2022版高考数学小题标准练（七）

这是一份2022版高考数学小题标准练（七），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(七)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知全集U＝R，集合M＝{x||x－2|≤1}，则UM＝( )
A．(1，3)
B．[1，3]
C．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，1]∪[3，＋∞)
【解析】选C.由|x－2|≤1知，－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，则UM＝(－∞，1)∪(3，＋∞).
2．函数f(x)＝x－lg eq \f(1,x) －2的零点所在区间为( )
A．(0，1) B．(3，＋∞)
C．(2，3) D．(1，2)
【解析】选D.由解析式知：函数定义域为x>0，且f(x)在定义域内连续，而f(1)＝1－lg 1－2＝－1<0，f(2)＝2－lg eq \f(1,2) －2＝lg 2>0，所以f(x)零点所在区间为(1，2).
3．设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝( )
A．18 B．20 C．22 D．24
【解析】选B.由S10＝S11，得到a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a2＋…＋a10＋a11，即a11＝0，所以a1－2(11－1)＝0，解得a1＝20.
4．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) ，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2))) ，则下列关系正确的是( )
A．(a＋b)⊥b B．(a＋b)⊥a
C．(a＋b)⊥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b)) D．(a＋b)∥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))
【解析】选C.a＋b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，\f(\r(3)－1,2))) ，
所以(a＋b)·b＝ eq \f(3－\r(3),4) － eq \f(\r(3)－1,4) ＝ eq \f(2－\r(3),2) ≠0；
所以 a＋b不与b垂直，故A错误；(a＋b)·a＝ eq \f(1－\r(3),4) ＋ eq \f(3－\r(3),4) ＝ eq \f(2－\r(3),2) ≠0，所以 a＋b不与a垂直，故B错误；又(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝1－1＝0，(a＋b)⊥(a－b)，所以 C正确，D错．
5．若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )
A．若m∥α，n⊂α，则m∥n
B．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n
【解析】选D.由题意得，A中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，所以不正确；B中，若α∩β＝m，m⊥n，则n与α也可能是平行的，所以不正确；C中，若m∥α，n∥α，则m与n平行或异面、相交，所以不正确；根据直线与平面平行的性质定理可知，D是正确．
6．设椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0)) 的左、右焦点分别为F1，F2，若直线y＝ eq \r(3) x与椭圆C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2是矩形，则C的离心率为( )
A． eq \f(\r(3),3) B． eq \f(\r(3),6)
C． eq \f(1,3) D． eq \r(3) －1
【解析】选D.由题意，矩形的对角线长相等，y＝ eq \r(3) x代入 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)，
可得x＝± eq \r(\f(a2b2,b2＋3a2)) ，y＝± eq \r(3) · eq \r(\f(a2b2,b2＋3a2)) ，
所以 eq \f(4a2b2,b2＋3a2) ＝c2所以4a2b2＝(b2＋3a2)c2，
所以4a2(a2－c2)＝(4a2－c2)c2，所以e4－8e2＋4＝0，
因为e<1，所以e2＝4－2 eq \r(3) ，所以e＝ eq \r(3) －1.
7．设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai的顺序数(i＝1，2，…，n).如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0.则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列种数为( )
A．48 B．96 C．144 D．192
【解析】选C.由于8是最大的数，8的顺序数为2，说明8排在第3位，如下所示：
()，()，8，()，()，()，()，()
7仅次于8，且7的顺序数为3，所以7只能排在第5位，如下所示：
()，()，8，()，7，()，()，()
5的顺序数为3，但是还有一个比5大的6的位置没有确定，
假如6排在5的右边，那么排在第一，二，四位的3个数肯定比5小，所以5排在第6位：
()，()，8，()，7，5，()，()
在这种情况下6可以排在第七或第八的位置，剩下的数可以全排列插入剩下的空中，
所以种数为 2×4！＝48，
假如6排在5的左边，那么5排在第七位：
()，()，8，()，7，()，5，()
在这种情况下6可以排在第一，二，四，六的位置，剩下的数可以全排列插入剩下的空中，所以种数为4×4！＝96，
所以总数为48＋96＝144.
