________角(填“钝”或“锐”).
解析:k=eq \f(3-2,-3-3)=-eq \f(1,6)<0,直线PQ的倾斜角为钝角.
答案:-eq \f(1,6) 钝
2.过点P(-2,m),Q(m,4)两点的直线的方向向量为(1,2),则m的值为________.
解析:由斜率公式k=eq \f(4-m,m-(-2))=2,得m=0.
答案:0
[例3] 已知点A(2,1),B(-2,2),若直线l过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,5),-\f(1,5)))且总与线段AB有交点,求直线l的斜率k的取值范围.
[解] 当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时,l的斜率逐渐变大直至当l垂直于x轴,当直线l垂直于x轴时,l无斜率,再转动时斜率为负值并逐渐变大直到PB的位置,所以直线l的斜率k≥kPA=eq \f(3,7)或k≤kPB=-eq \f(11,6),即直线l的斜率k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(-∞,-\f(11,6)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7),+∞)).
eq \a\vs4\al()
1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k=tan α(α≠90°)解决.
2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k=eq \f(y2-y1,x2-x1)(x1≠x2)求解.
3.涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
[跟踪训练]
1.若经过两点A(2,1),B(1,m2)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(-1,+∞)
C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:选C ∵直线l的倾斜角为锐角,
∴斜率k=eq \f(m2-1,1-2)>0,∴-1
解:eq \f(f(x),x)表示经过点O(0,0)和点A(x,f(x))的直线的斜率,所以我们可以赋予eq \f(f(a),a),eq \f(f(b),b),eq \f(f(c),c)几何意义:表示3个斜率.作函数f(x)=lg2(x+1)的图象如图所示.
因为a>b>c>0,在函数图象上找到对应点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c)),将这三点与原点相连,可得eq \f(f(c),c)>eq \f(f(b),b)>eq \f(f(a),a).
[例4] 光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标及入射光线的斜率.
[解] 法一:设Q(0,y),则由题意得kQA=-kQB.
∵kQA=eq \f(1-y,2),kQB=eq \f(3-y,4),∴eq \f(1-y,2)=-eq \f(3-y,4).
解得y=eq \f(5,3),即点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(5,3))),
∴k入=kQA=eq \f(1-y,2)=-eq \f(1,3).
法二:设Q(0,y),如图,点B(4,3)关于y轴的对称点为B′(-4,3),
kAB′=eq \f(1-3,2+4)=-eq \f(1,3),由题意得,A、Q、B′三点共线.
从而入射光线的斜率为kAQ=kAB′=-eq \f(1,3).
即eq \f(1-y,2)=eq \f(1-3,2+4),解得y=eq \f(5,3),点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(5,3))).
eq \a\vs4\al()
光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.
[跟踪训练]
一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.
解:法一:由光的反射原理,知kAP=-kBP,
设P(x,0),则eq \f(0-3,x-(-2))=-eq \f(0-7,x-5),解得x=eq \f(1,10),即点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10),0)).
法二:由题意,知x轴是镜面,入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为A1(-2,-3),则点A1应在反射光线所在的直线上,即A1,P,B三点共线,即kA1P=kPB,即eq \f(0+3,x+2)=eq \f(7,5-x),解得x=eq \f(1,10),即点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10),0)).
1.若直线l经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角范围是( )
A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°
C.90°<α<180° D.0°<α<180°
答案:C
2.过点A(-eq \r(3),eq \r(2))与点B(-eq \r(2),eq \r(3))的直线的倾斜角为( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.60°
解析:选A kAB=eq \f(\r(3)-\r(2),-\r(2)-(-\r(3)))=eq \f(\r(3)-\r(2),\r(3)-\r(2))=1,
即tan α=1,又0°≤α<180°,所以直线的倾斜角为45°.
3.过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为( )
A.1或4 B.4
C.1或3 D.1
解析:选D 由k=eq \f(m-4,-2-m)=1,得m=1.
4.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π,π)),则k的取值范围是________.
解析:∵α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π,π)),
当eq \f(π,6)≤α<eq \f(π,4)时,eq \f(\r(3),3)≤tan α<1,∴eq \f(\r(3),3)≤k<1.
当eq \f(2π,3)≤α<π时,-eq \r(3)≤tan α<0,∴-eq \r(3)≤k<0.
∴k∈[-eq \r(3),0)∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3),1)).
答案:[-eq \r(3),0)∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3),1))
5.光线从点A(-2,eq \r(3))射到x轴上的B点后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,2eq \r(3)),则光线BC所在直线的倾斜角为________.
解析:点A(-2,eq \r(3))关于x轴的对称点为A′(-2,-eq \r(3)),由物理知识知kBC=kA′C=eq \f(2\r(3)-(-\r(3)),1-(-2))=eq \r(3),即tan α=eq \r(3),又0°≤α<180°,所以所求倾斜角为60°.
答案:60°
新课程标准解读
核心素养
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素
数学抽象
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式
直观想象
直线的倾斜角
直线的斜率
倾斜角α
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率k
0
eq \f(\r(3),3)
1
eq \r(3)
-eq \r(3)
-1
-eq \f(\r(3),3)
直线的倾斜角、斜率的应用
利用斜率求解反射问题
人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案及答案: 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程学案及答案,共9页。
高中人教A版 (2019)2.1 直线的倾斜角与斜率学案: 这是一份高中人教A版 (2019)2.1 直线的倾斜角与斜率学案,共11页。
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率导学案及答案: 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率导学案及答案,共11页。