2022版高考数学小题标准练（九）

这是一份2022版高考数学小题标准练（九），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(九)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．设集合A＝{(x，y)|y＝( eq \f(1,3) )x}，B＝{(x，y)|y＝－x2＋3}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选C.由题，y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) x与y＝－x2＋3的图象如图所示，
由图可得两图象有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
2．命题“∀x∈(0，＋∞)，sin x≥x＋ eq \f(1,x) ”的否定是( )
A．∀x∈(0，＋∞)，sin xB．∃x∈(0，＋∞)，sin x≥x＋ eq \f(1,x)
C．∃x∈(0，＋∞)，sin xD．∃x∈(－∞，0]，sin x【解析】选C.因为命题“∀x∈(0，＋∞)，sin x≥x＋ eq \f(1,x) ”为全称命题，所以该命题的否定是“∃x∈(0，＋∞)，sin x3．若点P(cs α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α的值等于( )
A．－ eq \f(4,5) B． eq \f(4,5) C．－ eq \f(3,5) D． eq \f(3,5)
【解析】选A.由P在直线y＝－2x上，则终边可能在第二象限也可能在第四象限，终边在第二象限时，cs α＝－ eq \f(\r(5),5) ，sin α＝ eq \f(2\r(5),5) ，终边在第四象限时，cs α＝ eq \f(\r(5),5) ，sin α＝－ eq \f(2\r(5),5) ，所以sin 2α＝2sin αcs α＝－ eq \f(4,5) .
4．如图，在△ABC中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AM,\s\up6(→)) ，| eq \(AM,\s\up6(→)) |＝1，点P在AM上且满足 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PM,\s\up6(→)) ，则 eq \(PA,\s\up6(→)) ·( eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) )等于( )
A． eq \f(4,9) B． eq \f(4,3) C．－ eq \f(4,3) D．－ eq \f(4,9)
【解析】选D.由 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AM,\s\up6(→)) 可知，点M为BC边的中点，所以 eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PM,\s\up6(→)) ，由 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PM,\s\up6(→)) 及| eq \(AM,\s\up6(→)) |＝1可得| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝ eq \f(2,3) ，所以 eq \(PA,\s\up6(→)) ·( eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) )＝ eq \(PA,\s\up6(→)) ·(2 eq \(PM,\s\up6(→)) )＝ eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(AP,\s\up6(→)) ＝－| eq \(AP,\s\up6(→)) |2＝－ eq \f(4,9) .
5．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|lg3x|，0A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，\f(29,4))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(21，\f(135,4)))
C．[27，30) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(27，\f(135,4)))
【解析】选D.如图所示，设从左往右的零点依次为x1，x2，x3，x4，则f(x1)＝f(x2)⇒－lg3x1＝lg3x2⇒x1x2＝1，
又因为f(x3)＝f(x4)，所以x3＋x4＝12，36．已知直线l与抛物线y2＝4x相交于两点A，B，若线段AB的中点为P(2，1)，则弦长|AB|为( )
A．2 eq \r(2) B．4 eq \r(5)
C． eq \r(70) D． eq \r(35)
【解析】选D.由题意可得直线l有斜率，设为k，则直线l的方程为y－1＝k(x－2)，代入抛物线方程整理得k2x2＋[2k(1－2k)－4]x＋(1－2k)2＝0，
所以x1＋x2＝－ eq \f(2k（1－2k）－4,k2) ＝2×2，
解得k＝2，
由弦长公式得|AB|＝ eq \r(1＋k2) |x1－x2|＝ eq \r(35) .
7．圆x2＋y2＝4上任意一点M到直线l：3x＋4y－15＝0的距离大于2的概率为( )
A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3) C． eq \f(2,3) D． eq \f(5,6)
【解析】选C.设圆心为C，圆心到直线l的距离d＝ eq \f(|－15|,\r(32＋42)) ＝3，如图，
取CD＝1，过D做AB∥l交圆于A，B，可知满足条件的点在优弧 eq \x\t(AB) 上(不包括A，B)，
在Rt△ACD中，AC＝2，CD＝1，
所以cs ∠ACD＝ eq \f(1,2) ，∠ACD＝ eq \f(π,3) ，即∠ACB＝ eq \f(2π,3) ，
因为符合条件的点所在弧长所对圆心角为 eq \f(4π,3) ，由几何概型可知P＝ eq \f(\f(4π,3),2π) ＝ eq \f(2,3) .
