2022版高考数学小题标准练（三）

这是一份2022版高考数学小题标准练（三），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(三)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知集合P＝{x|x2＜4}，Q＝{x|－1＜x＜3}，则P∩Q＝( )
A．{x|2＜x＜3} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜2} D．{x|－1＜x＜3}
【解析】选C.因为P＝{x|－2＜x＜2}，Q＝{x|－1＜x＜3}，
所以P∩Q＝{x|－1＜x＜2}．
2．欧拉公式eiθ＝cs θ＋isin θ(e为自然对数底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名、最美丽的公式之一，根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选B.由题意得：e2i＝cs 2＋isin 2，而cs 2＜0，sin 2＞0，故点(cs 2，sin 2)在第二象限．
3．已知a，b都大于零且不等于1，则“lgab＞1”是“(a－1)(b－1)＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选A.a，b都大于零且不等于1，lgab＞1＝lgaa，若0＜a＜1，则1＞a＞b＞0，所以(a－1)(b－1)＞0，若a＞1，则b＞a＞1，所以(a－1)(b－1)＞0，所以“lgab＞1”可以推出“(a－1)(b－1)＞0”，满足充分性；
因为(a－1)(b－1)＞0，
所以a＞1，b＞1或0＜a＜1，0＜b＜1，
只能推出lgab＞0，不能推出lgab＞1，不满足必要性；所以“lgab＞1”是“(a－1)(b－1)＞0”的充分不必要条件．
4．已知函数f(x)＝ eq \f(|x|－1,x) ln |x|，其图象大致为( )
【解析】选A.函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数f(－x)＝ eq \f(|－x|－1,－x) ln |－x|＝－ eq \f(|x|－1,x) ln |x|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故排除BD，因为f(1)＝0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) ＝－ln eq \f(1,2) ＝ln 2＞0，故排除C.
5．在直角坐标系中，已知O为坐标原点，A(－1，0)，B(1，0).点P满足kPA·kPB＝3，且|PA|＋|PB|＝4，则|OP|＝( )
A． eq \f(7\r(13),13) B． eq \f(\r(85),5)
C． eq \f(5\r(13),13) D． eq \f(\r(13),2)
【解析】选B.设点P(x，y)，A(－1，0)，B(1，0)，kPA＝ eq \f(y,x＋1) ，kPB＝ eq \f(y,x－1) ，所以kPA·kPB＝ eq \f(y,x＋1) · eq \f(y,x－1) ＝3，x2－ eq \f(y2,3) ＝1，x≠0，…①
又|PA|＋|PB|＝4，所以点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，所以2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3，
椭圆方程为 eq \f(x2,4) ＋ eq \f(y2,3) ＝1，…②
由①②解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝\f(8,5),y2＝\f(9,5))) ，
则|OP|＝ eq \r(x2＋y2) ＝ eq \r(\f(8,5)＋\f(9,5)) ＝ eq \f(\r(85),5) .
6．已知离散型随机变量ξ1，ξ2的分布列为：
则下列说法一定正确的是( )
A．E(ξ1)＞E(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)
C．D(ξ1)＞D(ξ2) D．D(ξ1)＜D(ξ2)
【解析】选D.由题意可得：a＋b＝ eq \f(1,2) ，a，b∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) .
E(ξ1)＝a＋3× eq \f(1,2) ＋5×b＝2＋4b，E(ξ2)＝b＋2× eq \f(1,4) ＋4× eq \f(1,4) ＋5a＝2＋4a，
由于a与b的大小关系不确定，因此E(ξ1)与E(ξ2)的大小关系不确定．
D(ξ1)＝(1－2－4b)2a＋(3－2－4b)2× eq \f(1,2) ＋(5－2－4b)2×b＝－16b2＋8b＋1，
E(ξ2)＝4－4b，D(ξ2)＝(4－4b－1)2b＋(4－4b－2)2× eq \f(1,4) ＋(4－4b－4)2× eq \f(1,4) ＋(4－4b－5)2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－b)) ＝－16b2＋8b＋ eq \f(3,2) ，
所以D(ξ1)＜D(ξ2).
