2022版高考数学小题标准练（十）

这是一份2022版高考数学小题标准练（十），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
高考小题标准练(十)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知a是正实数，若复数 eq \f(a＋3i,1－i) 的模为 eq \f(5\r(2),2) ，则实数a的值是( )
A．2 eq \r(2) B．3 C．4 D．4 eq \r(2)
【解析】选C.因为 eq \f(a＋3i,1－i) ＝ eq \f(（1＋i）（a＋3i）,2) ＝( eq \f(a－3,2) )＋( eq \f(a＋3,2) )i，
又因为Z的模为 eq \f(5\r(2),2) ，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－3,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋3,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(25,2)
解得a＝4.
2．已知集合A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B≠∅，若3，4∉B，则满足条件的集合A的个数为( )
A．7个 B．8个
C．15个 D．16个
【解析】选C.由题意知3，4∉B，A∩B≠∅，所以A∩B是集合{1，2，5，6}的非空子集，因此，满足条件的集合A的个数为24－1＝15.
3．若cs x＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x)) ＝1，则cs (2x＋ eq \f(π,3) )＝( )
A．－ eq \f(2,3) B．－ eq \f(7,9) C．－ eq \f(1,3) D．－ eq \f(2,9)
【解析】选C.因为cs x＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x)) ＝1，
所以cs x＋sin eq \f(π,6) cs x－cs eq \f(π,6) sin x＝1，
所以 eq \f(3,2) cs x－ eq \f(\r(3),2) sin x＝1， eq \r(3) cs (x＋ eq \f(π,6) )＝1，所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) ＝ eq \f(\r(3),3) ，
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) ＝2cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))) －1＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3))) 2－1＝－ eq \f(1,3) .
4. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,x))) eq \s\up12(8) 的展开式的常数项为( )
A．112 B．56 C．28 D．14
【解析】选C.因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,x))) 8的展开式的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) x3(8－r) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) eq \s\up12(r) ＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) x24－4r，由24－4r＝0，得 r＝6，
所以所求的常数项为C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(8)) ＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ＝28.
5．已知点O(0，0)，M(－20，21)，将向量 eq \(OM,\s\up6(→)) 绕点O按顺时针方向旋转90°后得到向量 eq \(ON,\s\up6(→)) ，则点N的坐标是( )
A．(21，20) B．(21，－20)
C．(－21，20) D．(－21，－20)
【解析】选A.方法一：设N(x，y)，(x，y>0)，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(OM,\s\up6(→))⊥\(ON,\s\up6(→))⇒\(OM,\s\up6(→))·\(ON,\s\up6(→))＝0,|\(OM,\s\up6(→))|＝|\(ON,\s\up6(→))|))
得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－20x＋21y＝0,x2＋y2＝202＋212)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝21,y＝20)) .
所以N(21，20).
方法二：如图所示，M，N在x轴上的射影为M′，N′，
设N(x，y)，因为 eq \(OM,\s\up6(→)) ⊥ eq \(ON,\s\up6(→)) ，所以∠1＋∠2＝90°.
又∠1＋∠M＝90°，所以∠M＝∠2，
又| eq \(OM,\s\up6(→)) |＝| eq \(ON,\s\up6(→)) |，∠M′＝∠N′，
所以△OM′M≌△NN′O，
所以x＝ON′＝M′M＝21.
y＝N′N＝OM′＝20.
所以N(21，20).
