初中数学冀教版八年级下册第二十一章 一次函数综合与测试习题

八年级数学下册第二十一章一次函数月考

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若一次函数（，为常数，）的图象不经过第三象限，那么，应满足的条件是（       ）

A．且 B．且

C．且 D．且

2、平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点、，若点在的内部，则的取值范围为（       ）

A．或 B． C． D．

3、若点(－3，y1)、(2，y2)都在函数y＝－4x＋b的图像上，则y1与y2的大小关系（       ）

A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定

4、若点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

5、某商场为了增加销售额，推出“元旦销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡一月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式（       ）

A．y＝54x（x＞2） B．y＝54x＋10（x＞2）

C．y＝54x－90（x＞2） D．y＝54x＋100（x＞2）

6、直线不经过点（　　）

A．（0，0） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）

7、下列各点在函数y＝﹣3x+2图象上的是（　　）

A．（0，﹣2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣，1）

8、如图，一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4，则下列说法正确的个数是（　　）

①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；②函数y＝ax+d不经过第一象限；③方程ax+b=cx+d的解是x=4；④ d-b=4（a-c）．

A．1 B．2 C．3 D．4

9、已知点A的坐标为，点A关于x轴的对称点落在一次函数的图象上，则a的值可以是（       ）

A． B． C． D．

10、已知点，在一次函数的图像上，则m与n的大小关系是（       ）

A． B． C． D．无法确定

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知点 P（a，b）在一次函数 y＝3x－1 的图像上，则 3a－b＋1＝_________．

2、已知：直线与直线的图象交点如图所示，则方程组的解为______．

3、如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是________．

4、正比例函数图像经过点（1，-1），那么k=__________．

5、函数y＝－7x的图象在______象限内，从左向右______，y随x的增大而______．

函数y＝7x的图象在______象限内，从左向右______，y随x的增大而______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．

(1)则点A的坐标为_______，点B的坐标为______；

(2)如图2，点P为y轴上的动点，以点P为圆心，PB长为半径画弧，与BA的延长线交于点E，连接PE，已知PB＝PE，求证：∠BPE＝2∠OAB；

(3)在（2）的条件下，如图3，连接PA，以PA为腰作等腰三角形PAQ，其中PA＝PQ，∠APQ＝2∠OAB．连接OQ．

①则图中（不添加其他辅助线）与∠EPA相等的角有______；（都写出来）

②试求线段OQ长的最小值．

2、如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（0，b），其中a，b满足＋b2﹣8b＋16＝0，点P在y轴上，且在B点上方，PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角△APM，∠APM＝90°，PM＝PA，点M落在第一象限．

(1)a＝　 　；b＝　 　；

(2)求点M的坐标（用含m代数式表示）；

(3)若射线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，若不变，求出Q点的坐标；若变化，请说明理由．

3、平面直角坐标系内有一平行四边形点，，，，有一次函数的图象过点

(1)若此一次函数图象经过平行四边形边的中点，求的值

(2)若此一次函数图象与平行四边形始终有两个交点，求出的取值范围

4、如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）（3，4）．

(1)若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在网格中画出△A1B1C1，并写出△A1B1C1三顶点坐标：A1　   　，B1　   　，C1　   　；

(2)计算△ABC的面积；

(3)若点P为x轴上一点，当PA+PB最小时，写出此时P点坐标 　   　．

5、为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知A型消毒液7元/瓶，B型消毒液9元/瓶．学校准备购进这两种消毒液共90瓶．

(1)写出购买所需总费用w元与A瓶个数x之间的函数表达式；

(2)若B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计最省钱的购买方案，并求出最少费用．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据一次函数图象与系数的关系解答即可．

【详解】

解：一次函数、是常数，的图象不经过第三象限，

且，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系为：k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．

2、C

【解析】

【分析】

由求出A，B的坐标，根据点的坐标得到点在直线上，求出直线与y轴交点C的坐标，解方程组求出交点E的坐标，即可得到关于m的不等式组，解之求出答案．

【详解】

解：当中y=0时，得x=-9；x=0时，得y=12，

∴A（-9，0），B（0，12），

∵点的坐标为，

当m=1时，P（3，0）；当m=2时，P（6，-4），

设点P所在的直线解析式为y=kx+b，将（3，0），（6，-4）代入，

∴，

∴点在直线上，

当x=0时，y=4，∴C（0，4），

，解得，∴E（-3，8），

∵点在的内部，

∴，

∴-1<m<0，

故选：C．

．

【点睛】

此题考查了一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数图象的交点，解一元一次不等式组，确定点在直线上是解题的关键．