7．设数列{xn}满足xn＋1＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －2xn，n∈N*，且对于任意x1≠0，都存在正整数n使得xn≥m，则实数m的最大值为( )
A． eq \f(1－\r(5),2) B． eq \f(1＋\r(5),2) C．2 D．3
【解析】选D.因为数列{xn}满足xn＋1＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －2xn，n∈N*，且对于任意x1≠0，都存在正整数n使得xn≥m，
所以①若数列{xn}是递增数列，
则xn＋1＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －2xn＞xn⇒xn＞3或xn＜0，
因为存在正整数n使得xn≥m，故需m≤3，此时m的最大值为3，
②若数列{xn}是递减数列，
则xn＋1＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －2xn＜xn⇒0＜xn＜3，
因为存在正整数n使得xn≥m，
故需m≤0，此时m的最大值为0，
综上可得：m的最大值为3.
8．已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)) 取最小值时，点P的横坐标为( )
A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,2) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6)
【解析】选C.如图所示
若使得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ)) 取值最小值，则曲线y＝－sin x(x∈[0，π])在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，
对函数y＝－sin x求导得y′＝－cs x，
令y′＝ eq \f(1,2) ，可得cs x＝－ eq \f(1,2) ，
因为0≤x≤π，解得x＝ eq \f(2π,3) .
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】选CD.设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) ＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，
因为对称轴为x＝3，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(22－6×2＋a≤0，,12－6×1＋a>0，))
解得5又a∈Z，故a可以为6，7.
10．将函数y＝sin 2x＋ eq \r(3) cs 2x＋1的图象向右平移 eq \f(π,12) 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) ，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则下面对函数g(x)的叙述中正确的是( )
A．函数g(x)的最小正周期为 eq \f(π,2)
B．函数g(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0)) 对称
C．函数g(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) 内单调递增
D．函数g(x)的图象关于直线x＝ eq \f(π,12) 对称
【解析】选AD.由题意可得：函数y＝sin 2x＋ eq \r(3) cs 2x＋1＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) ＋1，将其向右平移 eq \f(π,12) 个单位长度可得y＝2sin (2x－ eq \f(π,6) ＋ eq \f(π,3) )＋1＝2sin (2x＋ eq \f(π,6) )＋1，再将所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) 倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可得g(x)＝2sin (4x＋ eq \f(π,6) )＋1，故可得函数g(x)的周期T＝ eq \f(2π,4) ＝ eq \f(π,2) ，故A正确；
令x＝－ eq \f(π,12) ，可得g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12))) ＝0，故(－ eq \f(π,12) ，0)不是函数g(x)的一个对称中心，故B错误；
当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) 时，可得4x＋ eq \f(π,6) ∈[ eq \f(7π,6) ， eq \f(13π,6) ]，由正弦函数性质，可得函数g(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))) ＋1在x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) 上不单调，故C不正确；
由g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12))) ＝2sin eq \f(π,2) ＋1＝3，可得x＝ eq \f(π,12) 是函数的对称轴，故D正确．
11．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，以下结论正确的是( )
A．四边形BFD1E不一定是平行四边形
B．平面α分正方体所得两部分的体积相等
C．平面α与平面DBB1可以垂直
D．四边形BFD1E面积的最大值为 eq \r(2)
【解析】选BCD.对于选项A，因为平面ABB1A1∥CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面CC1D1D＝D1F，所以BE∥D1F，同理可证D1E∥BF，所以四边形BFD1E是平行四边形，故A错误；
对于选项B，由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故B正确；
对于选项C，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有AC⊥BD，AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D，当E，F分别为棱AA1，CC1的中点时，有AC∥EF，则EF⊥平面BB1D，又因为EF⊂平面BFD1E，所以平面BFD1E⊥平面BB1D，故C正确；
对于选项D，四边形BFD1E在平面ABCD内的投影是正方形ABCD，当E与A重合，F与C1重合时，四边形BFD1E的面积有最大值，此时S＝D1E·BE＝ eq \r(2) ·1＝ eq \r(2) ，故D正确．