6．设a，b，c都是正实数，若10a＝lg eq \f(1,10) a，( eq \f(1,10) )b＝lg eq \f(1,10) b，( eq \f(1,10) )c＝lg c，则( )
A．a4
B．“a＝1”是“直线ax＋y－1＝0与直线ax＋(a－2)y＋5＝0垂直”的充分条件
C．已知回归直线方程y＝2x＋，且 eq \x\t(x) ＝5， eq \x\t(y) ＝20，则＝15
D．函数f(x)＝|cs 4x|的图象向左平移 eq \f(π,8) 个单位，所得函数图象关于原点对称
【解析】选AB.由a＝lg312，得 eq \f(1,a) ＝lg123， eq \f(1,b) ＝lg124， eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝1，a>0，b>0，a≠b，
所以(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b))) ＝2＋ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) >4(由于a≠b所以等号不成立)，故A正确．
B．由两直线垂直，可得a2＋(a－2)＝0，解得a＝1或a＝－2；所以“a＝1”是“直线ax＋y－1＝0与直线ax＋(a－2)y＋5＝0垂直”的充分条件，故B正确．
C．回归直线一定过样本中心点， eq \x\t(y) ＝2 eq \x\t(x) ＋，＝20－2×5＝10；故C不正确．
D．将f(x)＝|cs 4x|的图象向左平移 eq \f(π,8) 个单位，可得y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs 4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8))))) ＝|cs (4x＋ eq \f(π,2) )|＝|sin 4x|，函数g(x)＝|sin 4x|，由g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8))) ＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8))) ＝1，所以g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8))) ≠－g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8))) ，所以g(x)不是奇函数，其图象不关于原点对称，所以D不正确．
12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是( )
A.若MN与平面ABCD所成的角为 eq \f(π,4) ，则点N的轨迹为圆
B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π
C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线
D．若D1N与AB所成的角为 eq \f(π,3) ，则点N的轨迹为双曲线
【解析】选ACD.如图：
对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为MN与平面ABCD所成的角，所以∠MND＝ eq \f(π,4) ，所以DN＝DM＝ eq \f(1,2) DD1＝ eq \f(1,2) ×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆；故A正确；对于B，在直角三角形MDN中，DN＝ eq \r(MN2－MD2) ＝ eq \r(42－22) ＝2 eq \r(3) ，取MD的中点E，因为P为MN的中点，所以PE∥DN，且PE＝ eq \f(1,2) DN＝ eq \r(3) ，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝ eq \r(3) ，所以点P的轨迹为以 eq \r(3) 为半径的圆，其面积为π·( eq \r(3) )2＝3π，故B不正确；对于C，连接NB，因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；
对于D，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，
设N(x，y，0)，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(0，4，0)，＝(x，y，－4)，因为D1N与AB所成的角为 eq \f(π,3) ，
所以|cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ，〉|＝cs eq \f(π,3) ，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4y,4\r(x2＋y2＋16)))) ＝ eq \f(1,2) ，整理得 eq \f(3y2,16) － eq \f(x2,16) ＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4))) (ω>0)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36))) 上是单调递减函数，则ω的取值范围是________．
【解析】由2kπ＋ eq \f(π,2) ≤wx＋ eq \f(π,4) ≤2kπ＋ eq \f(3π,2) ，k∈Z，解得 eq \f(2kπ＋\f(π,4),ω) ≤x≤ eq \f(2kπ＋\f(5π,4),ω) ，
由已知可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(5π,36)≤\f(2kπ＋\f(5π,4),ω),\f(π,18)≥\f(2kπ＋\f(π,4),ω))) ，
因为ω>0，所以 eq \f(9,2) ＋36k≤ω≤9＋ eq \f(72,5) k，k∈Z，
由 eq \f(9,2) ＋36k>0，k∈Z，得到k≥0，k∈Z，由 eq \f(9,2) ＋36k≤9＋ eq \f(72,5) k得到k≤0，k∈Z，
所以k＝0， eq \f(9,2) ≤ω≤9.
答案： eq \f(9,2) ≤ω≤9.
14．设点P是曲线y＝ eq \f(ex－e－x,ex＋e－x) 上任意一点，直线l过点P与曲线相切，则直线l的倾斜角的取值范围为________．
【解析】因为y＝ eq \f(ex－e－x,ex＋e－x) ＝ eq \f(e2x－1,e2x＋1) ＝1－ eq \f(2,e2x＋1) ，求导得y′＝ eq \f(4e2x,（e2x＋1）2) ＝ eq \f(4,e2x＋e－2x＋2) ，因为e2x＋e－2x≥2，所以e2x＋e－2x＋2≥4，所以0