8．如图，已知双曲线 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是( )
A.2 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D．3
【解析】选A.由题意，因为|PQ|＝1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，
所以根据切线长定理，可得AM＝AN，F1M＝F1Q，PN＝PQ，
因为|AF1|＝|AF2|，
所以AM＋F1M＝AN＋PN＋PF2，
所以F1M＝PN＋PF2＝PQ＋PF2，
所以|PF1|－|PF2|＝F1Q＋PQ－PF2＝F1M＋PQ－PF2＝PQ＋PF2＋PQ－PF2＝2PQ＝2，
因为|F1F2|＝4，所以双曲线的离心率是e＝ eq \f(c,a) ＝2.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．某鱼业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如表：
已知在按以上6个分组作出的频率分布直方图中，[95，100)分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是( )
A．m＝250
B．鱼苗体长在[90，100)上的频率为0.16
C．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90)内
D．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80，90)上的次数的期望为30
【解析】选ACD.因为[95，100)分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，
所以[95，100)分组对应的频率为0.01×5＝0.05，n＝1 000×0.05＝50，
则m＝1 000－100－100－350－150－50＝250，A正确；
鱼苗体长在[90，100)上的频率为 eq \f(150＋50,1 000) ＝0.2，B错误；
因为鱼的总数为1 000，100＋100＋250＝450，100＋100＋250＋350＝800，
所以鱼苗体长的中位数一定落在区间[85，90)内，C正确，
由表中数据易知，鱼苗体长落在区间[80，90)上的概率P＝ eq \f(250＋350,1 000) ＝0.6，
设所抽取鱼苗体长落在区间[80，90)上的次数为X，
则X服从二项分布，即X～B(50，0.6)，
则E(X)＝50×0.6＝30，D正确．
10．设函数f(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(4π,3))) ＋sin (2x＋ eq \f(π,2) )，则下列结论正确的有( )
A．函数f(x)的对称轴方程为x＝ eq \f(π,6) ＋ eq \f(kπ,2) (k∈Z)
B．函数f(x)的图象关于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，0)) 对称
C．函数f(x)的单调递减区间为[ eq \f(π,6) ＋kπ， eq \f(2π,3) ＋kπ](k∈Z)
D．将函数f(x)的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的最小值是 eq \f(π,6)
【解析】选ACD.可知f(x)＝cs 2x－cs (2x＋ eq \f(π,3) )＝ eq \f(1,2) cs 2x＋ eq \f(\r(3),2) sin 2x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) ，令2x＋ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,2) ＋kπ得其对称轴方程为x＝ eq \f(π,6) ＋ eq \f(kπ,2) (k∈Z)，故A正确；
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3))) ＝ eq \f(1,2) ≠0，故B错误；
令 eq \f(π,2) ＋2kπ≤2x＋ eq \f(π,6) ≤ eq \f(3π,2) ＋2kπ，得 eq \f(π,6) ＋kπ≤x≤ eq \f(2π,3) ＋kπ(k∈Z)，
则函数f(x)的单调递减区间为[ eq \f(π,6) ＋kπ， eq \f(2π,3) ＋kπ](k∈Z)，故C正确；
函数f(x)向左平移φ个单位得到g(x)＝sin (2x＋2φ＋ eq \f(π,6) )，g(x)为偶函数，则2φ＋ eq \f(π,6) ＝kπ＋ eq \f(π,2) ，所以φ＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z，
又φ＞0，所以φ的最小值是 eq \f(π,6) ，故D正确．
11．a，b为实数且a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A． eq \f(1,a) ＞ eq \f(1,b)
B．2 021a－1＞2 021b－1
C．a＋b＋2＞2 eq \r(a) ＋2 eq \r(b)
D． eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＞ eq \f(4,a＋b)
【解析】选BCD.因为a，b为实数且a＞b＞0.
