2022版高考数学小题标准练（十六）

这是一份2022版高考数学小题标准练（十六），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(十六)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知集合A＝{x|x－2≤0}，B＝N则A∩B中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】选C.因为A＝{x|x≤2}，B＝N，
所以A∩B＝{0，1，2}，
所以A∩B中元素的个数是3个．
2．若a，b为实数且 eq \f(4＋i,i) ＝a－bi，则b＝( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
【解析】选D.由 eq \f(4＋i,i) ＝a－bi得4＋i＝ai－bi2即4＋i＝b＋ai，所以b＝4.
3．函数y＝ecs x(－π≤x≤π)的大致图象为( )
【解析】选C.由ecs (－x)＝ecs x可知，函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，D，又x＝π时，y＝ecs π＝ eq \f(1,e) <1，x＝0时，y＝ecs 0＝e>1，所以排除A.
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，P是底面ABCD内(包括边界)的一个动点，若MP∥平面A1BC1，则异面直线MP与A1C1所成角的取值范围是( )
A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))
【解析】选C.取AD的中点N，取CD的中点Q，连接MN，MQ，NQ，则平面MNQ平行于平面A1BC1，所以点P在线段NQ(包括端点)上运动，因为三角形MNQ是等边三角形，所以角MNQ等于 eq \f(π,3) ，所以异面直线MP与A1C1所成角的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))) .
5．已知数列{an}满足a1＝ eq \f(2,5) ，且对任意n∈N*，都有 eq \f(an,an＋1) ＝ eq \f(4an＋2,an＋1＋2) ，那么a4为( )
A． eq \f(1,7) B．7 C． eq \f(1,10) D．10
【解析】选A.化简可得an＋1＝ eq \f(2an,3an＋2) ，则a2＝ eq \f(1,4) ，a3＝ eq \f(2,11) ，a4＝ eq \f(1,7) .
6．若干年前，某教师刚退休的月退休金为4 000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为( )
A．4 500元 B．5 000元
C．5 500元 D．6 000元
【解析】选B.刚退休时就医费用为：4 000×15%＝600(元)，现在月就医费用占退休金的10%，
设目前该教师的退休金为x元，
则由题意得4 000×15%－10%x＝100，
解得 x＝5 000(元).
7．已知椭圆 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于P，Q两点，且|PF1|∶|PQ|∶|QF1|＝2∶3∶4，则椭圆的离心率为( )
A． eq \f(\r(17),7) B． eq \f(\r(17),17) C． eq \f(\r(51),9) D． eq \f(\r(17),6)
【解析】选C.设|PF1|＝2，|PQ|＝3，|QF1|＝4，则|PF2|＝2a－2，|QF2|＝2a－4，(2a－2)＋(2a－4)＝3，得a＝ eq \f(9,4) ，则|PF2|＝ eq \f(5,2) .在△PF1Q中，由余弦定理有cs ∠QPF1＝ eq \f(22＋32－42,2×2×3) ＝－ eq \f(1,4) .
在△PF1F2中，由余弦定理有|F1F2|＝ eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2－2×2×\f(5,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))) ＝ eq \f(\r(51),2) ，
则椭圆的离心率为 eq \f(\f(\r(51),2),\f(9,2)) ＝ eq \f(\r(51),9) .
8．已知正四棱锥S­ABCD的底面是边长为4的正方形，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )
A． eq \f(2\r(3),3) B． eq \f(8,3) C． eq \f(9,2) D． eq \f(9,4)
【解析】选B.因为球O与正四棱锥S­ABCD所有面都相切，于是由等体积法知VS­ABCD＝VO­ABCD＋VO­SAB＋VO­SBC＋VO­SDA＋VO­SCD⇒ eq \f(1,3) ×42×h＝ eq \f(1,3) ×42×1＋4× eq \f(1,3) × eq \f(4×\r(h2＋4),2) ×1⇒h＝ eq \f(8,3) .
