2022版高考数学小题标准练（十）

这是一份2022版高考数学小题标准练（十），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(十)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知a是正实数，若复数 eq \f(a＋3i,1－i) 的模为 eq \f(5\r(2),2) ，则实数a的值是( )
A．2 eq \r(2) B．3 C．4 D．4 eq \r(2)
【解析】选C.因为 eq \f(a＋3i,1－i) ＝ eq \f(（1＋i）（a＋3i）,2) ＝( eq \f(a－3,2) )＋( eq \f(a＋3,2) )i，
又因为Z的模为 eq \f(5\r(2),2) ，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－3,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(25,2)
解得a＝4.
2．已知集合A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B≠∅，若3，4∉B，则满足条件的集合A的个数为( )
A．7个 B．8个
C．15个 D．16个
【解析】选C.由题意知3，4∉B，A∩B≠∅，所以A∩B是集合{1，2，5，6}的非空子集，因此，满足条件的集合A的个数为24－1＝15.
3．若cs x＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x)) ＝1，则cs (2x＋ eq \f(π,3) )＝( )
A．－ eq \f(2,3) B．－ eq \f(7,9) C．－ eq \f(1,3) D．－ eq \f(2,9)
【解析】选C.因为cs x＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x)) ＝1，
所以cs x＋sin eq \f(π,6) cs x－cs eq \f(π,6) sin x＝1，
所以 eq \f(3,2) cs x－ eq \f(\r(3),2) sin x＝1， eq \r(3) cs (x＋ eq \f(π,6) )＝1，所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) ＝ eq \f(\r(3),3) ，
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) ＝2cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) －1＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3))) 2－1＝－ eq \f(1,3) .
4. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,x))) eq \s\up12(8) 的展开式的常数项为( )
A．112 B．56 C．28 D．14
【解析】选C.因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,x))) 8的展开式的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) x3(8－r) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) eq \s\up12(r) ＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) x24－4r，由24－4r＝0，得 r＝6，
所以所求的常数项为C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(8)) ＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ＝28.
5．已知点O(0，0)，M(－20，21)，将向量 eq \(OM,\s\up6(→)) 绕点O按顺时针方向旋转90°后得到向量 eq \(ON,\s\up6(→)) ，则点N的坐标是( )
A．(21，20) B．(21，－20)
C．(－21，20) D．(－21，－20)
【解析】选A.方法一：设N(x，y)，(x，y>0)，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(OM,\s\up6(→))⊥\(ON,\s\up6(→))⇒\(OM,\s\up6(→))·\(ON,\s\up6(→))＝0,|\(OM,\s\up6(→))|＝|\(ON,\s\up6(→))|))
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－20x＋21y＝0,x2＋y2＝202＋212)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝21,y＝20)) .
所以N(21，20).
方法二：如图所示，M，N在x轴上的射影为M′，N′，
设N(x，y)，因为 eq \(OM,\s\up6(→)) ⊥ eq \(ON,\s\up6(→)) ，所以∠1＋∠2＝90°.
又∠1＋∠M＝90°，所以∠M＝∠2，
又| eq \(OM,\s\up6(→)) |＝| eq \(ON,\s\up6(→)) |，∠M′＝∠N′，
所以△OM′M≌△NN′O，
所以x＝ON′＝M′M＝21.
y＝N′N＝OM′＝20.
所以N(21，20).
6．设a，b，c都是正实数，若10a＝lg eq \f(1,10) a，( eq \f(1,10) )b＝lg eq \f(1,10) b，( eq \f(1,10) )c＝lg c，则( )
A．aC．c【解析】选A.画出四个函数y＝10x，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10))) eq \s\up12(x) ，y＝lg eq \f(1,10) x，y＝lg x的图象，如图，
由图可知，a7．已知数列{an}满足an＋1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(an,2)，an是偶数，,3an－1，an是奇数．)) 若a1＝20，则a2 022＝( )
A．5 B．7 C．10 D．14
【解析】选C.由已知可得a1＝20，a2＝10，a3＝5，a4＝14，a5＝7，a6＝20，
所以数列具备周期性，周期是5，即an＋5＝an，所以a2 022＝a404×5＋2＝a2＝10.