3、A

【解析】

【分析】

根据一次函数的性质得出y随x的增大而减小，进而求解．

【详解】

由一次函数y＝－4x＋b可知，k=－4＜0，y随x的增大而减小，

∵－3＜2，

∴y1＞y2，

故选：A．

【点睛】

本题考查一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx＋b（k≠0），当k＜0时，y随x的增大而减小是解题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

根据k＞0时，y随x的增大而增大，进行判断即可．

【详解】

解：∵点，都在一次函数的图象上，

∴y随x的增大而增大

故选A

【点睛】

本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记

“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”．

5、B

【解析】

【分析】

由题意得，则销售价超过100元，超过的部分为，即可得．

【详解】

解：∵，

∴销售价超过100元，超过的部分为，

∴（且为整数），

故选B．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系．

6、B

【解析】

【分析】

将各点代入函数解析式即可得．

【详解】

解：A、当时，，即经过点，此项不符题意；

B、当时，，即不经过点，此项符合题意；

C、当时，，即经过点，此项不符题意；

D、当时，，即经过点，此项不符题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键．

7、B

【解析】

【分析】

根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，逐一判断，即可得到答案．

【详解】

∵，

∴A不符合题意，

∵，

∴B符合题意，

∵，

∴C不符合题意，

∵，

∴D不符合题意，

故选B．

【点睛】

本题主要考查一次函数图象上点的坐标，掌握一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，是解题的关键．

8、C

【解析】

【分析】

仔细观察图象：①观察函数图象可以直接得到答案；

②观察函数图象可以直接得到答案；

③根据函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4可以得到答案；

④根据函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4可以得到答案．

【详解】

解：由图象可得,对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小故①正确；

函数y＝ax+d图象经过第一，三，四象限，即不经过第二象限，故②不正确，

一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4，所以方程ax+b=cx+d的解是x=4；故③正确；

∵一次函数y＝ax+b的图象与y＝cx+d的图象如图所示且交点的横坐标为4，

∴4a+b=4c+d

∴d-b=4（a-c），故④正确．

综上所述，正确的结论有3个．

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

由点和点关于轴对称，可求出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：点和点关于轴对称，

点的坐标为．

又点在直线上，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及关于轴、轴对称的点的坐标，解题的关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．

10、A

【解析】

【分析】

根据一次函数的性质，y随x增大而减小判断即可．

【详解】

解：知点，在一次函数的图像上，

∵-2<0，

∴y随x增大而减小，

∵，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一次函数的增减性，解题关键是明确一次函数y随x增大而减小的性质．

二、填空题

1、2

【解析】

【分析】

由点P在一次函数图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出b=3a-1，再将其代入（3a-b+1）中即可求出结论．

【详解】

解：∵点P（a，b）在一次函数y=3x-1的图象上，

∴b=3a-1，

∴3a-b+1=3a-（3a-1）+1=2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．

2、

【解析】

【分析】

根据函数图象与二元一次方程组的关系，求方程组的解，就是求两方程所表示的两一次函数图象交点的坐标，从而得出答案．

【详解】

解：∵函数y=x-b与函数y=mx+6的交点坐标是（2，3），

∴方程组的解为．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，比较简单，熟悉交点坐标就是方程组的解是解题的关键．

3、##

【解析】

【分析】

先利用y=x+3确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求得结论．

【详解】

解：把P（m，5）代入y=x+3得m+3=5，解得m=2，

所以P点坐标为（2，5），

所以方程组的解是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．

4、-2

【解析】

【分析】

由正比例函数的图象经过点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出-1=k+1，即可得出k值．

【详解】

解：∵正比例函数的图象经过点（1，-1），

∴-1=k+1，

∴k=-2．

故答案为：-2．

【点睛】

本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx是解题的关键．

5、     第二、四象限     下降     减少     第一、三象限     上升     增大

【解析】

略

三、解答题

1、 (1)（-3，0）；（0，4）

(2)证明见解析

(3)①∠QPO，∠BAQ；②线段OQ长的最小值为

【解析】

【分析】

（1）根据题意令x＝0，y＝0求一次函数与坐标轴的交点；

（2）由题意可知与∠EPA相等的角有∠QPO，∠BAQ．利用三角形内角和定理解决问题；

（3）根据题意可知如图3中，连接BQ交x轴于T．证明△APE≌△QPB（SAS），推出∠AEP＝∠QBP，再证明OA＝OT，推出直线BT的解析式为为：，推出点Q在直线y＝﹣x+4上运动，再根据垂线段最短，即可解决问题．

(1)

解：在y＝x+4中，令y＝0，得0＝x+4，

解得x＝﹣3，

∴A（﹣3，0），

在y＝x+4中，令x＝0，得y＝4，

∴B（0，4）；

故答案为：（﹣3，0），（0，4）．

(2)