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．将函数f(x)＝ eq \r(3) cs (2x＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2))) 的图像向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，得到函数g(x)的图像，且g(x)的图像关于直线x＝ eq \f(7π,12) 对称，则下列结论正确的是( )
A．φ＝ eq \f(π,6)
B．g(0)＝ eq \f(\r(3),2)
C．函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) 内单调递减
D．方程f(x)＝g(x)在区间[0，100π]上有201个根
【解析】选AD.由题得g(x)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))) ＝ eq \r(3) cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋φ)) ，
由题意知2× eq \f(7π,12) － eq \f(π,3) ＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－ eq \f(5π,6) ，k∈Z，
因为|φ|< eq \f(π,2) ，所以φ＝ eq \f(π,6) ，A项正确；
g(x)＝ eq \r(3) cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) ，则g(0)＝ eq \f(3,2) ，B项错误；
h(x)＝ eq \r(3) cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) ＋ eq \r(3) cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) ＝3cs 2x，显然h(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) 内单调递增，C项错误；由f(x)＝g(x)，得 eq \r(3) cs (2x＋ eq \f(π,6) )＝ eq \r(3) cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) ，整理得sin 2x＝0，
则2x＝kπ，k∈Z，又0≤x≤100π，则k＝0，1，2，3，…，200，
故方程f(x)＝g(x)在区间[0，100π]上有201个根，D项正确．
10．已知实数a、b，下列说法一定正确的是( )
A．若aB．若b>a>1，则lgaba< eq \f(1,2)
C．若a>0，b>0，a＋2b＝1，则 eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) 的最小值为8
D．若b>a>0，则 eq \f(1＋a,b2) > eq \f(1＋b,a2)
【解析】选BC.对于A，当a＝0时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,7))) eq \s\up12(a) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,7))) eq \s\up12(a) ，故A错误；
对于B，若b>a>1，则1故B正确；
对于C，若a>0，b>0，a＋2b＝1，则 eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b))) (a＋2b)＝4＋ eq \f(4b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥4＋2 eq \r(\f(4b,a)·\f(a,b)) ＝8，当且仅当 eq \f(4b,a) ＝ eq \f(a,b) ，即a＝2b＝ eq \f(1,2) 时等号成立，故C正确；
对于D，取a＝1，b＝2， eq \f(1＋a,b2) ＝ eq \f(2,4) ＝ eq \f(1,2) < eq \f(1＋2,1) ＝3，故D错误．
11．在平面直角坐标系中，A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(2,t))) ，B(8－m，8－ eq \f(3,2) m)，C(7－m，0)，O为坐标原点，P为x轴上的动点，则下列说法正确的是( )
A．| eq \(OA,\s\up6(→)) |的最小值为2
B．若t＝1，m＝4，则△ABC的面积等于4
C．若t＝1，m＝4，则| eq \(PA,\s\up6(→)) |＋| eq \(PB,\s\up6(→)) |的最小值为5
D．若t＝sin θ，θ∈(0，π)，且 eq \(CA,\s\up6(→)) 与 eq \(CB,\s\up6(→)) 的夹角α∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，则m∈(－∞，5)
【解析】选ACD.| eq \(OA,\s\up6(→)) |＝ eq \r(t2＋\f(4,t2)) ≥ eq \r(2\r(t2)×\r(\f(4,t2))) ＝2，当且仅当t2＝ eq \f(4,t2) ，即t＝± eq \r(2) 时，等号成立，A正确；t＝1，m＝4，A(1，2)，B(4，2)，C(3，0)，AB∥x轴，|AB|＝3，S△ABC＝ eq \f(1,2) ×3×2＝3，B错；t＝1，m＝4，A关于x轴的对称点A′(1，－2)，|A′B|＝ eq \r(（4－1）2＋（2＋2）2) ＝5，| eq \(PA,\s\up6(→)) |＋| eq \(PB,\s\up6(→)) |＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝5，当且仅当A′，P，B共线时等号成立．C正确；t＝sin θ，θ∈(0，π)，则t∈(0，1]， eq \(CA,\s\up6(→)) ＝(t－7＋m， eq \f(2,t) )， eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，8－\f(3,2)m)) ， eq \(CA,\s\up6(→)) 与 eq \(CB,\s\up6(→)) 的夹角α∈[0， eq \f(π,2) )，即 eq \(CA,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) >0，所以t－7＋m＋ eq \f(2,t) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－\f(3,2)m)) >0，m< eq \f(t2－7t＋16,3－t) ，令x＝3－t，则x∈[2，3)，
eq \f(t2－7t＋16,3－t) ＝ eq \f(（3－x）2－7（3－x）＋16,x) ＝x＋ eq \f(4,x) ＋1，易知函数y＝x＋ eq \f(4,x) ＋1在[2，3)上是增函数，所以ymin＝2＋ eq \f(4,2) ＋1＝5，所以m<5，D正确．
12．已知函数f(x)＝ln x－mx，若有两个相异正实数x1，x2满足f(x1)＝f(x2)(x1＜x2)，则( )
A．0＜x1＜1
B．x2＞e
C．0＜m< eq \f(1,e)
D．x2－x1的值随m的增大而变小
【解析】选BCD.由f(x)＝ln x－mx＝0，得ln x＝mx，即m＝ eq \f(ln x,x) (x＞0).
