初中人教版5.2.1 平行线学案及答案

这是一份初中人教版5.2.1 平行线学案及答案，共33页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题二 平行线几何模型-M模型（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（　　）

A．90° B．105° C．120° D．135°
2．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）

A．70° B．65° C．35° D．50°
3．如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（　　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
4．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）

A．70° B．65° C．35° D．5°
5．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）

A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°


二、填空题
6．如图，在中，，，．在上取一点，上取一点，连接，若，过点作，且点在的右侧，则的度数为__________．

7．如图，，则____________________．

8．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____．

9．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．


三、解答题
10．如图所示，已知，平分，平分，求证：



11．如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论．


（1）；
（2）．



12．（1）如图1，，，，则 ；
（2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，求与、之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出与、之间的数量关系．


13．在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程：

证明：过点，作，如图2
∴______（_________________）
∵，_______=（已知）
∴（___________）
∴______=_______
∴_____（________________）
∵
∴
14．如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度数．









15．如图，已知，求证：.




16．如图所示，，平分，平分，的余角等于的补角，求的度数.




17．（1）已知：如图（a），直线．求证：；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？



18．如图，，点E在直线AB，CD内部，且．
（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由；
②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由．



19．已知直线l1//l2， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）



20．如图，直线AB//CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点E为直线AB与CD之间的一点，连接ME、NE，且∠MEN=80°，∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，则∠MFN的度数为______________．







21．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数．
　　　 　　　 　　　

（1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；
（2）如图3，，点在直线上运动，记，．
①当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；
②若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系．





22．直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．

（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
23．在图中，若，又得到什么结论？





























参考答案
1．B
【分析】
先作直线OE平行于直角三角板的斜边，根据平行线的性质即可得到答案.
【详解】
作直线OE平行于直角三角板的斜边．
可得：∠A＝∠AOE＝60°，∠C＝∠EOC＝45°，
故∠1的度数是：60°+45°＝105°．
故选B．

【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质.
2．B
【分析】
根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】
解：作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，
∵∠1=30°，∠2=35°，
∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，
∴∠BCE=65°，
故选：B．

【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
3．B
【分析】
过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数．
【详解】
解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a，
∵a∥b， ∴a∥b∥AB，
∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，
又∵∠CAD=90°，
∴∠4=50°，
∴∠5=50°，
∴∠1=180°-50°=130°，
故选：B．

【点拨】本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
4．B
【分析】
作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】
作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
5．D
【详解】
分析：过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可.
详解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴
∴
故选D．

点睛：考查平行公理已经平行线的性质，注意辅助线的作法，作出辅助线是解题的关键.
6．
【分析】
在中，由三边的长度可得出，进而可得出为直角三角形且，由于平行线之间有拐点，所以过点C作交AB于点M，则，利用平行的性质可得出的度数，结合可求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出的度数．
【详解】
解：在中，，，，
∵，即，
∴为直角三角形且．
过点C作交AB于点M，则，如下图所示，
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故答案为：．

【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理以及平行线的性质，利用勾股定理的逆定理，找出并知道过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．
7．
【分析】
过点做的平行线，利用平行线的性质，即可证明．
【详解】
过点做的平行线



，
又


又
.
故答案为：．
【点拨】本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线．
8．38°
【分析】
过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．
【详解】
如图，过点B作BD∥a，
∴∠ABD=∠1=22°，

∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．
故答案为：38°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
9．y=90°-x+z．
【分析】
作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．
【详解】
解：作CG∥AB，DH∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CG∥HD∥EF，
∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z
∵∠BCD＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，
∴∠y=∠z+90°-∠x．
即y=90°-x+z．

【点拨】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
10．见解析
【分析】
先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：如图：

∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
，
即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，
∴∠E＝（∠A＋∠C）．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）过点作，根据平行线的性质求证即可；
（2）根据平行线的性质即可得证；
【详解】
（1）过点作，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
，，
．


