2022版高考数学小题标准练（十二）

这是一份2022版高考数学小题标准练（十二），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(十二)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知全集U＝R，集合A＝{x∈N|x2－21x＋20≤0}，B＝{x|x>2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{－1} B．{0，1，2，3}
C．{1，2，3} D．{1，2}
【解析】选D.因为A＝{1，2，3，…，20}，B＝{x|x>2}，所以图中阴影部分所表示的集合为A∩UB＝{1，2}．
2．已知在三角形ABC中，点P满足 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝3 eq \(PA,\s\up6(→)) ，则( )
A． eq \(CP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→))
B． eq \(CP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(CA,\s\up6(→))
C． eq \(CP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(CA,\s\up6(→))
D． eq \(CP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \(CA,\s\up6(→))
【解析】选D.因为点P满足 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝3 eq \(PA,\s\up6(→)) ，所以 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(BA,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝ eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \(BA,\s\up6(→))
＝ eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) ( eq \(CA,\s\up6(→)) － eq \(CB,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,4) eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \(CA,\s\up6(→)) .
3．设F1，F2为双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的焦点，B1，B2是虚轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积等于 eq \r(3) a2，则双曲线的渐近线方程为( )
A． eq \r(2) x±y＝0 B．x± eq \r(2) y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【解析】选B.由题意得 eq \f(1,2) (2b)(2c)＝ eq \r(3) a2，因为a2＝c2－b2，所以2bc＝ eq \r(3) c2－ eq \r(3) b2，两边同除以b2，得 eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b))) 2－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b))) － eq \r(3) ＝0，所以 eq \f(c,b) ＝ eq \r(3) ，所以 eq \f(b,a) ＝ eq \f(\r(2),2) ，
所以渐近线方程为x± eq \r(2) y＝0.
4．已知{an}满足an＋12＝anan＋2，a1＝1，a21＝32a16，数列{an}的前n项和为Tn，则T5＝( )
A．31 B．32 C．15 D．7
【解析】选A.因为a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) ＝anan＋2，所以{an}是等比数列，因为a21＝32a16，所以q5＝32，q＝2，所以{an}是公比为2，首项为1的等比数列，所以数列{an}的前5项和为T5＝ eq \f(1－25,1－2) ＝31.
5．由数字0，1，2，9组成的无重复数字的4位数，比2 022大的有( )个
A．10 B．11 C．12 D．13
【解析】选B.分两类：首位为9的四位数，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6个，首位为2的四位数，百位可以是1或9，所以共有2A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4个，首位为2百位是0的四位数，只有一个，所以共有6＋4＋1＝11个．
6．定义在R上的函数f(x)的图象的两个相邻的对称中心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0)) ，当x∈[0， eq \f(π,4) ]时，f(x)＝sin x，则f( eq \f(2 021π,4) )的值为( )
A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2)
C．－ eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(2),2)
【解析】选D.f(x)的最小正周期为T＝2( eq \f(π,2) － eq \f(π,4) )＝ eq \f(π,2) ，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 021π,4))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(505π＋\f(π,4))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))) ＝ eq \f(\r(2),2) .
7．过原点作曲线y＝ eq \f(ln x,x) 的切线l，切点为A，曲线y＝ eq \f(ln x,x) 的最高点为B，过A作x轴的垂线，垂足为C，则三角形ABC的面积为( )
A． eq \f(e,2) －1 B． eq \f(1,4) ( eq \r(e) －1)
C． eq \f(\r(e),4) D． eq \f(e,2)
【解析】选B.设A(x0， eq \f(ln x0,x0) )，由y＝ eq \f(ln x,x) 求导数得y′＝ eq \f(1－ln x,x2) ，
所以切线的斜率为 eq \f(1－ln x0,x02) ，
所以切线l的方程为y－ eq \f(ln x0,x0，) ＝ eq \f(1－ln x0,x02) (x－x0)，因为直线l过原点，
所以0－ eq \f(ln x0,x0，) ＝ eq \f(1－ln x0,x02) (0－x0)，解得x0＝ eq \r(e) ，所以切点为A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(e)，\f(1,2\r(e)))) ，
所以C( eq \r(e) ，0)，
又由1－ln x＝0得x＝e，所以函数y＝ eq \f(ln x,x) 在(0，e)上是增函数，在(e，＋∞)上是减函数，
所以最大值点为B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，\f(1,e))) ，所以三角形ABC的面积为 eq \f(1,2) (e－ eq \r(e) ) eq \f(1,2\r(e)) ＝ eq \f(1,4) ( eq \r(e) －1).
