2022版高考数学小题标准练（十五）

这是一份2022版高考数学小题标准练（十五），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(十五)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．如图，U为全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A.(M∩P)∩S
B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩(US)
D．(M∩P)∪(US)
【解析】选C.图中的阴影部分是： M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是US的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(US).
2．若复数z满足z＝ eq \f(a,1－i) (i为虚数单位，a∈R)，且 eq \x\t(z) 的虚部为－1，则a＝( )
A．1 B．2 C．－2 D．－1
【解析】选B.因为z＝ eq \f(a,1－i) ＝ eq \f(a（1＋i）,（1－i）（1＋i）) ＝ eq \f(a＋ai,2) ＝ eq \f(a,2) ＋ eq \f(a,2) i，
所以 eq \x\t(z) ＝ eq \f(a,2) － eq \f(a,2) i，
根据 eq \x\t(z) 的虚部为－1，故－ eq \f(a,2) ＝－1，可得a＝2.
3．已知A是锐角三角形的最大的内角且sin 2A＝ eq \f(4\r(2),9) ，则tan A的值为( )
A．2 B．2 eq \r(2) C． eq \r(5) D．3
【解析】选B.因为A是锐角三角形的最大的内角，所以60°≤A<90°，
所以sin A>cs A，因为sin 2A＝2sin A cs A＝ eq \f(4\r(2),9) ，
所以sin A cs A＝ eq \f(2\r(2),3) × eq \f(1,3) ，所以sin A＝ eq \f(2\r(2),3) ，cs A＝ eq \f(1,3) ，所以tan A＝2 eq \r(2) .
4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝lg eq \s\d9(\f(1,a)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2))) (a>0且a≠1)的部分图象可能是( )
【解析】选A.当a＞1时，幂函数f(x)＝xa在(0，＋∞)递增且过(0，0)，由0< eq \f(1,a) <1，得g(x)＝lg eq \s\d9(\f(1,a)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2))) (a>0且a≠1)在(－ eq \f(1,2) ，＋∞)是减函数，且g(0)＝lg eq \s\d9(\f(1,a)) eq \f(1,2) >0；
当0＜a＜1，幂函数f(x)＝xa在(0，＋∞)递增且过(0，0)，由 eq \f(1,a) >1，得g(x)＝lg eq \s\d9(\f(1,a)) (x＋ eq \f(1,2) )(a>0且a≠1)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) 是增函数，且g(0)＝lg eq \s\d9(\f(1,a)) eq \f(1,2) <0.
当x→＋∞时，幂函数f(x)＝xa在a＞1时比在0＜a＜1时增长的快．只有A符合题意．
5．设{an}的公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，且2 022S3＝S2＋2 021S4，则q＝( )
A．－ eq \f(1,2 021) B．－ eq \f(1,2 022)
C． eq \f(1,2 021) D． eq \f(1,2 022)
【解析】选C.若q＝1，则2 022×3S1＝2S1＋2 021×4S1，矛盾，所以q≠1.
由前n项和公式得2 022 eq \f(a1（1－q3）,1－q) ＝ eq \f(a1（1－q2）,1－q) ＋2 021 eq \f(a1（1－q4）,1－q) ，
解得q＝ eq \f(1,2 021) .
6．函数f(x)＝ eq \f(2sin 2x＋3,sin x＋cs x) ，x∈(－ eq \f(π,4) ， eq \f(3,4) π)上的最小值为( )
A．2 eq \r(2) B． eq \r(2) C．1 D． eq \f(\r(2),2)
【解析】选A.设t＝sin x＋cs x＝ eq \r(2) sin (x＋ eq \f(π,4) )，因为x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3,4)π)) ，
所以t∈(0， eq \r(2) ]，
由t＝sin x＋cs x两边平方得t2＝1＋2sin xcs x＝1＋sin 2x，
所以sin 2x＝t2－1.
所以y＝ eq \f(2t2＋1,t) ≥2 eq \r(2) ，当且仅当t＝ eq \f(\r(2),2) 时取等号，
所以所求函数的最小值为2 eq \r(2) .
7．某校开展流行感冒知识竞赛活动，按照分层随机抽样方法抽取了高一40人，高二50人的答题数据，高一的平均分为90分，标准差为15，高二的平均分为81分，标准差为10，用样本估计总体，估计全校高一、高二两个年级的平均分、标准差分别为(精确到0.1)( )
A．85.5分，12.5 B．85.0分，15.0
C．81.0分，13.0 D．85.0分，13.2
【解析】选D.平均分为 eq \f(40×90＋50×81,40＋50) ＝85.0(分)，标准差为
eq \r(\f(40×[152＋（90－85）2]＋50×[102＋（81－85）2],40＋50)) ≈13.2.