8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，P是抛物线上的第一象限的点，过点P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF)) ＝3，则直线l的方程为( )
A． eq \r(2) x－y－ eq \r(2) ＝0 B．x＋ eq \r(2) y＋ eq \r(2) ＝0
C． eq \r(2) x－y＋ eq \r(2) ＝0 D．x－ eq \r(2) y＋ eq \r(2) ＝0
【解析】选C.抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由于 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF)) ＝3，根据抛物线的定义可知xP＝1，将xP＝1代入抛物线方程得y2＝8，yP＝2 eq \r(2) ，所以P(1，2 eq \r(2) ).设直线l的斜率为k(k>0)，把直线l的方程y－2 eq \r(2) ＝k(x－1)，代入抛物线方程整理得k2x2＋[2k(2 eq \r(2) －k)－8]x＋(2 eq \r(2) －k)2＝0，
因为直线l与抛物线有且只有一个公共点，
所以Δ＝[2k(2 eq \r(2) －k)－8]2－4k2(2 eq \r(2) －k)2＝0，解得k＝ eq \r(2) ，所以直线l的方程y－2 eq \r(2) ＝ eq \r(2) (x－1)，即 eq \r(2) x－y＋ eq \r(2) ＝0.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知一组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，若这组数据丢失了其中的一个，剩下的六个数据分别是2，2，4，2，5，10，则丢失的这个数据可能是( )
A．－11 B．3 C．9 D．17
【解析】选ABD.设这个数据为a，由题意得，众数为2，平均数为 eq \f(25＋a,7) ，
若a≤2时，这列数为a，2，2，2，4，5，10，则中位数为2，则 eq \f(25＋a,7) ，2，2成等差数列，
所以2×2＝ eq \f(25＋a,7) ＋2，解得a＝－11<2，满足题意，故A正确；
若2若a≥4时，这列数为2，2，2, 4, a，5，10，则中位数为4，则 eq \f(25＋a,7) ，4，2成等差数列，所以2×4＝ eq \f(25＋a,7) ＋2，解得a＝17>4，满足题意，故D正确．
10．已知a>b>0，c∈R，下列不等式恒成立的有( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(a) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(b) B．ac2>bc2
C．lg2 eq \f(1,a) >lg2 eq \f(1,b) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) < eq \f(a2＋b2,2)
【解析】选AD.对于A选项，函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(x) 为R上的减函数，由a>b>0，可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(a) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up12(b) ，A选项正确；对于B选项，取c＝0，则ac2＝bc2，B选项错误；对于C选项，函数y＝lg2x为(0，＋∞)上的增函数，因为a>b>0，则lg2a>lg2b，则lg2 eq \f(1,a) ＝－lg2a<－lg2b＝lg2 eq \f(1,b) ，C选项错误；对于D选项，由基本不等式可得2ab≤a2＋b2，所以，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) ≤ eq \f(a2＋b2,2) ，当且仅当a＝b时等号成立，因为a>b>0，所以， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) < eq \f(a2＋b2,2) ，D选项正确．
11．下列说法正确的是( )
A．若3a＝4b＝12，则a＋b>4
B．“a＝1”是“直线ax＋y－1＝0与直线ax＋(a－2)y＋5＝0垂直”的充分条件
C．已知回归直线方程y＝2x＋，且 eq \x\t(x) ＝5， eq \x\t(y) ＝20，则＝15
D．函数f(x)＝|cs 4x|的图象向左平移 eq \f(π,8) 个单位，所得函数图象关于原点对称
【解析】选AB.由a＝lg312，得 eq \f(1,a) ＝lg123， eq \f(1,b) ＝lg124， eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝1，a>0，b>0，a≠b，
所以(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b))) ＝2＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) >4(由于a≠b所以等号不成立)，故A正确．
B．由两直线垂直，可得a2＋(a－2)＝0，解得a＝1或a＝－2；所以“a＝1”是“直线ax＋y－1＝0与直线ax＋(a－2)y＋5＝0垂直”的充分条件，故B正确．
C．回归直线一定过样本中心点， eq \x\t(y) ＝2 eq \x\t(x) ＋，＝20－2×5＝10；故C不正确．
D．将f(x)＝|cs 4x|的图象向左平移 eq \f(π,8) 个单位，可得y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs 4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8))))) ＝|cs (4x＋ eq \f(π,2) )|＝|sin 4x|，函数g(x)＝|sin 4x|，由g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8))) ＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8))) ＝1，所以g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8))) ≠－g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8))) ，所以g(x)不是奇函数，其图象不关于原点对称，所以D不正确．
12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是( )
A.若MN与平面ABCD所成的角为 eq \f(π,4) ，则点N的轨迹为圆
B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π
C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线
D．若D1N与AB所成的角为 eq \f(π,3) ，则点N的轨迹为双曲线
【解析】选ACD.如图：
对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，所以∠MND＝ eq \f(π,4) ，所以DN＝DM＝ eq \f(1,2) DD1＝ eq \f(1,2) ×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆；故A正确；对于B，在直角三角形MDN中，DN＝ eq \r(MN2－MD2) ＝ eq \r(42－22) ＝2 eq \r(3) ，取MD的中点E，因为P为MN的中点，所以PE∥DN，且PE＝ eq \f(1,2) DN＝ eq \r(3) ，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝ eq \r(3) ，所以点P的轨迹为以 eq \r(3) 为半径的圆，其面积为π·( eq \r(3) )2＝3π，故B不正确；对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；
对于D，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，
设N(x，y，0)，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(0，4，0)，＝(x，y，－4)，因为D1N与AB所成的角为 eq \f(π,3) ，
所以|cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ，〉|＝cs eq \f(π,3) ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4y,4\r(x2＋y2＋16)))) ＝ eq \f(1,2) ，整理得 eq \f(3y2,16) － eq \f(x2,16) ＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4))) (ω>0)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36))) 上是单调递减函数，则ω的取值范围是________．
【解析】由2kπ＋ eq \f(π,2) ≤wx＋ eq \f(π,4) ≤2kπ＋ eq \f(3π,2) ，k∈Z，解得 eq \f(2kπ＋\f(π,4),ω) ≤x≤ eq \f(2kπ＋\f(5π,4),ω) ，
由已知可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(5π,36)≤\f(2kπ＋\f(5π,4),ω),\f(π,18)≥\f(2kπ＋\f(π,4),ω))) ，
因为ω>0，所以 eq \f(9,2) ＋36k≤ω≤9＋ eq \f(72,5) k，k∈Z，
由 eq \f(9,2) ＋36k>0，k∈Z，得到k≥0，k∈Z，由 eq \f(9,2) ＋36k≤9＋ eq \f(72,5) k得到k≤0，k∈Z，
所以k＝0， eq \f(9,2) ≤ω≤9.