8．已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的右焦点为F，设c＝ eq \r(a2－b2) ，直线 eq \f(x,c) ＋ eq \f(y,b) ＝1与椭圆C在第四象限交于点A，点A在x轴上的射影为B，若 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(4,9) b2，则椭圆C的离心率为( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(\r(5),5) C． eq \f(2,5) D． eq \f(\r(10),5)
【解析】选B.由AB⊥x轴可得 eq \(AB,\s\up6(→)) ⊥ eq \(BF,\s\up6(→)) ，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ·( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BF,\s\up6(→)) )＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) 2＝ eq \f(4,9) b2，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) ＝ eq \f(2b,3) 即yA＝－ eq \f(2b,3) ，
因为点A在直线 eq \f(x,c) ＋ eq \f(y,b) ＝1上，
所以 eq \f(xA,c) ＋ eq \f(－\f(2b,3),b) ＝1，所以xA＝ eq \f(5,3) c，
则A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5c,3)，－\f(2b,3))) ，将A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5c,3)，－\f(2b,3))) 代入椭圆C的方程得 eq \f(25c2,9a2) ＋ eq \f(4,9) ＝1
可得a2＝5c2，
所以e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(5),5) .
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知复数z＝ eq \r(3) ＋i(i为虚数单位)， eq \x\t(z) 为z的共轭复数，若复数z0＝ eq \f(\x\t(z),z) ，则下列结论正确的是( )
A．z0在复平面内对应的点位于第四象限
B．|z0|＝1
C．z0的实部为 eq \f(1,2)
D．z0的虚部为 eq \f(\r(3),2)
【解析】选ABC.由题意z0＝ eq \f(\r(3)－i,\r(3)＋i) ＝
eq \f(（\r(3)－i）2,（\r(3)＋i）（\r(3)－i）) ＝ eq \f(3－2\r(3)i＋i2,4) ＝ eq \f(1,2) － eq \f(\r(3),2) i，
z0对应点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) 在第四象限，A正确；|z0|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2)) ＝1，B正确；
z0的实部为 eq \f(1,2) ，C正确，虚部是－ eq \f(\r(3),2) ，D错误．
10．下列不等式成立的是( )
A．lg2(sin 1)>2sin 1
B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π))) eq \s\up12(2) <π eq \f(1,2)
C． eq \r(7) － eq \r(5) < eq \r(6) －2
D．lg43【解析】选BCD.对于A.因为sin 1∈(0，1)，所以lg2(sin 1)<0，2sin 1>1，所以lg2(sin 1)<2sin 1，故A不正确；B.0< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π))) eq \s\up12(2) <1，π eq \f(1,2) >1，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π))) eq \s\up12(2) <π eq \f(1,2) ，故B正确；C.要判断 eq \r(7) － eq \r(5) < eq \r(6) －2，即判定 eq \r(7) ＋2< eq \r(6) ＋ eq \r(5) ，即判定( eq \r(7) ＋2)2<( eq \r(6) ＋ eq \r(5) )2，即11＋4 eq \r(7) <11＋2 eq \r(30) ，即4 eq \r(7) <2 eq \r(30) ，即28<30成立，故C正确；D.因为lg43＝1＋lg4 eq \f(3,4) ，lg65＝1＋lg6 eq \f(5,6) ，因为lg4 eq \f(3,4) 11．关于函数f(x)＝ eq \f(2,x) ＋ln x，下列判断正确的是( )