8．在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，0)，点P为圆(x－3)2＋(y－2)2＝1上任意一点，若 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋μ eq \(OB,\s\up6(→)) (λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为( )
A． eq \f(5－\r(2),3) B． eq \f(5＋\r(2),3)
C． eq \f(5,3) D．－ eq \f(5,3)
【解析】选B.设P(x，y)，则由 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋μ eq \(OB,\s\up6(→)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝λ＋3μ,y＝2λ)) ，
代入圆的方程得(λ＋3μ－3)2＋(2λ－2)2＝1，设λ＋μ＝t，则μ＝t－λ，代入上式整理得8λ2－4(3t－1)λ＋9t2－18t＋12＝0，因为λ∈R，
所以判别式Δ＝[4(3t－1)]2－4×8(9t2－18t＋12)≥0，解得 eq \f(5－\r(2),3) ≤t≤ eq \f(5＋\r(2),3) ，
所以λ＋μ的最大值为 eq \f(5＋\r(2),3) .
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(a,x))) eq \s\up12(7) 的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有( )
A．a＝1
B．展开式中二项式系数之和为256
C．展开式中常数项为－560
D．展开式系数的绝对值的和为37
【解析】选AD.令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为(2－a)7，所以(2－a)7＝1，则a＝1，故A正确；展开式中二项式系数之和为27＝128，故B错误；展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r27－rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(7)) x7－2r，令7－2r＝0，得r＝ eq \f(7,2) ∉N，故展开式中无常数项，故C错误； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x))) eq \s\up12(7) 展开式系数的绝对值的和为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x))) eq \s\up12(7) 的展开式各项系数之和，令x＝1得(2＋1)7＝37，故D正确．
10．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)，\f(π,12))) 上单调递增
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) 为偶函数
【解析】选BD.由已知T＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)－\f(5π,12))) ＝π，所以ω＝ eq \f(2π,T) ＝2，A错；
由五点法得2× eq \f(5π,12) ＋φ＝kπ，k∈Z，
又0<φ<π，所以φ＝ eq \f(π,6) ，f(0)＝A sin eq \f(π,6) ＝1，A＝2，B正确，所以f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,6) )，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)，\f(π,12))) 时，2x＋ eq \f(π,6) ∈[－ eq \f(2π,3) ， eq \f(π,3) ]，2x＋ eq \f(π,6) ＝－ eq \f(π,2) 时，f(x)min＝－2，函数f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)，\f(π,12))) 上不单调，C错；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) ＝2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6))) ＝2sin (2x＋ eq \f(π,2) )＝2cs 2x是偶函数，D正确．
11．若a＝lg52，b＝ eq \f(1,2) ln 2，c＝ eq \f(1,5) ln 5，则( )
A．a>b B．b>c
C．c>a D．a>2b
【解析】选AB.对于A：a＝lg52＝ eq \f(1,lg25) ，b＝ eq \f(1,2) ln 2＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,lg2e) ＝ eq \f(1,lg2e2) ，
又e2>5，且y＝lg2x为增函数，所以lg25b.故A正确；对于B：b＝ eq \f(1,2) ln 2＝ln eq \r(2) ，c＝ eq \f(1,5) ln 5＝ln eq \r(5,5) ，因为( eq \r(2) )10＝25＝32，( eq \r(5,5) )10＝52＝25，y＝ln x为增函数，所以b>c；故B正确；
对于C：因为a>b，b>c，所以a>c，故C错误；
对于D：因为b＝ eq \f(1,2) ln 2，所以2b＝ln 2＝ eq \f(1,lg2e) ，而a＝lg52＝ eq \f(1,lg25) ，
又e<5，所以lg2e eq \f(1,lg25) ，所以2b>a，故D错误．
12．已知曲线C： eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,m) ＝1，F1，F2分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是( )
A．若m＝－3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为 eq \f(π,3)
B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝－27
C．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠F1PF2＝ eq \f(π,2)
D．若m＝3，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为3 eq \r(2)
【解析】选ABD.对于A选项，当m＝－3时，曲线C： eq \f(x2,9) － eq \f(y2,3) ＝1表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为y＝± eq \f(\r(3),3) x，故渐近线的倾斜角分别为 eq \f(π,6) ， eq \f(5π,6) ，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为 eq \f(π,3) ，故A选项正确；对于B选项，离心率e＝2，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，a＝3，e＝2，故c＝6，所以－m＝c2－a2＝36－9＝27，所以m＝－27，故B选项正确；
对于C选项，若m＝3，则曲线C： eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,3) ＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0， eq \r(3) )，则cs ∠F1MF2＝ eq \f(a2＋a2－4c2,2a2) ＝ eq \f(－6,18) ＝－ eq \f(1,3) <0，故∠F1MF2为钝角，所以线C上存在点P，使得∠F1PF2＝ eq \f(π,2) ，故C选项错误；对于D选项，若m＝3，则曲线C： eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,3) ＝1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a2＝9，b2＝3，c2＝6，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为Smax＝ eq \f(1,2) ×2c×b＝ eq \f(1,2) ×2 eq \r(6) × eq \r(3) ＝3 eq \r(2) ，故D选项正确．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin (lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a7)＝________.