12．已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，直线l与圆x2＋y2＝b2相切于点P，与椭圆相交于A，B两点，点A在x轴上方，则( )
A．弦长|AB|的最大值是 eq \f(bc,a)
B．若l方程为y＝bx＋a，则c＝b2
C．若直线l过右焦点F2，且切点P恰为线段AF2的中点，则椭圆的离心率为 eq \f(\r(5),3)
D．若圆x2＋y2＝b2经过椭圆的两个焦点，且|AF1|＋|AF2|＝2 eq \r(2) ，设点P在第一象限，则△ABF2的周长是定值2 eq \r(2)
【解析】选BCD.对于选项A，当直线l与圆相切于点(b，0)时，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝b,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1)) 得y＝± eq \f(bc,a) ，此时|AB|＝ eq \f(2bc,a) ＞ eq \f(bc,a) ，故选项A错误；对于选项B，圆心(0，0)到直线l的距离为d＝ eq \f(a,\r(1＋b2)) ＝b，得a2－b2＝b4，所以c＝b2，故选项B正确；对于选项C，因为P为AF2的中点，O为F1F2的中点，直线l与圆x2＋y2＝b2相切于点P，所以|OP|＝ eq \f(1,2) |AF1|＝b，且OP⊥AF2，所以|AF1|＝2b，|AF2|＝2|PF2|＝2 eq \r(c2－b2) ，由椭圆的定义知2b＋2 eq \r(c2－b2) ＝2a，化简得 eq \f(b,a) ＝ eq \f(2,3) ，所以e＝ eq \f(\r(5),3) ，故选项C正确；对于选项D，因为|AF1|＋|AF2|＝2 eq \r(2) ，所以a＝ eq \r(2) ，因为圆x2＋y2＝b2过椭圆的两个焦点，所以b＝c＝1，故椭圆的方程为 eq \f(x2,2) ＋y2＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝|AP|＋|BP|＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －1) ＋ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －1) ＝ eq \f(|x1|＋|x2|,\r(2)) ，因为P在第一象限，所以|AB|＝ eq \f(x1＋x2,\r(2)) ，|AF2|＝ eq \r(（x1－1）2＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝
eq \r(（x1－1）2＋1－\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2)) ＝ eq \f(\r(2),2) |x1－2|＝ eq \f(\r(2),2) (2－x1)，同理|BF2|＝ eq \f(\r(2),2) (2－x2)，所以△ABF2的周长l＝ eq \f(x1＋x2,\r(2)) ＋ eq \f(2－x1＋2－x2,\r(2)) ＝2 eq \r(2) ，故选项D正确．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为________.
【解析】圆锥的侧面展开图恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为4π，底面半径为2，圆锥的高为2 eq \r(3) ，所以圆锥的体积为 eq \f(1,3) π×22×2 eq \r(3) ＝ eq \f(8\r(3),3) π.
答案： eq \f(8\r(3),3) π
14．已知圆内接四边形ABCD的边长BC＝2AB＝2，CD＝DA＝ eq \r(7) ，则AC＝________，四边形ABCD的面积为________．
【解析】如图可知，∠ABC＋∠ADC＝180°，则cs ∠ABC＝－cs ∠ADC，
由题意及余弦定理得，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs ∠ABC＝5－4cs ∠ABC，…①
在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cs ∠ADC＝14＋14cs ∠ABC，…②
由①②得cs ∠ABC＝－ eq \f(1,2) ，
由于∠ABC＋∠ADC＝180°，
故∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，则AC＝ eq \r(7) .
所以sin ∠ABC＝sin ∠ADC＝ eq \f(\r(3),2) ，
由以上的结果及题意，可知四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝ eq \f(1,2) AB·BC·sin ∠ABC＋ eq \f(1,2) AD·CD·sin ∠ADC＝ eq \f(1,2) (1×2＋ eq \r(7) × eq \r(7) )× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(9\r(3),4) .
答案： eq \r(7) eq \f(9\r(3),4)
15．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有________种不同的答题顺序．
【解析】由题意可知，只需要同一列顺序为从下到上即可，一共6只灯笼，
第一步，从6个选3个，第二步，从3个选2个，最后回答剩下的哪一个，故有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(1)) ＝60种．
答案：60
16．已知非零向量a，b的夹角为 eq \f(π,6) ，若存在两不相等的正实数λ1，λ2，使得(a－λ1b)·(λ2a－b)＝0，则λ1·λ2的取值范围为________．
【解析】由(a－λ1b)·(λ2a－b)＝0，可得λ2a2－(1＋λ1λ2)a·b＋λ1b2＝0，
即λ2a2＋λ1b2＝(1＋λ1λ2)a·b，
因为λ2a2＋λ1b2≥2 eq \r(λ1λ2) |a|·|b|，
所以(1＋λ1λ2)|a|·|b|·cs eq \f(π,6) ≥
2 eq \r(λ1λ2) |a|·|b|，
即 eq \r(3) (1＋λ1λ2)≥4 eq \r(λ1λ2) ，
设 eq \r(λ1λ2) ＝t，t>0，可得 eq \r(3) t2－4t＋ eq \r(3) ≥0，解得0答案： eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) ∪[3，＋∞)
ξ1
1
3
5
P
a
eq \f(1,2)
b
ξ2
1
2
4
5
P
b
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
a