（2）
，

，
又∵∠BED=∠BEF+∠DEF，
．
【点拨】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
12．（1）；（2），理由详见解析；（3）当点在射线上时，；当点在上时，．
【分析】
（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点作交于点，然后根据平行线的性质求解即可；
（3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可；
【详解】
（1）如图1，过作
，
，
，
又，
，
则

（2）
理由是：
如图2，过点作交于点
，

，


（3）当点在射线上时，设CD与AP交于点P，如图所示，

∵，
∴，
又∵在△CHP中，，
∴，
即：．
当点在上时，如图所示，

作PE∥AB，
∴∠APE=∠BAP=∠α，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE=∠PCD=∠β，
∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．
答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α．
即．
【点拨】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
13．BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行
【分析】
根据平行线的判定与性质即可完成证明过程．
【详解】
证明：过点，作，如图2，
（两直线平行 内错角相等），
，（已知），
（等量代换），
，
（内错角相等 两直线平行），
，
．
故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
14．110°．
【分析】
作BF∥AE，由平行线的性质得∠A+∠ABF=180º，可求∠ABF=180º-∠A，由∠B＝110°，可求∠CBF=∠ABC-∠ABF=70º，由AE∥CD，推出BF∥CD，利用平行线的性质∠FBC+∠C=180º，可求∠C．
【详解】
如图，五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝140°，∠B＝110°，求∠C的度数．
作BF∥AE，
∴∠A+∠ABF=180º，
∵∠A＝140°，
∴∠ABF=180º-∠A=40º，
∵∠ABC＝110°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=110º-40º=70º，
∵AE∥CD，
∴BF∥CD，
∴∠FBC+∠C=180º，
∴∠C=180º-∠FBC=180º-70º=110º．

【点拨】本题考查平行线的性质问题，关键是掌握平行线的判定与性质，会利用平行线的性质求角，会作平行线，利用平行线的判定方法证明两线平行．
15．见解析.
【分析】
作PQ∥BE，由平行线的性质和判定可求证BE∥FC，然后再由邻补角的定义、三角形外角的性质及平行线的性质可求证∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
【详解】
解：作PQ∥BE，如图所示：

∵BE∥PQ，
∴∠1=∠EOP，
∵∠3=∠1+∠2，∠3=∠EOP+∠POF，
∴∠2=∠POF，
∴PQ∥FC，
∴BE∥FC，
∴∠AME=∠FNA，
又∵∠AME=∠A+∠B,∠FND=∠C+∠D,∠FNA+∠FND=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°.
【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形的外角和定理、邻补角的定义等知识点，根据题意和所学知识证明BE∥FC是解题的关键.
16．.
【分析】
先设，.由题意的
，，又因为的余角等于的补角，所以，最终求得.
【详解】
设，.
由基本图形HABCG知，
由基本图形HAFCG知，
因为的余角等于的补角，
所以，解得，
所以
【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线、余角和补角，解题的关键是设，，由题意得到有关x，y有关的等式.
17．（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析
【分析】
（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．
【详解】
解：（1）证明：过点C 作CF∥AB，

∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；
（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，
证明：如图：

∵AB∥ED，
∴∠ABC=∠BFD，
在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，
∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．
若点C在直线AB与DE之间，猜想,

∵AB∥ED∥CF，
∴
∴.
【点拨】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．
18．（1）见解析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析.
【分析】
（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；
（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；
②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.
【详解】
（1）解：因为，
所以∠BAC+∠DCA=180°，
因为，
所以∠EAC+∠ECA=90°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=∠EAC，
所以∠BAE+∠DCE=90°，
所以∠EAC+∠DCE=90°，
所以∠DCE=∠ECA，
所以CE平分∠ACD；
（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，
理由如下： 过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+∠MCD=90°；
②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，
理由如下： 过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+∠MCD=90°.
【点拨】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.
19．（1）；（2）当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．
【分析】
（1）过点作，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出，再由“两直线平行，内错角相等”得出、，再根据角与角的关系即可得出结论；
（2）按点的两种情况分类讨论：①当点在直线上方时；②当点在直线下方时，同理（1）可得、，再根据角与角的关系即可得出结论．
【详解】
解：（1）．
过点作，如图1所示．

