2022版高考数学小题标准练（一）

这是一份2022版高考数学小题标准练（一），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

高考小题标准练(一)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知集合A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x>－1}，则A∩B＝( )
A．{－2，－1} B．{0，1}
C．{－1，0，1} D．{－2，－1，0，1}
【解析】选B.因为集合A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x>－1}，所以A∩B＝{0，1}．
2．已知a，b，c∈R，则“a>b”的一个充分而不必要条件是( )
A．a2>b2 B．a3>b3
C．2a>2b D．ac2>bc2
【解析】选D.因为由a>b推不出a2>b2，由a2>b2也推不出a>b，故A不满足题意；
因为a3>b3⇔a>b，2a>2b⇔a>b，所以B，C不满足题意；
因为由ac2>bc2可以推出a>b，由a>b推不出ac2>bc2，所以ac2>bc2是a>b的充分不必要条件．
3．已知复数z＝ eq \f(8＋ai,1－2i) 为纯虚数，则a＝( )
A．2 B．4 C．－16 D．－4
【解析】选B.因为z＝ eq \f(8＋ai,1－2i) ＝ eq \f(（8＋ai）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）) ＝ eq \f(8－2a＋（16＋a）i,5) 为纯虚数，
所以 eq \f(8－2a,5) ＝0， eq \f(16＋a,5) ≠0，解得a＝4.
4．下列函数中，是偶函数且值域为[0，＋∞)的是( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2))
C．f(x)＝lg2x D．f(x)＝|x|
【解析】选D.对于A：f(x)＝x2－1，为偶函数，但值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，＋∞)) ，故A不正确；
对于B：f(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2)) 定义域不对称，为非奇非偶函数，故B不正确；
对于C：f(x)＝lg2x定义域不对称，为非奇非偶函数，故C不正确；
对于D：f(x)＝|x|为偶函数，且值域为[0，＋∞)，故D正确．
5．数列{an}是各项均为正数的等比数列，3a2是a3与a4的等差中项，则{an}的公比等于( )
A．2 B． eq \f(3,2) C．3 D． eq \r(2)
【解析】选A.因为3a2是a3与a4的等差中项，所以a3＋a4＝6a2，
所以a1q2＋a1q3＝6a1q，
又因为a1>0，q≠0，所以q2＋q－6＝0，
所以q＝2或q＝－3，
又因为an>0，所以q>0，所以q＝2.
6．下列结论正确的是( )
A．若a>b>0，则ac>bc
B．若a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b))) 3
C．若a>b>0，c>0，则 eq \f(a＋c,b＋c) > eq \f(a,b)
D．若a>0，b>0，a＋b＝1，则lg2(ab)>－2
【解析】选B.方法一：对A，当c≤0时，ac≤bc，A错误；
对B，由a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b))) 3，B正确；
对C，因为ab＋bc－(ab＋ac)＝bc－ac＝c(b－a)<0，所以b(a＋c)又b(b＋c)>0，两边同除以b(b＋c)得， eq \f(a＋c,b＋c) < eq \f(a,b) ，C错误；
对D，由a>0，b>0，a＋b＝1，得ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) 2＝ eq \f(1,4) ，所以lg2(ab)≤－2，D错误．
方法二：特殊值排除法，若取c＝0，则ac＝bc＝0，A错误；
若取a＝3，b＝2，c＝1，则 eq \f(4,3) < eq \f(3,2) ，C错误；若取a＝b＝ eq \f(1,2) ，则lg2(ab)＝－2，D错误．
7．已知向量a，b满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＝3，a·b＝0，若c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，且c·a＝c·b，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c)) 的最大值为( )
A．3 B．2 C． eq \f(1,2) D． eq \f(3,2)
【解析】选D.如图，令a＝ eq \(AM,\s\up6(→)) ，b＝ eq \(MB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AN,\s\up6(→)) ，则a＋b＝ eq \(AM,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ，故 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))) ＝3.