令g(x)＝ eq \f(ln x,x) ，则g′(x)＝ eq \f(1－ln x,x2) ，
所以当x∈(0，e)时，g′(x)＞0，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0.
所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
所以当x＝e时，g(x)取最大值为g(e)＝ eq \f(1,e) .
又当x→0＋时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0.
作出函数g(x)的图象如图：
由图象可知，x2＞e，0＜m< eq \f(1,e) ，x2－x1的值随m的增大而变小．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
由表中数据，得到线性回归方程＝－2x＋(∈R)，由此估计出山高为72 km处的气温为________℃.
【解析】由题意可得 eq \x\t(x) ＝10， eq \x\t(y) ＝40，所以＝ eq \x\t(y) ＋2 eq \x\t(x) ＝40＋2×10＝60，所以＝－2x＋60，当＝72时，－2x＋60＝72，
解得x＝－6.
答案：－6
14．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B＝ eq \r(3) b，a＝6，则△ABC的周长的取值范围为________.
【解析】因为2a sin B＝ eq \r(3) b，a＝6，
所以 eq \f(b,sin B) ＝4 eq \r(3) ，
由正弦定理可得 eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(a,sin A) ＝4 eq \r(3) ，所以b＝4 eq \r(3) sin B，c＝4 eq \r(3) sin C，sin A＝ eq \f(\r(3),2) ，
因为0所以a＋b＋c＝6＋4 eq \r(3) sin B＋4 eq \r(3) sin C＝6＋4 eq \r(3) sin B＋4 eq \r(3) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))
＝6＋6 eq \r(3) sin B＋6cs B
＝12sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6))) ＋6，
因为 eq \f(π,6) 所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B＋\f(π,6))) ∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) ，
所以(a＋b＋c)∈(6＋6 eq \r(3) ，18].
答案：(6＋6 eq \r(3) ，18]
15．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为________；侧面与底面所成二面角的余弦值为________．
【解析】如图，设正四棱锥的底面边长为a＝2，高为h，斜高为h′，E为CD的中点，
则由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(h2＝\f(1,2)×2h′,h′2＝h2＋1)) ，得h′2－1＝h′，解得h′＝ eq \f(\r(5)＋1,2) 或h′＝ eq \f(－\r(5)＋1,2) (舍去)，
所以 eq \f(h′,2) ＝ eq \f(\r(5)＋1,4) ，所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 eq \f(\r(5)＋1,4) ，
因为PE⊥CD，OE⊥CD，所以∠PEO是侧面与底面所成二面角的平面角，
因为cs ∠PEO＝ eq \f(OE,PE) ＝ eq \f(1,\f(\r(5)＋1,2)) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，所以侧面与底面所成二面角的余弦值为 eq \f(\r(5)－1,2) ，
答案： eq \f(\r(5)＋1,4) eq \f(\r(5)－1,2)
16．若关于x的不等式 eq \f(kex＋1,x) －x>1在(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立，则实数k的取值范围为________.
【解析】依题意， eq \f(kex＋1,x) －x>1⇔ eq \f(kex＋1,x) >x＋1，k> eq \f(x2＋x－1,ex) ，x>0或k< eq \f(x2＋x－1,ex) ，x<0，
令f(x)＝ eq \f(x2＋x－1,ex) ，
则f′(x)＝ eq \f(（2x＋1）ex－ex（x2＋x－1）,e2x)
＝ eq \f(－x2＋x＋2,ex) ＝－ eq \f(（x＋1）（x－2）,ex) ，
所以当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，
当x∈(－1，0)时，f′(x)>0，
所以x<0时，f(x)≥f(－1)，
当x∈(0，2)时，f′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，所以x>0时，f(x)≤f(2)，
所以k>f(2)或k即k> eq \f(5,e2) 或k<－e.
答案：(－∞，－e)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,e2)，＋∞))
气温x(℃)
18
13
10
－1
山高y(km)
24
34
38
64