，，
，
，，
，
．
（2）结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．
①当点在直线上方时，如图2所示．过点作．


，，
，
，，
，
．
②当点在直线下方时，如图3所示．过点作．


，，
，
，，
，
．
【点拨】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
20．40°或140°
【分析】
分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，可得EG∥FH∥AB，根据AB∥CD，可得EG∥FH∥AB∥CD，情况一根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°；情况二根据平行线的性质可得∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．进而得到结论．
【详解】
解：分两种情况画图讨论：分别过点E和点F作EG∥AB，FH∥AB，
∴EG∥FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥FH∥AB∥CD，
如图，

∵EG∥AB∥CD，
∴∠AME=∠MEG，∠CNE=∠NEG，
∴∠AME+∠CNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF= ∠AME，∠CNF=∠CNE，
∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=40°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，
∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=40°，
如图，

∵EG∥AB∥CD，
∴∠BME=∠MEG，∠DNE=∠NEG，
∴∠BME+∠DNE=∠MEG+∠NEG=∠MEN=80°，
∴∠AME+∠CNE=360°-（∠BME+∠DNE）=280°
∵∠AME的角平分线与∠CNE的角平分线交于点F，
∴∠AMF=∠AME，∠CNF=∠CNE，
∴∠AMF+∠CNF=（∠AME+∠CNE）=140°，
∵FH∥AB∥CD，
∴∠MFH=∠AMF，∠NFH=∠CNF，
∴∠MFN=∠MFH+∠NFH=∠AMF+∠CNF=140°．
综上所述：∠MFN的度数为40°或140°．
故答案为：40°或140°．
【点评】
本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
21．（1）见解析；（2）①，见解析；②
【分析】
（1）过作，利用平行线的性质即可得出答案；
（2）①过作，再利用平行线的性质即可得出答案；②分在延长线上和在延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案
【详解】
解：（1）如图2，过作

，
，
，
，
，，
，，
．
（2）①、，
理由：如图3，过作，
，
，
，，
；

②、．
如备用图1，当在延长线上时，；
　　　

理由：如备用图1，过作，
，
，
，，
；
如备用图2所示，当在延长线上时，；
理由：如备用图2，过P作，
，
，
，，
；
综上所述，．
【点拨】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是过作．
22．（1）∠MEN＝∠CNE+∠AME；（2）∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明见解析；（3）∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明见解析．
【分析】
（1）由平行线的性质及平角的定义即可得解；
（2）过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质即可得解；
（3）过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质即可得解．
【详解】
解：（1）如图1，∠MEN＝∠CNE+∠AME，

证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠CNE+∠AME＝180°，
∵∠MEN＝180°，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（2）如图2，∠MEN＝∠CNE+∠AME，证明如下：

过点E作直线EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠AME＝∠MEF，∠CNE＝∠NEF，
∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，
∴∠MEN＝∠CNE+∠AME；
（3）如图3，∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°，证明如下：

过点E作直线EG∥AB，则EG∥CD，
∴∠AME+∠MEG＝180°，∠CNE+∠NEG＝180°，
∴∠AME+∠MEG+∠CNE+∠NEG＝360°，
∵∠MEG+∠NEG＝∠MEN，
∴∠MEN+∠CNE+∠AME＝360°．
【点拨】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
23．
【分析】
根据图①可得，根据图②可得，即可根据规律得出题目的结论．
【详解】
解：①如图：过点E作，

，,
，
，
；
②如图，过E点作，过F点作
过G点作，

，
，
，
，
即;
③如图：
，
根据以上规律可得：
．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，根据题意将复杂的图形转化为基本图形是解题的关键