对于A选项， eq \f(a,ab) ＞ eq \f(b,ab) ，即 eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) ，A选项错误；
对于B选项，由已知可得a－1＞b－1，所以，2 021a－1＞2 021b－1，B选项正确；
对于C选项，因为a＋b＋2－2 eq \r(a) －2 eq \r(b) ＝( eq \r(a) －1)2＋( eq \r(b) －1)2≥0，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，但a＞b＞0，所以，a＋b＋2－2 eq \r(a) －2 eq \r(b) ＞0，C选项正确；
对于D选项，因为(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b))) ＝2＋ eq \f(a,b) ＋ eq \f(b,a) ≥2＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a)) ＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，但a＞b＞0，所以，(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b))) ＞4，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＞ eq \f(4,a＋b) ，D选项正确．
12．已知函数f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ，则下列说法正确的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为减函数
C．f(x)有且只有一个零点
D．f(x)的值域为[－1，1)
【解析】选AC.因为f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ＝1－ eq \f(2,2x＋1) ，
所以f(－x)＝ eq \f(2－x－1,2－x＋1) ＝ eq \f(1－2x,1＋2x) ＝－f(x)，
故f(x)为奇函数，又因为f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ＝1－ eq \f(2,2x＋1) ，所以f(x)在R上单调递增，
因为2x＞0，所以2x＋1＞1，所以0＜ eq \f(2,2x＋1) ＜2，所以－2＜－ eq \f(2,2x＋1) ＜0，所以－1＜f(x)＜1，即函数值域为(－1，1).令f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ＝0，即2x＝1，解得x＝0，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC正确，BD错误．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.
【解析】根据题意，由于(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，所以1＋3i＝a＋bi，所以a＝1，b＝3，因此可知a＋b＝4.
答案：4
14．在(1＋2x－x2)4展开式中，x7的系数是________.
【解析】因为(1＋2x－x2)4＝(1＋2x－x2)(1＋2x－x2)(1＋2x－x2)(1＋2x－x2)，
因此x7只可由x2x2x2x得到，从而x7项系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) 21(－1)3＝－8.
答案：－8
15．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为________.
【解析】设建筑物的高PO＝h，在Rt△PAO中，tan 30°＝ eq \f(PO,OA) ⇒OA＝ eq \f(PO,tan 30°) ＝ eq \r(3) h，在Rt△PBO中，tan 45°＝ eq \f(PO,OB) ⇒OB＝ eq \f(PO,tan 45°) ＝h，
在Rt△PCO中，tan 60°＝ eq \f(PO,OC) ⇒OC＝ eq \f(PO,tan 60°) ＝ eq \f(\r(3),3) h，在△OAC中，cs ∠OBC＋cs ∠OBA＝0，即 eq \f(OB2＋BC2－OC2,2OB·BC) ＋ eq \f(OB2＋BA2－OA2,2OB·BA) ＝0，
所以有 eq \f(h2＋3600－\f(1,3)h2,2×60·h) ＋ eq \f(h2＋3 600－3h2,2×60·h) ＝0，解得h＝30 eq \r(6) .
答案：30 eq \r(6)
16．“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体(如图).如图所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中APC与BPD为相互垂直且全等的半圆面，它们的圆心为O，半径为1.用平行于底面ABCD的平面α去截“四脚帐篷”所得的截面图形为________；当平面α经过OP的中点时，截面图形的面积为________．
【解析】由题意，底面ABCD是边长为 eq \r(2) 的正方形，
因为APC与BPD为相互垂直且全等的半圆面，它们的圆心为O，
所以平面α与各半圆的相交线段相等且垂直，故其截面为正方形．
当平面α经过OP的中点时，则平面α与各半圆的相交线段的长度为2 eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)) ＝ eq \r(3) ，
所以截面图形的面积为 eq \f(1,2) × eq \r(3) × eq \r(3) ＝ eq \f(3,2) .
答案：正方形 eq \f(3,2)
分组(单
位：毫米)
[70，
75)
[75，
80)
[80，
85)
[85，
90)
[90，
95)
[95，
100)
频数
100
100
m
350
150
n