【解析】因为由正数组成的等比数列{an}中，a3a4a5＝3π，所以a eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝3π，
所以lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a7＝
lg3(a1a2a3a4a5a6a7)＝lg3a eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(4)) ＝7lg3a4＝ eq \f(7π,3) ，
所以sin (lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a7)＝sin eq \f(7π,3) ＝sin (2π＋ eq \f(π,3) )＝sin eq \f(π,3) ＝ eq \f(\r(3),2) .
答案： eq \f(\r(3),2)
14．已知曲线y＝ eq \f(1＋x,1－x) ex在点P(0，1)处的切线为l1，直线l2过点Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2,3))) 且与l1垂直，则直线l2与坐标轴围成的封闭图形的面积为________.
【解析】因为y′＝ex eq \f(－x2＋3,（1－x）2) ，所以切线l1的斜率为k1＝3，
所以l2：y－ eq \f(2,3) ＝－ eq \f(1,3) (x－1)，
即y＝－ eq \f(1,3) x＋1.所以直线l2与坐标轴围成的封闭图形的面积为 eq \f(1,2) ×3×1＝ eq \f(3,2) .
答案： eq \f(3,2)
15．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足 eq \f(|PA|,|PB|) ＝ eq \r(2) ，则|PA|2＋|PB|2的最小值________.
【解析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为|AB|＝2，所以A(－1，0)，B(1，0)，
设P(x，y)，因为 eq \f(|PA|,|PB|) ＝ eq \r(2) ，
所以 eq \r(（x＋1）2＋y2) ＝ eq \r(2) · eq \r(（x－1）2＋y2) ，
整理得x2＋y2－6x＋1＝0，
所以|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2x2＋2y2＋2＝2(6x－1)＋2＝12x，
因为x2＋y2－6x＋1＝0可化为(x－3)2＋y2＝8，
所以(x－3)2≤8，解得3－2 eq \r(2) ≤x≤3＋2 eq \r(2) ，
因此|PA|2＋|PB|2＝12x≥12×(3－2 eq \r(2) )＝36－24 eq \r(2) .
即|PA|2＋|PB|2的最小值为36－24 eq \r(2) .
答案：36－24 eq \r(2)
16．已知表面积为12π的球O1内切于正三棱柱ABC­A1B1C1(球O1与正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切)，则这个正三棱柱的表面积为________，若这个正三棱柱的顶点都在球O2的球面上，则球O2的体积为________．
【解析】设球O1，O2的半径分别为r，R，正三棱柱的底面边长为a，因为球O1的表面积为12π，所以4πr2＝12π，所以r＝ eq \r(3) .由正三棱柱及球的截面性质可得3r＝ eq \f(\r(3),2) a，R＝ eq \r(5) r，所以a＝6，R＝ eq \r(15) ，正三棱柱的高为A1A＝2r＝2 eq \r(3) ，所以这个正三棱柱的表面积为3a·A1A＋2× eq \f(\r(3),4) a2＝3×6×2 eq \r(3) ＋2× eq \f(\r(3),4) ×62＝54 eq \r(3) ，球O2的体积为 eq \f(4π,3) R3＝ eq \f(4π,3) ×( eq \r(15) )3＝20 eq \r(15) π.
答案：54 eq \r(3) 20 eq \r(15) π