2022版高考数学小题标准练（八）

高考小题标准练(八)

满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！

一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)

1．设集合A＝{x|1＋log2x≤0}，B＝{x|≤x≤2}，则A∩(∁RB)等于(　　)

A．     B．

C．     D．

【解析】选C.因为A＝{x|1＋log2x≤0}＝{x|log2x≤－1}＝，B＝{x|≤x≤2}，

则RB＝∪(2，＋∞)，

因此A∩(∁RB)＝.

2．若a，b∈R，且ab≠0，则“>”是“方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】选B.若a>b，则a<b，若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则b>a>0，

即“a>b”是“方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．

3．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是(　　)

A．月收入的极差为60

B．7月份的利润最大

C．这12个月利润的中位数与众数均为30

D．这一年的总利润超过400万元

【解析】选D.由图可知月收入的极差为90－30＝60，故选项A正确；

1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误．

4．已知点M，N，P(，A)是函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象上相邻的三个最值点，△MNP是正三角形，且x＝－π是函数f(x)的一个零点，若函数f(x)的导函数为f′(x)，则函数h(x)＝2f(x)＋f′(x)在区间的取值范围是(　　)

A．        B．

C．      D．

【解析】选D.根据M，N的坐标可知函数周期为＋＝π，ω＝2，

由f＝A sin ＝A，得φ＝0，由于△MNP是正三角形，所以2A＝π，A＝π，所以f(x)＝sin 2x.h(x)＝2f(x)＋f′(x)＝sin 2x＋cos 2x＝πsin ，2x＋∈.

所以函数的值域为.

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝，则的最小值为(　　)

A．     B．

C．     D．

【解析】选D.因为a cos B－b cos A＝，所以由正弦定理化简得：sin A cos B－sin B cos A＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，

整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，

所以cos A cos B＞0，

所以tan A＝3tan B；

所以＝＋＝＋≥2＝2＝2＝.

所以可得的最小值为.

6．双曲线－＝1的焦点为F1，F2，存在双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是(　　)

A．     B．

C．16     D．32

【解析】选C.由双曲线的焦点三角形知

||PF1|－|PF2||＝2a＝6，

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°

＝|F1F2|2，得|PF1||PF2|＝64.

所以S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝·×64＝16.

7．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选D.因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝0，即|a|2＋|a||b|cos θ＝0.

因为|a|＝2，|b|＝4，

所以cos θ＝－＝－＝－，

所以θ＝.

8．《周髀算经》 是我国古代的天文学和数学著作．其中一个问题的大意为：一年有二十四个节气(如图)，每个节气晷长损益相同(即物体在太阳的照射下影子长度的增加量和减少量相同).若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则立冬节气的晷长为(　　)

A．九尺五寸      B．一丈五寸

C．一丈一尺五寸     D．一丈六尺五寸

【解析】选B.设晷长为等差数列{an}，公差为d，令夏至晷长为a1，则a1＝15，a13＝135，

则15＋12d＝135，解得d＝10.

所以a10＝15＋90＝105，所以立冬节气的晷长为一丈五寸．

二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．设复数z＝(a，b∈R且b≠0)，则下列结论正确的是(　　)

A．z可能是实数

B．|z|＝||恒成立

C．若z2∈R，则a＝0

D．若z＋∈R，则|z|＝2

【解析】选BC.对选项A，若z＝＝＝－i是实数，则b＝0，与已知矛盾，故A错；对选项B，由A知＝＋，

所以|z|＝，||＝＝|z|，故B正确；

对选项C，z2＝－－i＝－i∈R，

则＝0，因为b≠0，所以a＝0，故C正确；

对选项D，z＋＝＋a＋bi＝(＋a)＋i∈R，则b－＝0，因为b≠0，所以a2＋b2＝1，所以|z|＝＝1，故D错误．

10．为增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是(　　)

A．P(A)＝      B．P(AB)＝

C．P(B|A)＝      D．P(B|)＝

【解析】选ABC.P(A)＝＝，故A正确；P(AB)＝＝，故B正确；

P(B|A)＝＝＝，故C正确；P()＝＝，P(B)＝＝，

P(B|)＝＝＝，故D错误．

11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(1－x)＝－f(1＋x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2＋x－2，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)是以4为周期的周期函数