8．在正项等比数列{an}中，a2a4＝4，S3＝14，数列{bn}满足bn＝lg2an，则数列{bn}的前6项和是( )
A．0 B．2 C．3 D．5
【解析】选C.设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
因为a2a4＝4，S3＝14，所以公比不为1，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q·a1q3＝4,\f(a1（1－q3）,1－q)＝14)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝8,q＝\f(1,2))) ，
所以an＝a1qn－1＝8× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) n－1＝24－n，
所以bn＝lg2an＝lg224－n＝4－n，所以数列{bn}是以3为首项，－1为公差的等差数列，所以数列{bn}的前6项和为6×3＋ eq \f(6×5,2) ×(－1)＝3.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式eiθ＝cs θ＋isin θ，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项正确的是( )
A．e eq \s\up6(\f(πi,2)) ＝i B． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(e\s\up6(\f(πi,4)))) ＝1
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3)i,2))) eq \s\up12(3) ＝1 D．cs eq \f(π,4) ＝ eq \f(e\s\up6(\f(πi,4))＋e－\f(πi,4),2)
【解析】选ABD.因为eiθ＝cs θ＋isin θ，所以e eq \s\up6(\f(πi,2)) ＝cs eq \f(π,2) ＋isin eq \f(π,2) ＝i，故A正确；
e eq \s\up6(\f(πi,4)) ＝cs eq \f(π,4) ＋isin eq \f(π,4) ＝ eq \f(\r(2),2) ＋ eq \f(\r(2),2) i， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(e\s\up6(\f(πi,4)))) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)) ＝1，故B正确；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3)i,2))) eq \s\up12(3) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3)i,2))) eq \s\up12(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3)i,2))) ＝ eq \f(－1－\r(3)i,2) · eq \f(1－\r(3)i,2) ＝－1，故C错误；
eq \f(e\s\up6(\f(πi,4))＋e－\f(πi,4),2) ＝ eq \f(cs \f(π,4)＋i sin\f(π,4)＋cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＋i sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4))),2) ＝cs eq \f(π,4) ，故D正确．
10．设函数f(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) 的图象为曲线E，则下列说法正确的是( )
A．将曲线y＝cs 2x向右平移 eq \f(π,3) 个单位长度后与曲线E重合
B．将曲线y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) 上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) ，纵坐标不变，则与曲线E重合
C．将曲线f(x)向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数
D．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为 eq \f(π,2)
【解析】选BD.选项A：将曲线y＝cs 2x向右平移 eq \f(π,3) 个单位长度后可得y＝cs 2(x－ eq \f(π,3) )＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3))) .当x＝0时，y＝－ eq \f(1,2) ≠f(0)＝cs eq \f(π,3) ＝ eq \f(1,2) ，所以平移后图象与曲线E不重合，故选项A不正确．选项B：将曲线y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) 上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) ，纵坐标不变可得y＝cs (2x＋ eq \f(π,3) )＝f(x)，故B正确．选项C：将曲线f(x)向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度后可得y＝cs [2(x＋ eq \f(π,6) )＋ eq \f(π,3) ]＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3))) ，显然x＝0时，y＝－ eq \f(1,2) ≠0，所以此时不为奇函数，故C不正确．选项D：由f(x)＝cs (2x＋ eq \f(π,3) )＝0，可得2x＋ eq \f(π,3) ＝kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，即x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,12) ，k∈Z
由f(x1)＝f(x2)＝0，所以x1＝ eq \f(k1π,2) ＋ eq \f(π,12) ，k1∈Z，x2＝ eq \f(k2π,2) ＋ eq \f(π,12) ，k2∈Z
所以|x1－x2|＝ eq \f(π,2) |k1－k2|，由k1，k2∈Z，可得|x1－x2|的最小值为 eq \f(π,2) ，故D正确．
11．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N＋，则下列说法正确的是( )
A．a4＝4
B．{a2n}是等比数列
C．a2n－a2n－1＝2n－1
D．a2n－1＋a2n＝2n＋1
【解析】选ABC.因为a1＝1，an·an＋1＝2n，所以a2＝2，a3＝2，a4＝4，由an·an＋1＝2n可得an＋1·an＋2＝2n＋1，所以 eq \f(an＋2,an) ＝2，所以{a2n}，{a2n－1}分别是以2，1为首项，公比为2的等比数列，所以a2n＝2·2n－1＝2n，a2n－1＝1·2n－1＝2n－1，所以a2n－a2n－1＝2n－1，a2n－1＋a2n＝3·2n－1≠2n＋1，综上可知，ABC正确，D错误．
12．已知等边三角形ABC的边长为6，M，N分别为AB，AC的中点，将△AMN沿MN折起至△A′MN，在四棱锥A′­MNCB中，下列说法正确的是( )
A．直线MN∥平面A′BC
B．当四棱锥A′­MNCB体积最大时，二面角A′­MN­B为直二面角
C．在折起过程中存在某位置使BN⊥平面A′NC
D．当四棱锥A′­MNCB体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为39 π
【解析】选ABD.因为MN∥BC，MN⊄平面A′BC，BC⊂平面A′BC，所以直线MN∥平面A′BC，故A正确；因为四棱锥A′­MNCB底面积为定值，所以当点A′到平面MNCB距离最大时体积最大，故当二面角A′­MN­B为直二面角时，满足题意，故B正确；
对于C，如图，作AE⊥BC，交MN于D，
若BN⊥平面A′NC，则BN⊥AA′，
又A′D⊥MN，AD⊥MN，A′D∩AD＝D，可知MN⊥平面A′AD，所以A′A⊥MN，又MN∩BN＝N，所以A′A⊥平面MNCB，这显然不可能，故C错误；当四棱锥A′­MNCB体积最大时，二面角A′­MN­B为直二面角，如图，
由∠MBC＝ eq \f(π,3) ，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．取F为△AMN的外心，
作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面A′MN，则O是四棱锥A′­MNCB的外接球的球心，且OF＝DE＝ eq \f(3\r(3),2) ，AF＝ eq \r(3) .