答案： eq \f(9,2) ≤ω≤9.
14．设点P是曲线y＝ eq \f(ex－e－x,ex＋e－x) 上任意一点，直线l过点P与曲线相切，则直线l的倾斜角的取值范围为________．
【解析】因为y＝ eq \f(ex－e－x,ex＋e－x) ＝ eq \f(e2x－1,e2x＋1) ＝1－ eq \f(2,e2x＋1) ，求导得y′＝ eq \f(4e2x,（e2x＋1）2) ＝ eq \f(4,e2x＋e－2x＋2) ，因为e2x＋e－2x≥2，所以e2x＋e－2x＋2≥4，所以0所以0<α≤ eq \f(π,4) .
答案： eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))
15．如图在直三棱柱ABM­DCN中，AB＝6，AD＝2，∠AMB＝90°，则它的外接球的表面积等于________.
【解析】连接AC，根据题意可知它的外接球的直径是AC，连接MC，则AC2＝AB2＋BC2＝AB2＋AD2＝62＋22＝40，所以外接球的表面积为4πR2＝πAC2＝40π.
答案：40π
16．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝81，动圆C与圆C1，C2都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为__________；直线l与曲线E仅有三个公共点，依次为P，Q，R，则|PR|的最大值为________．
【解析】(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝81，则圆C1内含于圆C2，
圆C1的圆心为C1(－3，0)，半径为r1＝1；圆C2的圆心为C2(3，0)，半径为r1＝9.
设动圆C的半径为r，分以下两种情况讨论：
①圆C与圆C1外切，与圆C2内切，由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|CC1|＝r＋1,|CC2|＝9－r)) ，所以|CC1|＋|CC2|＝10>|C1C2|＝6，此时，圆C的圆心轨迹E是以C1，C2分别为左、右焦点，长轴长为2a1＝10的椭圆，所以a1＝5，c1＝3，则b1＝ eq \r(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －c eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝4，此时，轨迹E的方程为 eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,16) ＝1；
②圆C与圆C1，C2都内切，且r1|C1C2|＝6，此时，圆C的圆心轨迹E是以C1，C2分别为左、右焦点，长轴长为2a2＝8的椭圆，所以a2＝4，c2＝3，则b2＝ eq \r(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －c eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ＝ eq \r(7) ，此时，轨迹E的方程为 eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,7) ＝1；综上所述，轨迹E的方程为 eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,16) ＝1或 eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,7) ＝1.
(2)由于直线l与曲线E仅有三个公共点，则直线l与椭圆 eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,7) ＝1相切．
若直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝±4，
可设直线l的方程为x＝4，
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,\f(x2,25)＋\f(y2,16)＝1)) ，
解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝±\f(12,5))) ，此时|PR|＝ eq \f(24,5) ；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m,\f(x2,16)＋\f(y2,7)＝1)) ，消去y并整理得(16k2＋7)x2＋32kmx＋16(m2－7)＝0，
Δ1＝322k2m2－4×16(m2－7)×(16k2＋7)＝7×82(16k2＋7－m2)＝0，
可得m2＝16k2＋7，
设点P(x1，y1)，R(x2，y2)，
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m,\f(x2,25)＋\f(y2,16)＝1)) ，消去y并整理得
(25k2＋16)x2＋50kmx＋25(m2－16)＝0，
Δ2＝502k2m2－4×25(m2－16)×(25k2＋16)＝1 600(25k2＋16－m2)＝14 400(k2＋1)>0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－ eq \f(50km,25k2＋16) ，x1x2＝ eq \f(25（m2－16）,25k2＋16) ，
所以|PR|＝ eq \r(1＋k2) |x1－x2|＝
eq \r(1＋k2) eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) ＝
eq \r(1＋k2) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(50km,25k2＋16)))\s\up12(2)－\f(4×25（m2－16）,25k2＋16)) ＝ eq \f(120（1＋k2）,25k2＋16) ＝ eq \f(120,\f(25k2＋16,1＋k2)) ＝ eq \f(120,25－\f(9,1＋k2)) ，
所以|PR|≤ eq \f(120,25－9) ＝ eq \f(15,2) ，当且仅当k＝0时，|PR|取得最大值 eq \f(15,2) .
答案： eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,16) ＝1或 eq \f(x2,16) ＋ eq \f(y2,7) ＝1 eq \f(15,2)