因为a·b＝0，所以 eq \(AM,\s\up6(→)) ⊥ eq \(MB,\s\up6(→)) ，记AB的中点为O，所以点M在以AB为直径的圆O上．
设c＝ eq \(AC,\s\up6(→)) ，连接MN，因为c＝λa＋(1－λ)b，所以点C在直线MN上．
因为c·a＝c·b，所以c·(a－b)＝0，
即 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(NM,\s\up6(→)) ＝0，所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ⊥ eq \(MN,\s\up6(→)) .
结合图形可知，当 eq \(NM,\s\up6(→)) ⊥ eq \(AB,\s\up6(→)) 时， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))) 即 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c)) 取得最大值，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c)) max＝| eq \(AO,\s\up6(→)) |＝ eq \f(3,2) .
8．已知函数f(x)＝ eq \f(ln x＋1－mx2,x) 有两个零点a，b，且存在唯一的整数x0∈(a，b)，则实数m的取值范围是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(e,2))) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln 2e,4)，1))
C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln 3e,9)，\f(e,2))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(ln 2e,4)))
【解析】选B.令f(x)＝ eq \f(ln x＋1－mx2,x) ＝0，得m＝ eq \f(ln x＋1,x2) ，
设h(x)＝ eq \f(ln x＋1,x2) (x>0)，
则h′(x)＝ eq \f(x－2x（ln x＋1）,x4) ＝ eq \f(1－2（ln x＋1）,x3) ＝ eq \f(－（2ln x＋1）,x3) ，
令h′(x)＝0，解得x＝e－ eq \f(1,2) ，当0h′(x)>0，h(x)单调递增；当x>e－ eq \f(1,2) 时，h′(x)<0，h(x)单调递减；故当x＝e－ eq \f(1,2) 时，函数h(x)取得极大值，且h(e－ eq \f(1,2) )＝ eq \f(e,2) .
又x＝ eq \f(1,e) 时，h(x)＝0；当x→＋∞时，ln x＋1>0，x2>0，故h(x)→0；
作出函数大致图象，如图所示，
又h(1)＝1，h(2)＝ eq \f(ln 2＋1,4) ＝ eq \f(ln 2e,4) .
存在唯一的整数x0∈(a，b)，使得y＝m与h(x)＝ eq \f(ln x＋1,x2) 的图象有两个交点，
由图可知：h(2)≤m二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知函数f(x)＝sin x(sin x－cs x)，下列叙述不正确的是( )
A．f(x)的最小正周期是2π
B．f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)，\f(π,8))) 上单调递增
C．f(x)图象关于直线x＝ eq \f(π,4) 对称
D．f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(1,2))) 对称
【解析】选ABC.f(x)＝sin x(sin x－cs x)＝sin2x－sinx cs x＝ eq \f(1－cs 2x,2) － eq \f(sin 2x,2) ＝ eq \f(1,2) － eq \f(\r(2),2) sin (2x＋ eq \f(π,4) )，T＝ eq \f(2π,2) ＝π，所以A不对；令t＝2x＋ eq \f(π,4) ，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)，\f(π,8))) ，t∈[－ eq \f(π,2) ， eq \f(π,2) ]，sin t单调递增，f(x)单调递减，所以B不对；x＝ eq \f(π,4) 时，f(x)不取最大值或最小值，所以C不对；因为函数y＝－ eq \f(\r(2),2) sin (2x＋ eq \f(π,4) )关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0)) 对称，所以f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(1,2))) 对称，所以D正确．
10．将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是( )
A．4位女同学分到同一组的概率为 eq \f(1,35)
B．男生甲和女生乙分到甲组的概率为 eq \f(3,14)
C．有且只有3位女同学分到同一组的概率为 eq \f(32,35)
D．4位男同学不同时分到甲组的概率为 eq \f(34,35)
