2022版高考数学小题标准练（五）

这是一份2022版高考数学小题标准练（五），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(五)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知集合A＝{x|x2－5x－6≤0}，B＝{x|x<5}，则A∪B＝( )
A．(－∞，6] B．(－∞，5)
C．[－1，6] D．[1，5)
【解析】选A.解不等式x2－5x－6＝(x＋1)(x－6)≤0得－1≤x≤6，故A＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，6))
B＝{x|x<5}＝(－∞，5)，A∪B＝(－∞，6].
2．设i是虚数单位，若复数 eq \f(1＋i,a－i) 是纯虚数，则实数a的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】选C.因为 eq \f(1＋i,a－i) ＝ eq \f(（1＋i）（a＋i）,（a－i）（a＋i）) ＝ eq \f(a－1,a2＋1) ＋ eq \f(a＋1,a2＋1) i是纯虚数，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－1＝0，,a＋1≠0，)) 解得a＝1.
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e))) ＝( )
A． eq \f(1,e) －2 B．e－2C．－1 D．e
【解析】选B.由题意得：f′(x)＝2f′(1)＋ eq \f(1,x) ，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)＋1
解得f′(1)＝－1，
所以f′(x)＝－2＋ eq \f(1,x) ，所以f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e))) ＝e－2.
4．若角α的终边过点P(3，－4)，则sin 2α的值为( )
A． eq \f(12,25) B．－ eq \f(12,25) C． eq \f(24,25) D．－ eq \f(24,25)
【解析】选D.因为角α的终边过点P(3，－4)，
所以|OP|＝5，
所以sin α＝－ eq \f(4,5) ，cs α＝ eq \f(3,5) ，
sin 2α＝2sin αcs α＝－ eq \f(24,25) .
5．某高中现有高一年级1 600人，高二年级1 440人，高三年级1 760人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )
A．10，9，11 B．9，8，13
C．10，8，12 D．9，7，14
【解析】选A.总数为4 800，抽样比为1∶160，高一为1 600× eq \f(1,160) ＝10，高二为1 440× eq \f(1,160) ＝9，高三为1 760× eq \f(1,160) ＝11.
6．对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是( )
A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α
B．若a∥b，b⊂α，则a∥α
C．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b
D．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β
【解析】选C.根据线面垂直的判定定理可知，m，n必须是相交直线，所以A错误；
根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面α外，所以B错误；
根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所以C正确；
根据面面垂直的性质可知，a必须垂直于α，β的交线才有a⊥β，所以D错误．
7．过点(0，2b)的直线l与双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a，b>0)的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率取值范围是( )
A．(1，2] B．(2，＋∞)
C．(1，2) D．(1， eq \r(2) )
【解析】选A.由题意得，直线l的方程为y＝ eq \f(b,a) x＋2b，即bx－ay＋2ab＝0，因为双曲线C的右支上点到直线的距离恒大于b，所以直线l与bx－ay＝0的距离恒大于等于b，所以 eq \f(2ab,\r(b2＋a2)) ≥b⇒3a2≥b2，所以3a2≥c2－a2，因为e>1，所以18．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.数列{bn}的前500项和为( )
A．900 B．902 C．890 D．892
【解析】选D.Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，7a4＝28.
可得a4＝4，则公差d＝1.
所以an＝n，所以bn＝[lg n]，则b1＝[lg 1]＝0，b2＝b3＝…＝b9＝0，b10＝b11＝b12＝…＝b99＝1，b100＝b101＝b102＝b103＝…＝b500＝2.