B．f(2 018)＋f(2 021)＝－2

C．函数y＝log2(x＋1)的图象与函数f(x)的图象有且仅有3个交点

D．当x∈[3，4]时，f(x)＝x2－9x＋18

【解析】选ACD.对于A选项，由已知条件可得f(x＋1)＝－f(1－x)＝－f(x－1)＝f(x－3)，

所以，函数f(x)是以4为周期的周期函数，A选项正确；

对于B选项，f(2 018)＝f(2)＝－f(0)＝2，f(2 021)＝f(1)＝0，则f(2 018)＋f(2 021)＝2，B选项错误；

对于C选项，作出函数y＝log2(x＋1)与函数f(x)的图象如图所示：

当x∈[0，1]时，f(x)＝x2＋x－2＝－∈[－2，0]，结合图象可知，－2≤f(x)≤2.

当x>3时，log2(x＋1)>2，即函数y＝log2(x＋1)与函数f(x)在(3，＋∞)上的图象无交点，由图可知，函数y＝log2(x＋1)与函数f(x)的图象有3个交点，C选项正确；

对于D选项，当x∈[3，4]时，x－4∈[－1，0]，则4－x∈[0，1]，所以，f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝(4－x)2＋(4－x)－2＝x2－9x＋18，D选项正确．

12．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角板和一块等腰直角三角板组成，如图所示，∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，BC＝DE＝，现将两块三角板拼接在一起，得三棱锥F­ABC，取BC中点O与AC中点M，则下列判断中正确的是(　　)

A．BC⊥平面OFM

B．AC与平面OFM所成的角为定值

C．三棱锥F­COM的体积为定值

D．若平面BCF⊥平面ABC，则三棱锥F­ABC外接球体积为π

【解析】选ABD.对于A，由BC中点O与AC中点M，得MO∥AB，∠B＝∠F＝90°，得BC⊥MO，由△BCF为等腰直角三角形得BC⊥FO，由MO∩FO＝O，MO，FO⊂平面OFM，得直线BC⊥平面OFM，故A正确；对于B，由A得，AC与平面OFM所成的角为∠OMC，为定值60°，故B正确；对于C，△COM的面积为定值，但三棱锥F­COM的高会随着F点的位置移动而变化，故C错误．对于D，因为平面BCF⊥平面ABC，BC⊥FO，平面BCF∩平面ABC＝BC，所以FO⊥平面ABC，因此FO⊥OM；又BC＝DE＝，∠A＝60°，所以FO＝DE＝，AB＝1，则OM＝AB＝，因此MF＝＝1；又在直角三角形ABC中，MA＝MB＝MC＝AC＝1，则MA＝MB＝MC＝MF，所以点M即为三棱锥F­ABC外接球的球心，因此该外接球的体积为V＝π·13＝π，即D正确．

三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13．正项等比数列{an}，满足＋＋＝81，则＋＝________.

【解析】因为{an}为等比数列，所以a2a4＝a，a＝a3a5，a4a6＝a，所以＋＋＝＋＋＝2＝81，又a3＞0，a5＞0，

所以＋＝9.

答案：9

14．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，设Sn＝a0＋a1＋a2＋…＋an；数列的前n项和为Tn，当≤时，n的最小整数值为________.

【解析】因为(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，令x＝1，得Sn＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，所以＝，

所以Tn＝＝1－，

所以|Tn－1|≤即为≤，

所以n≥11.

答案：11

15．已知过点M(4，0)的直线与抛物线C：y2＝4x交于点A，B，设O为坐标原点，则的最大值为________．

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋4，与y2＝4x联立得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，所以·＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝－16(1＋m2)＋16m2＋16＝0，所以OA⊥OB，则|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，

所以|OA|＋|OB|≤

＝|AB|(当且仅当|OA|＝|OB|时等号成立)，所以的最大值为.

答案：

16．设函数f(x)＝，若a＝1，则f的最小值为____________；若f恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．

【解析】当a＝1时，f(x)＝

，

x<1，f(x)＝2x－1<1且f(x)>－1；x≥1，f(x)＝4(x－1)(x－2)＝42－1≥－1，

所以f的最小值为－1.

设f的零点为x1，x2，

若x1∈，x2∈，

则，得≤a<1.

若x1，x2∈，

则，得a≥2，

综上：≤a<1或a≥2.

答案：－1　≤a<1或a≥2