A．x＝2是f(x)的极大值点
B．函数y＝f(x)－x有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得f(x)>kx恒成立
D．对任意两个正实数x1，x2，且x2>x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>4
【解析】选BD.A：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ eq \f(2,x2) ＋ eq \f(1,x) ＝ eq \f(x－2,x2) ，
当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x＝2是f(x)的极小值点，故A错误；B：y＝f(x)－x＝ eq \f(2,x) ＋ln x－x，y′＝－ eq \f(2,x2) ＋ eq \f(1,x) －1＝－ eq \f(x2－x＋2,x2) <0，所以函数在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)－1＝2＋ln 1－1＝1>0，f(2)－2＝1＋ln 2－2＝ln 2－1<0，
所以函数y＝f(x)－x有且只有1个零点，故B正确；
C：若f(x)>kx，即 eq \f(2,x) ＋ln x>kx，则k< eq \f(2,x2) ＋ eq \f(ln x,x) ，令g(x)＝ eq \f(2,x2) ＋ eq \f(ln x,x) ，则g′(x)＝ eq \f(－4＋x－x ln x,x3) ，令h(x)＝－4＋x－x ln x，则h′(x)＝－ln x，
当x∈(0，1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)≤h(1)＝－3<0，所以g′(x)<0，所以g(x)＝ eq \f(2,x2) ＋ eq \f(ln x,x) 在(0，＋∞)上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k，使得f(x)>kx恒成立，故C错；
D：因为f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以x＝2是f(x)的极小值点，
因为对任意两个正实数x1，x2，且x2>x1，若f(x1)＝f(x2)，则0令t＝ eq \f(x2,x1) (t>1)，则x2＝tx1，由f(x1)＝f(x2)，得 eq \f(2,x1) ＋ln x1＝ eq \f(2,x2) ＋ln x2，所以 eq \f(2,x1) － eq \f(2,x2) ＝ln x2－ln x1，即 eq \f(2（x2－x1）,x1x2) ＝ln eq \f(x2,x1) ，即 eq \f(2（t－1）x1,x1·tx1) ＝ln t，解得x1＝ eq \f(2（t－1）,t ln t) ，x2＝tx1＝ eq \f(2（t－1）,ln t) ，所以x1＋x2＝ eq \f(2t2－2,t ln t) .故要证x1＋x2>4，需证x1＋x2－4>0，
需证 eq \f(2t2－2,t ln t) －4>0，即 eq \f(2t2－2－4t ln t,t ln t) >0.因为t＝ eq \f(x2,x1) >1，则t ln t>0，所以只需证2t2－2－4t ln t>0.令H(t)＝2t2－2－4t ln t(t>1)，H′(t)＝4t－4ln t－4(t>1)，
H″(t)＝4－ eq \f(4,t) ＝ eq \f(4（t－1）,t) >0(t>1)，所以H′(t)在(1，＋∞)上是增函数．
因为t→1时，H′(t)→0，则H′(t)>0，所以H(t)在(1，＋∞)上是增函数．
因为t→1时，H(t)→0，则H(t)>0，所以 eq \f(2t2－2－4t ln t,t ln t) >0，
所以x1＋x2>4，故D正确．
12．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，且A(2，1)，B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线上，O为坐标原点．下列说法正确的是( )
A．点F的坐标为(0，2)
B．若 eq \(FB,\s\up6(→)) ＋ eq \(FC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AF,\s\up6(→)) ，则| eq \(FB,\s\up6(→)) |＋| eq \(FC,\s\up6(→)) |＝2| eq \(AF,\s\up6(→)) |
C．若| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝6，则BC的中点到x轴距离最小值为2
D．若直线BC过点F，则直线OB与OC的斜率之积为－ eq \f(1,4)
【解析】选BCD.由于点A(2，1)在抛物线x2＝2py(p>0)上得4＝2p，故p＝2，