设四棱锥A′­MNCB的外接球半径为R，则R2＝AF2＋OF2＝ eq \f(39,4) ，所以球的表面积是39π，故D正确．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．若 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(1,x))) n的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为________.(用数字作答)
【解析】因为二项展开式中各项的二项式系数的和是64，所以2n＝64，n＝6.由Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) ( eq \r(x) )6－r(－ eq \f(1,x) )r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) (－1)rx3－ eq \f(3r,2) 得3－ eq \f(3r,2) ＝0，r＝2，所以常数项为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) (－1)2＝15.
答案：15
14．已知函数f(x)＝ eq \f(x2,2) ＋x＋1－ex(e为自然对数的底数)，则f(x)在(0，f(0))处的切线方程为________.
【解析】因为f(x)＝ eq \f(x2,2) ＋x＋1－ex，所以f′(x)＝x＋1－ex；知f(0)＝0，f′(0)＝0，故可得切线方程为y＝0.
答案：y＝0
15．已知点M为双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO)) ＝4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF)) ＝7 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OF)) ，则双曲线C的渐近线方程为__________，若MF，MO分别交双曲线C于P，Q两点，记直线PM与PQ的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝__________
【解析】设M(x0，y0)，则4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MO)) ＝4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF)) ＝7|OF|＝7c，
则x0＝ eq \f(c,2) ，y0＝ eq \r(|MO|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OF)),2)))2) ＝ eq \f(3\r(5)c,4) ，即M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(3\r(5)c,4))) ，将其代入双曲线方程得： eq \f(c2,4a2) － eq \f(45c2,16b2) ＝1，即4b2c2－45a2c2＝16a2b2，又c2＝a2＋b2，4b2a2＋4b4－45a4－45a2b2＝16a2b2，45a4＋57a2b2－4b4＝0，(15a2－b2)(3a2＋4b2)＝0，
所以15a2＝b2， eq \f(b,a) ＝ eq \r(15) ，所以渐近线方程为y＝± eq \r(15) x；设P(x1，y1)，
又Q(－x0，－y0)，则k1·k2＝ eq \f(y1－y0,x1－x0) · eq \f(y1＋y0,x1＋x0) ＝ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ) ，将点P，M的坐标分别代入双曲线方程得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2)－\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2)＝1,\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,a2)－\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,b2)＝1)) ，
两式作差得： eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ) ＝ eq \f(b2,a2) ＝15，
故k1·k2＝15.
答案：y＝± eq \r(15) x 15
16．现有A，B两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A队中每人答对的概率均为 eq \f(2,3) ，B队中3人答对的概率分别为 eq \f(2,3) ， eq \f(2,3) ， eq \f(1,3) ，且各答题人答题正确与否之间互不影响，若事件M表示“A队得2分”，事件N表示“B队得1分”，则P(MN)＝________.
【解析】A队总得分为2分，即事件M为A队三人有一人答错，其余两人答对，
其概率P(M)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) ＝ eq \f(4,9) ，“B队得1分，即事件N为B队三人2人答错，其余一人答对，
则P(N)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) × eq \f(1,3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3))) × eq \f(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) ×(1－ eq \f(2,3) )× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3))) ＝ eq \f(1,3) ，
A队得2分B队得1分，即事件M，N同时发生，则P(MN)＝P(M)P(N)＝ eq \f(4,9) × eq \f(1,3) ＝ eq \f(4,27) .
答案： eq \f(4,27)