数列{bn}的前500项和为：9×0＋90×1＋401×2＝892.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知向量a＝(1，3)，b＝(2，－4)，则下列结论正确的是( )
A．(a＋b)⊥a
B．|2a＋b|＝ eq \r(10)
C．向量a，b的夹角为 eq \f(3π,4)
D．b在a方向上的投影是 eq \r(10)
【解析】选AC.对选项A，a＋b＝(3，－1)，因为(3，－1)·(1，3)＝3－3＝0，所以(a＋b)⊥a，故A正确；对选项B，2a＋b＝(4，2)，所以|2a＋b|＝ eq \r(42＋22) ＝ eq \r(20) ＝2 eq \r(5) ，故B错误；对选项C，cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a|·|b|) ＝ eq \f(2－12,\r(10)×\r(20)) ＝－ eq \f(\r(2),2) ，所以向量a，b的夹角为 eq \f(3π,4) ，故C正确；对选项D，b在a方向上的投影是|b|·cs 〈a，b〉＝2 eq \r(5) ×(－ eq \f(\r(2),2) )＝－ eq \r(10) ，故D错误．
10．已知实数a，b，c.满足a＞b＞c且abc＜0，则下列不等关系一定正确的是( )
A．ac＞bc B． eq \f(c,a) ＞ eq \f(c,b)
C． eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ＞2 D．a ln |c|＞b ln |c|
【解析】选BC.由已知得a＞b＞0＞c或c＜b＜a＜0，所以ac＜bc，A项错误； eq \f(c,a) － eq \f(c,b) ＝ eq \f(c（b－a）,ab) ，因为ab＞0，b－a＜0，c＜0，所以 eq \f(c,a) ＞ eq \f(c,b) ，B项正确；由题意知ab＞0，则 eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ＞2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b)) ＝2，C项正确；当a＝2，b＝1，c＝－1时，显然D项错误．
11．已知抛物线M：y2＝4x，圆N：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，过点(1，0)的直线l与圆N交于C，D两点，交抛物线M于A，B两点，则满足|AC|＝|BD|的直线l有三条的r的值有( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选BCD.当直线l斜率不存在时，直线方程为：x＝1与抛物线交于点(1，±2)，与圆交于点(1，±r)，显然满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为x＝my＋1(m≠0)，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋1,y2＝4x)) 得y2－4my－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＜y2，
由根与系数的关系可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝16(m2＋1).
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋1,（x－1）2＋y2＝r2)) ，y＝± eq \r(\f(r2,m2＋1)) .
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，y3＜y4，(y3－y4)2＝ eq \f(4r2,m2＋1) ，有|AC|＝|BD|，|y3－y1|＝|y4－y2|，
当y3－y1＝－(y4－y2)时，即y3＋y4＝y1＋y2＝0，
又因为y1＋y2＝4m，所以m＝0(舍).
当y3－y1＝y4－y2时，即y2－y1＝y4－y3，
因为(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝16(m2＋1)，(y3－y4)2＝ eq \f(4r2,m2＋1) ，
由此，16(m2＋1)＝ eq \f(4r2,m2＋1) ，解得r＝2(m2＋1)，显然，当r＞2时，m有两解，对应直线有两条．r＝2，m＝0，此时直线斜率不存在，即为第一种情况，所以当r≥2时，对应直线l有三条．
12．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝lg2(x＋a)，则下列结论正确的是( )
A．函数y＝f(x)是周期为4的周期函数
B．f(2 020)＋f(2 021)＝1
C．当x∈(1，2]时，f(x)＝lg2(x＋1)
D．不等式f(x)＞ eq \f(1,2) 的解集为( eq \r(2) －1＋4k，3－ eq \r(2) ＋4k)，k∈Z
【解析】选ABD.对于选项A，由函数y＝f(x＋1)为偶函数得函数y＝f(x)的对称轴为x＝1，故得f(－x)＝f(2＋x)，又f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，从而得f(4＋x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是周期为4的周期函数，故选项A正确；
对于选项B，又奇函数y＝f(x)当x∈[0，1]时，f(x)＝lg2(x＋a)，故得f(0)＝lg2a＝0，解得a＝1，所以当x∈[0，1]时，f(x)＝lg2(x＋1).所以f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)＝1，故选项B正确；
对于选项C，当x∈(1，2]时，2－x∈[0，1)，所以f(x)＝f(2－x)＝lg2[(2－x)＋1]＝lg2(3－x)，故选项C不正确；
对于选项D，根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期[－1，3]上解的情况即可．
当x∈[0，1]时，由lg2(x＋1)＞ eq \f(1,2) ＝lg2 eq \r(2) ，解得x＞ eq \r(2) －1，故得 eq \r(2) －1＜x≤1；
当x∈(1，2]时，由lg2(3－x)＞ eq \f(1,2) ＝lg2 eq \r(2) ，解得x＜3－ eq \r(2) ，
故得1＜x＜3－ eq \r(2) ，
综上可得不等式f(x)＞ eq \f(1,2) 在一个周期[－1，3]上的解集为( eq \r(2) －1，3－ eq \r(2) )，所以不等式在定义域上的解集为( eq \r(2) －1＋4k，3－ eq \r(2) ＋4k)，k∈Z，故选项D正确．
综上ABD正确．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．在大小相同的6个球中，2个是红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________.(结果用分数表示)
【解析】由题意知本题是一个古典概型，因为试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＝20种结果，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球，2个红球一个白球，共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝16，所以所选的3个球中至少有1个红球的概率是 eq \f(16,20) ＝ eq \f(4,5) .
