高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第2课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第2课时练习

8.6.2　直线与平面垂直第2课时　直线与平面垂直的性质定理课后·训练提升1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若直线l（与直线BB1不重合）⊥平面A1B1C1D1，则（　　）A.B1B⊥lB.B1B∥lC.B1B与l异面但不垂直D.B1B与l相交但不垂直【答案】B2.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】若α∥β，则由m⊥α知m⊥β，而n⊥β，所以m∥n，与m，n为异面直线矛盾，所以平面α与平面β相交.由m⊥平面α，m⊥l，且l⊄α，可知l∥α，同理，l∥β，所以l与两平面的交线平行.故选D.3.已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA=AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC=1，则BD=（　　）A.2 B.1 C.32 D.12【答案】A【解析】如图，因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，所以AC∥BD.连接OD，所以OAOB=ACBD.因为OA=AB，所以OAOB=12.因为AC=1，所以BD=2.4.已知地面上有两根相距a m的竖直的旗杆，它们的高度分别是b m和c m（b>c），则它们顶端之间的距离为　　　　　　　　m. 【答案】a2+(b-c)2【解析】如图，根据题意可知AD=b m，BC=c m，AB=a m.由线面垂直的性质定理可得AD∥BC.过点C向AD作垂线，设垂足为E，则在Rt△CDE中，CE=a m，DE=（b-c）m，所以CD=a2+(b-c)2（m）.5.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是　　　　　. 【答案】平行【解析】因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.6.一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面的距离分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α所成的角是　　　　　. 【答案】30°【解析】如图，AB是一条与平面α相交的线段，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于点O，AB=10，AC=3，BD=2，则AO=6，BO=4，可得∠AOC=∠BOD=30°.7.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.（1）求证:A1C⊥B1D1.（2）若M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证:MN∥A1C.证明：（1）如图，连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1为正方形，所以A1C1⊥B1D1.又CC1∩A1C1=C1，所以B1D1⊥平面A1C1C.又A1C⊂平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1.（2）如图，连接AB1，AD1.因为B1C1?AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1.因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又MN⊥B1D1，AB1∩B1D1=B1，所以MN⊥平面AB1D1.由（1）知A1C⊥B1D1，同理可得A1C⊥AB1.因为AB1∩B1D1=B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.8.如图，△ABC是等边三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点，求证:（1）DF∥平面ABC;（2）AF⊥BD.证明：（1）如图，取AB的中点G，连接FG，CG.因为F为BE的中点，所以FG∥AE，FG=12AE.因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，所以CD∥AE.因为CD=12AE，所以FG∥CD，FG=CD.所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG.因为CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，所以DF∥平面ABC.（2）在Rt△ABE中，AE=2a，AB=2a，F为BE的中点，所以AF⊥BE.因为△ABC是等边三角形，所以CG⊥AB，所以DF⊥AB.因为FG⊥平面ABC，所以FG⊥GC，FG⊥DF.因为FG∩AB=G，所以DF⊥平面ABE.因为AF⊂平面ABE，所以DF⊥AF.因为BE∩DF=F，所以AF⊥平面BDF.因为BD⊂平面BDF，所以AF⊥BD.9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.（1）求证:B1C⊥AB;（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC-A1B1C1两底面间的距离.（1）证明：如图，连接BC1，则O为BC1与B1C的交点.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO.又AO∩BC1=O，所以B1C⊥平面ABO，又AB⊂平面ABO，所以B1C⊥AB.（2）解：因为四边形BB1C1C为菱形，BC=1，∠CBB1=60°，所以△BCB1为正三角形，所以B1C=1，OB=32,S△BCB1=34.因为AO⊥平面BB1C1C，所以AO⊥BC1，AO⊥B1C.又O为B1C的中点，AC⊥AB1，所以△AB1C为等腰直角三角形，所以AO=12，AC=22.所以AB=AO2+OB2=1.在△ABC中，cos∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=34，所以sin∠ABC=74，S△ABC=12AB·BC·sin∠ABC=78.设三棱柱ABC-A1B1C1两底面间的距离为h，则点B1到平面ABC的距离为h.因为VA-BCB1=VB1-ABC，即13S△BCB1·AO=13S△ABC·h，所以h=217.故三棱柱ABC-A1B1C1两底面间的距离为217.