【解析】选AB.8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ·C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝70，
A选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为 eq \f(2,70) ＝ eq \f(1,35) ，所以A对；
B选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ·C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝15，其概率为 eq \f(15,70) ＝ eq \f(3,14) ，所以B对；
C选项，有且只有3位女同学分到同一组C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ·2＝32种，则有且只有3位女同学分到同一组的概率为 eq \f(32,70) ＝ eq \f(16,35) ，所以C错；
D选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为 eq \f(1,70) ，则4位男同学不同时分到甲组的概率为1－ eq \f(1,70) ＝ eq \f(69,70) ，所以D错．
11．已知函数f(x)＝x3－ax＋1的图象在x＝2处切线的斜率为9，则下列说法正确的是( )
A．a＝3
B．f(x)在x＝－1处取得极大值
C．当x∈(－2，1]时，f(x)∈(－1，3]
D．f(x)的图象关于点(0，1)中心对称
【解析】选ABD.对于A：f′(x)＝3x2－a，由题意f′(2)＝12－a＝9，得a＝3，正确；
B：f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，由f′(x)＝0得：x＝－1或1，易知在(－∞，－1)，(1，＋∞)上f′(x)＞0，f(x)为增函数，在(－1，1)上f′(x)＜0，f(x)为减函数，所以f(x)在x＝－1处取得极大值，正确；
C：由B知：f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，故在(－2，1]上的值域为[－1，3]，错误；
D：令g(x)＝x3－3x且为奇函数，则f(x)＝g(x)＋1，而g(x)的图象关于(0，0)中心对称，所以f(x)关于(0，1)中心对称，正确．
12．过抛物线C：x2＝4y焦点F的直线l交C于P，Q两点，O为坐标原点，则( )
A．不存在直线l，使得OP⊥OQ
B．若 eq \(FP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(QF,\s\up6(→)) ，则直线l的斜率为 eq \f(\r(2),4)
C．过P作C准线的垂线，垂足为M，若|PF|＝3，则cs ∠FPM＝ eq \f(1,3)
D．过P，Q两点分别作抛物线C的切线，则两切线交点的纵坐标为定值
【解析】选ACD.由题设，设l：y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立抛物线方程整理可得：x2－4kx－4＝0，且Δ＝16(k2＋1)＞0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
由上知： eq \(OP,\s\up6(→)) ＝(x1，y1)， eq \(OQ,\s\up6(→)) ＝(x2，y2)，则 eq \(OP,\s\up6(→)) · eq \(OQ,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝－3，故不存在直线l，使得OP⊥OQ，A正确；若 eq \(FP,\s\up6(→)) ＝2 eq \(QF,\s\up6(→)) ，则|x1|＝2|x2|(x1＜0＜x2)，结合x1x2＝－4可得x1＝－2 eq \r(2) ，x2＝ eq \r(2) ，所以y1＝2，y2＝ eq \f(1,2) ，故k1＝ eq \f(y1－y2,x1－x2) ＝－ eq \f(\r(2),4) ，B错误；
如图2示，若|PF|＝3，由抛物线定义知：|PF|＝|PM|＝3，
所以P(－2 eq \r(2) ，2)，即M(－2 eq \r(2) ，－1)，可得|MF|＝2 eq \r(3) ，在△PFM中，cs ∠FPM＝ eq \f(|PF|2＋|PM|2－|MF|2,2|PF||PM|) ＝ eq \f(18－12,2×3×3) ＝ eq \f(1,3) ，C正确；
由抛物线方程得y′＝ eq \f(x,2) ，故过P的切线为y＝ eq \f(x1,2) (x－x1)＋y1，过Q的切线为y＝ eq \f(x2,2) (x－x2)＋y2，令 eq \f(2（y－y1）＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,x1) ＝ eq \f(2（y－y2）＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,x2) ，整理得 eq \f(y＋y1,x1) ＝ eq \f(y＋y2,x2) ，
所以y＝ eq \f(x2y1－x1y2,x1－x2) ＝－1，两切线交点的纵坐标为定值，D正确．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S6＝51，a8＝22，则a3＝________.