答案： eq \f(4,5)
14．如图，已知O为△ABC的重心，∠BOC＝90°，若4BC2＝AB·AC，则A的大小为________.
【解析】分别延长BO，CO交AC，AB于点D，E两点，设DO＝x，EO＝y，所以BO＝2x，CO＝2y，
在Rt△BOC中，BC2＝BO2＋CO2＝4x2＋4y2；
在Rt△BOE中，BE2＝BO2＋EO2＝4x2＋y2，所以AB2＝4(4x2＋y2)；
在Rt△DOC中，DC2＝DO2＋CO2＝x2＋4y2，所以AC2＝4(x2＋4y2)，
令BC＝a，AC＝b，AB＝c，可知5a2＝b2＋c2，又4BC2＝AB·AC，即4a2＝cb，
代入上式可知bc＝b2＋c2－a2，
所以由余弦定理得cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(1,2) ，又A∈(0，π)，所以A＝ eq \f(π,3) .
答案： eq \f(π,3)
15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作直线交C于A，B两点，过A，B分别向C的准线l作垂线，垂足为A1，B1，已知△AA′F与△BB′F的面积分别为9和1，则△A′B′F的面积为________.
【解析】设直线AB：x＝ty＋ eq \f(p,2) ，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ty＋\f(p,2),y2＝2px)) 可得y2＝2p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ty＋\f(p,2))) ＝2pty＋p2，
整理得到：y2－2pty－p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，
故x1x2＝ eq \f(（y1y2）2,4p2) ＝ eq \f(p2,4) ，x1＋x2＝t×2pt＋p＝p(2t2＋1)，
又S△AA′F＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2))) y1＝9，
S△BB′F＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2))) (－y2)＝1，S△AA′F·S△BB′F＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2))) y1(－y2)＝9，整理得到x1x2＋ eq \f(p,2) (x1＋x2)＋ eq \f(p2,4) ＝ eq \f(36,p2) ，
即 eq \f(p2,2) ＋ eq \f(p2,2) (2t2＋1)＝ eq \f(36,p2) ，故p4(t2＋1)＝36，
故S△B′A′F＝ eq \f(1,2) ×p× eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y1－y2)) ＝ eq \f(1,2) ×p× eq \r(4p2t2＋4p2) ＝p2 eq \r(t2＋1) ＝6.
答案：6
16．某校学生去工厂进行劳动实践，加工制作某种零件．如图，将边长为10 eq \r(2) cm的正方形铁皮剪掉阴影部分四个全等的等腰三角形，然后将△P1AB，△P2BC，△P3CD，△P4DA分别沿AB，BC，CD，DA翻折，使得P1，P2，P3，P4重合并记为点P，制成正四棱锥P­ABCD形状的零件．当该四棱锥体积最大时，AB＝________ cm；此时该四棱锥外接球的表面积S＝________ cm2.
【解析】正方形P1P2P3P4的对角线长为
eq \r(（10\r(2)）2＋（10\r(2)）2) ＝20，设AB＝2x，则0＜2x＜ eq \f(20,2) ＝10，0＜x＜5，S四边形ABCD＝(2x)2＝4x2，设E是BC的中点，四棱锥的高h＝ eq \r(PE2－OE2) ＝ eq \r(（10－x）2－x2) ＝ eq \r(100－20x) ，
则VP­ABCD＝ eq \f(1,3) ×4x2× eq \r(100－20x)
＝ eq \f(4,3) eq \r(－20x5＋100x4) ，
对于函数f(x)＝－20x5＋100x4(0＜x＜5)，f′(x)＝－100x3(x－4)，
所以在区间(0，4)上，f′(x)＞0，f(x)递增，在区间(4，5)上，f′(x)＜0，f(x)递减，
所以当x＝4时，f(x)取得极大值也即是最大值．
所以当AB＝2x＝8时，正四棱锥P­ABCD体积最大，
此时h＝ eq \r(100－20×4) ＝2 eq \r(5) ，O1C＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(1,2) eq \r(82＋82) ＝4 eq \r(2) ，
设球心为O，球的半径为R，则(2 eq \r(5) －R)2＋(4 eq \r(2) )2＝R2，
解得R＝ eq \f(13,\r(5)) ，外接球的表面积为4πR2＝4π× eq \f(169,5) ＝ eq \f(676,5) π.
答案：8 eq \f(676,5) π