所以F的坐标为(0，1)，A错；对B选项， eq \(FB,\s\up6(→)) ＋ eq \(FC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AF,\s\up6(→)) ，得y1＋y2－2＝0，
所以| eq \(FB,\s\up6(→)) |＋| eq \(FC,\s\up6(→)) |＝y1＋y2＋p＝4，
又2| eq \(AF,\s\up6(→)) |＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(p,2))) ＝4，所以| eq \(FB,\s\up6(→)) |＋| eq \(FC,\s\up6(→)) |＝2| eq \(AF,\s\up6(→)) |成立，故B正确；
对C选项，由|BF|＋|CF|≥|BC|＝6，所以y1＋y2＋p＝y1＋y2＋2≥6，
则 eq \f(y1＋y2,2) ≥2，所以BC的中点到x轴距离最小值为2，故C正确；
对D选项，设直线BC的方程为y＝kx＋1，代入抛物线x2＝4y得x2－4kx－4＝0，
所以x1x2＝－4，直线OB与OC的斜率之积为 eq \f(y1y2,x1x2) ＝ eq \f(\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,16),x1x2) ＝ eq \f(x1x2,16) ＝－ eq \f(1,4) ，故D正确．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，若a4＝3，a10＝21，则 eq \f(S21,a17) ＝________．
【解析】因为数列{an}是等差数列，所以设公差为d，首项为a1，则a1＋3d＝3，a1＋9d＝21，解得a1＝－6，d＝3，所以an＝3n－9，所以a17＝42，S21＝21×(－6)＋ eq \f(21×20,2) ×3＝504，所以 eq \f(S21,a17) ＝ eq \f(504,42) ＝12.
答案：12
14．某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m).S的最小值是__________，此时x的值是________．
【解析】由题意，AM＝ eq \f(200－x2,4x) ，又AM>0，有02 eq \r(4 000x2·\f(400 000,x2)) ＋38 000＝80 000＋38 000＝118 000，
当且仅当4 000x2＝ eq \f(400 000,x2) ，即x＝ eq \r(10) 时，等号成立，
所以当x＝ eq \r(10) 时，S最小且最小值为118 000.
答案：118 000 eq \r(10)
15．某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动．为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如图．
你最喜欢的社团类型是什么？(单选)
A．体育类如：羽毛球、足球、毽球等
B．科学类如：数学建模、环境与发展、电脑等
C．艺术类如：绘画、舞蹈、乐器等
D．文化类如：公关演讲、书法、文学社等
E．其他
由两个统计图表可以求得，选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为________.
【解析】设接受调查的学生的总人数为x，由调查结果条形统计图可知选择A的人数为300，通过调查结果扇形统计图可知：选择A的人数比例为15%，所以15%＝ eq \f(300,x) ×100%，解得x＝2 000，而选择D的人数为2 000×25%＝500，扇形统计图中E的圆心角度数为(1－15%－12%－40%－25%)×360°＝28.8°.
答案：500，28.8°
16．在三棱锥A­BCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝5，AC＝BD＝4 eq \r(2) ，则它的外接球与内切球的表面积分别为________．
【解析】构造长方体EBFD­AGCH(如图)，
则四面体的六条棱就是长方体的面对角线，四面体的外接球就是长方体的外接球，
设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，由已知可得x2＋y2＝32，z2＋y2＝25，x2＋z2＝25，解得x＝y＝4，z＝3，所以长方体的体对角线为 eq \r(x2＋y2＋z2) ＝ eq \r(41) ，即外接球的直径为 eq \r(41) ，所以外接球的表面积为41π.
设内切球的半径为r，因为三棱锥的四个面是全等的三角形，所以它的表面积为4× eq \f(1,2) ×4 eq \r(2) × eq \r(52－（2\r(2)）2) ＝8 eq \r(34) ，由它的体积计算得 eq \f(1,3) ×8 eq \r(34) ·r＝ eq \f(1,3) ×3×4×4，解得r＝ eq \f(6,\r(34)) ，所以内切球的表面积为4πr2＝4π× eq \f(36,34) ＝ eq \f(72,17) π.
答案：41π， eq \f(72,17) π