【解析】设等差数列的公差为d，因为S6＝51，a8＝22，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6a1＋15d＝51,a1＋7d＝22)) ，
解得a1＝1，d＝3，
所以a3＝a1＋2d＝7.
答案：7
14．在△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝3，D是BC上的点，AD平分∠BAC，若AD＝2，则△ABC的面积为________.
【解析】由正弦定理得， eq \f(BD,sin \f(π,6)) ＝ eq \f(AD,sin B) ， eq \f(DC,sin \f(π,6)) ＝ eq \f(AD,sin C) ，即BD＝ eq \f(AD,sin B) ·sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,sin B) ，DC＝ eq \f(AD,sin C) ·sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,sin C) ，而BC＝3，
所以 eq \f(1,sin B) ＋ eq \f(1,sin C) ＝3，
因为 eq \f(AB,sin C) ＝ eq \f(AC,sin B) ＝ eq \f(BC,sin ∠BAC) ＝2 eq \r(3) ，
即 eq \f(1,sin C) ＝ eq \f(2\r(3),AB) ， eq \f(1,sin B) ＝ eq \f(2\r(3),AC) ，
所以 eq \f(1,AC) ＋ eq \f(1,AB) ＝ eq \f(\r(3),2) ，即AB＋AC＝ eq \f(\r(3),2) AC·AB，又由余弦定理知AC2＋AB2－2AC·AB·cs ∠BAC＝BC2，所以AC2＋AB2－AC·AB＝9，即(AC＋AB)2－3AC·AB＝9，令x＝AC·AB，
所以x2－4x－12＝0，即x＝6(x＝－2舍去)，所以S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·AB·sin ∠BAC＝ eq \f(3\r(3),2) .
答案： eq \f(3\r(3),2)
15．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则圆C的标准方程为________.
【解析】因为圆心坐标为(0，m)，直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，
根据圆心和切点的连线与直线2x－y＋3＝0垂直，所以 eq \f(m－（－1）,0－（－2）) ＝－ eq \f(1,2) ，
解得m＝－2，
根据两点间的距离公式，可得圆C的半径r＝ eq \r(（0＋2）2＋（－2＋1）2) ＝ eq \r(5) ，
故圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5.
答案：x2＋(y＋2)2＝5
16．如图，在四棱锥P­ABCD的展开图中，四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，AD⊥AH，AD＝1，GD＝GC.若四棱锥P­ABCD的外接球表面积为 eq \f(19π,3) ，则四棱锥P­ABCD的外接球半径为____________，sin ∠GCF＝__________．
【解析】如图，连接AC，BD交于点M，设AB＝a，四棱锥P­ABCD的外接球球心为O，
在四棱锥P­ABCD中，AD⊥AP，AD⊥AB，则AD⊥平面ABP，
又AD⊂平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面ABP.
取AB的中点为E，连接PE，则PE⊥平面ABCD.
设△ABP的外接圆圆心为N，连接OM，ON，则OM⊥平面ABCD，ON⊥平面ABP，
则OM∥PE，可证ON∥ME，
所以四边形OMEN是矩形．
连接OD，由于△ABP是等边三角形，故NE＝ eq \f(1,3) PE＝ eq \f(\r(3),6) a.
设四棱锥P­ABCD外接球的半径为R，则4πR2＝ eq \f(19π,3) ，
解得R＝ eq \f(\r(57),6) ，
DM2＋OM2＝ eq \f(1,4) (1＋a2)＋ eq \f(1,12) a2＝R2，解得a＝2，
故sin ∠BCF＝sin ∠DCG＝ eq \f(2,\r(5)) ，
故sin ∠GCF＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,2)－2∠DCG))
＝－cs 2∠DCG＝2sin2∠DCG－1＝ eq \f(3,5) .
答案： eq \f(\r(57),6) eq \f(3,5)