初中数学北师大版七年级下册第五章 生活中的轴对称3 简单的轴对称图形课时训练

学霸夯基——北师大版七年级下册

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一、单选题

1．如图，在△ABC中，∠A=90°，BE平分∠ABC， DE⊥BC，   垂足为D，若DE=3cm，则AE=（　　）cm。

A．3 B．3.5 C．4 D．6

【答案】A

【解析】从已知条件进行思考，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE=3cm．
2．在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点E为AB边的中点，DE是线段AP的垂直平分线，连接DP、BP、CP，下列结论：①DP=CD；②AP2+BP2=CD2；③∠DCP=75°；④∠CPA=150°，其中正确的是(　　)

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

【答案】C

【解析】解：∵DE为线段AP的垂直平分线
∴DA=DP
∵四边形ABCD为菱形
∴DA=CD
∴DP=CD，即①正确；
∵AE=EB，AO=OP
∴OE∥PB，
∴∠APB=90°，即AP2+BP2=AB2，②正确；
若∠DCP=75°，则∠CDP=30°
∵∠ADC=60°
∴DP平分∠ADC，③错误；
∵∠ADC=60°，DA=DP=DC
∴∠DAP=∠DPA，∠DCP=∠DPC
∴∠CPA=（360°-60°）=150°，即④正确

3．如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（　　） 

A．20° B．40° C．60° D．80°

【答案】B

【解析】解：∵点O是AB的中点，

∴OA＝OB＝OB′，

∵∠OAC＝20°，

∴∠OB′A＝20°，

∴∠A′OA＝20°×2＝40°．

4．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为5cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）cm  

A．5 B．6.5 C．5或6.5 D．6.5或8

【答案】C

【解析】解：当5cm是腰长时，底边为18-5×2=8，由5+5＞8，可以组成三角形，即腰长为5；

当5cm是底边时，腰长为（18-5）÷22=6.5，由6.5+6.5＞5，可以组成三角形，即腰长为6.5；

综上所述，它的腰长为5cm或6.5cm，故答案为：C.

5．如图，在四边形 中， ， ，点P是 边上的一动点，连接 ，若 ，则DP的长不可能是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解析】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：

∵∠A=∠BDC=90° ，

又∵∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝180°，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴BD是∠ABC的角平分线，

又∵AD⊥AB，DH⊥BC，

∴AD＝DH，

又∵AD＝3，

∴DH＝3，

∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3，故DP的长不可能是2，

6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(　　)  

A．1∶1∶1 B．2∶3∶4 C．2∶1∶3 D．3∶4∶5

【答案】B

【解析】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵点O是内心，

∴OE=OF=OD，

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=( AB•OE)：( BC•OF)：( AC•OD)

=AB：BC：AC

=2：3：4，

二、填空题

7．如图，∠A=2∠C，BD平分∠ABC，BC=8，AB=5，则AD=　     　

【答案】3

【解析】（1）在BC上截取BE=BA，如图，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠EBD，

在△ABD和△BED中，

，

∴△ABD≌△BED，

∴DE=AD，∠BED=∠A，

又∵∠A=2∠C，

∴∠BED=∠C+∠EDC=2∠C，

∴∠EDC=∠C，

∴ED=EC，

∴EC=AD

∴BC=BE+EC=AB+AD，

∵BC=8，AB=5，

∴AD=BC-AB=8-5=3.

8．若等腰三角形的一个外角为50°，则它的底角为　     　度．  

【答案】25

【解析】解：∵等腰三角形的一个外角等于50°，

∴等腰三角形的一个内角为130°，

①当130°为顶角时，其他两角都为25°、25°，

②当130°为底角时，不符合三角形内角和定理，所以此情况不存在，

所以等腰三角形的底角是25°

9．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”，图①是由边长 的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为　     　 （结果保留根号）. 

【答案】

【解析】设小正方形边长为a，由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等，与平行四边形的短边相等， 所以大正方形对角线长4a，S大正方形= =10×10，解得 ，舍去负值，得到 ，故填

三、解答题

10．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，求AC． 

【答案】解：∵DE垂直且平分AC， 

∴AD=CD，

△BDC的周长=BC+BD+CD=15，

又∵BC=6，

∴AC=9

【解析】由已知条件，运用线段垂直平分线定理得到AD=CD，结合BC=6，△CDB的周长为15，求AB即可． 

11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，点E是AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．

​

【答案】解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠B=50°，

∴∠C=50°，

∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，

∵∠BAD=55°，

∴∠DAE=25°，

∵DE⊥AD，

∴∠ADE=90°，

∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．

【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，进而求出结论．

12．如图，已知△ABC中，∠C=90°．在BC上求作点D，使AD=BD．当AC=4，CD=3时，求AB的长，（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）

【答案】解：①如下图，点D为所求 ：

②∵在Rt△ACD中，AC=4，CD=3，∠C=90°，

∴AD= =5，

∵点D是AB的垂直平分线上的点，

∴AD=BD=5，

∴BC=3+5=8，

∴在Rt△ACB中，AB= ．

【解析】由线段AB的垂直平分线的性质可知，只需作出线段AB的垂直平分线，与BC的交点即为所求作的点D。用勾股定理可求得AD的长，则BD=AD，所以BC=BD+CD，在直角三角形ABC中，用勾股定理即可求得AB的长。

13．用一条长为 的铁丝能围成有一边是 的等腰三角形吗？如果能，求出等腰三角形其他两边的长，如果不能，说明理由． 

【答案】解：①当 的边为腰时，另外一条腰也为 ，底边为 ，但 不能构成三角形； 

②当 的边为底边时，腰长为： ，能构成三角形

当由一边是 时，另外两条边的长为：

【解析】分两种情况，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系求解即可。

14．已知：如图，直线y=-x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P(2，2)．

(1)请判断的形状并说明理由．
(2)动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动(E不与点O、A重合)，过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．
求：① S与t之间的函数关系式．
② 当t为何值时，S最大，并求S的最大值

【答案】解：△POA是等边三角形．理由：
将y=0代入y=-x+4
-x+4=0，
∴x=4，即：OA=4
作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2，
∵ tan∠POA==，
∴∠POA=60°，
∵ OP= =4
∴△POA是等边三角形 ；
(2)① 当0<t≤4时，如图1

在Rt△EOF中，
∵∠EOF=60°，OE=t
∴EF=t，OF=t
∴S=·OF·EF=
当4<t<8时，如图2

设EB与OP相交于点C，
易知：CE=PE=t－4，AE=8－t，
∴AF=4－t，EF=(8－t)，
∴OF=OA－AF=4－(4－t)=t，
∴S=(CE+OF)·EF，
=(t－4+t)×(8－t)，
=－+4t－8；
② 当0<t≤4时，S=， t=4时，S最大=2
当4<t<8时，S=－+4t－8=－+
t=时，S最大=
∵>2，
∴当t=时，S最大=．

【解析】（1）由两直线相交可列出方程组，求出P点坐标；
（2）将y=0代入y=﹣x+4，可求出OA=4，作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2，利用tan∠POA=，可知∠POA=60°，由OP=4．可知△POA是等边三角形；
（3）①当0＜t≤4时，在Rt△EOF中，∠EOF=60°，OE=t，可以求出EF，OF，从而得到S；
②分情况讨论当0<t≤4时，t=4时，当4<t<8时，S的值，最终求出最大值．