证明：如图2中，设∠ABO＝α，则∠OAB＝90°﹣α，

∵PB＝PE，

∴∠PBE＝∠PEB＝α，

∴∠BPE＝180°﹣∠PBE﹣∠PEB＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），

∴∠BPE＝2∠OAB．

(3)

解：①结论：∠QPO，∠BAQ

理由：如图3中，∵∠APQ＝∠BPE＝2∠OAB，

∵∠BPE＝2∠OAB，

∴∠APQ＝∠BPE．

∴∠APQ﹣∠APB＝∠BPE﹣∠APB．

∴∠QPO＝∠EPA．

又∵PE＝PB，AP＝PQ

∴∠PEB＝∠PBE＝∠PAQ＝∠AQP．

∴∠BAQ＝180°﹣∠EAQ＝180°﹣∠APQ＝∠EPA．

∴与∠EPA相等的角有∠QPO，∠BAQ．

故答案为：∠QPO，∠BAQ．

②如图3中，连接BQ交x轴于T．

∵AP＝PQ，PE＝PB，∠APQ＝∠BPE，

∴∠APE＝∠QPB，

在△APE和△QPB中，，

∴△APE≌△QPB（SAS），

∴∠AEP＝∠QBP，

∵∠AEP＝∠EBP，

∴∠ABO＝∠QBP，

∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠OBT+∠OTB＝90°，

∴∠BAO＝∠BTO，

∴BA＝BT，

∵BO⊥AT，

∴OA＝OT，

∴直线BT的解析式为为：，

∴点Q在直线y＝﹣x+4上运动，

∵B（0，4），T（3，0）．

∴BT＝5．

当OQ⊥BT时，OQ最小．

∵S△BOT＝×3×4＝×5×OQ．

∴OQ＝．

∴线段OQ长的最小值为．

【点睛】

本题属于一次函数综合题，考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数及最短距离等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键．

2、 (1)4；4

(2)（m+4，m+8）

(3)不变，（﹣4，0）

【解析】

【分析】

（1）将进行变形，然后根据二次根式有意义的条件及平方的非负性质即可进行求解；

（2）过点M作轴于点N，利用同角的余角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图象即可得出结果；

（3）设直线MB的解析式为，由（2）结论将点M的坐标代入整理可得，根据题意可得：，将其代入可确定函数解析式，即可确定点Q的坐标．

(1)

，

则，

∵，，

∴，，

解得：，，

故答案为：4；4；

(2)

过点M作轴于点N，

∵，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴，

∴点M的坐标为；

(3)

点Q的坐标不变，

理由如下：设直线MB的解析式为，

则，

整理得，，

∵，

∴，

解得：，

∴直线MB的解析式为，

∴无论m的值如何变化，点Q的坐标都不变，为．

【点睛】

题目主要考查二次根式有意义的条件及平方的非负性质，全等三角形的判定和性质，利用待定系数法确定一次函数解析式等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

3、 (1)k＝；

(2)−1＜k＜，且k≠0．

【解析】

【分析】

（1）设OA的中点为M，根据M、P两点的坐标，运用待定系数法求得k的值；

（2）当一次函数y=kx+b的图象过B、P两点时，求得k的值；当一次函数y=kx+b的图象过A、P两点时，求得k的值，最后判断k的取值范围．

(1)

解：设OA的中点为M，

∵O（0，0），A（4，0），

∴OA=4，

∴OM=2，

∴M（2，0），

∵一次函数y=kx+b的图象过M（2，0），P(6，1)两点，

∴，

解得：k＝；

(2)

如图，由一次函数y=kx+b的图象过定点P，作直线BP，AP与平行四边形只有一个交点，由于直线与平行四边形有两个交点，所以直线应在直线BP，AP之间，

当一次函数y=kx+b的图象过B、P两点时，

代入表达式y=kx+b得到：，

解得：k=-1，

当一次函数y=kx+b的图象过A、P两点时，

代入表达式y=kx+b得到：，

解得：k＝，

所以−1＜k＜，

由于要满足一次函数的存在性，

所以−1＜k＜，且k≠0．

【点睛】

本题考查了运用待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：求正比例函数y=kx，只要一对x，y的值；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．

4、 (1)

(2)3.5

(3)

【解析】

【分析】

（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A1B1C1，进而得出△A1B1C1三顶点坐标；

（2）依据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积；

（3）作点A关于x轴的对称点，连接B，交x轴于点P，依据一次函数的图象可得点P的坐标．

(1)

如图，△A1B1C1即为所求；

其中A1，B1，C1的坐标分别为：

故答案为：

(2)

△ABC的面积为：3×3-×3×1-×1×2-×2×3=3.5．

(3)

如图，作点A关于x轴的对称点，连接B，则B与x轴的交点即是点P的位置．

设B的解析式为y=kx+b（k≠0），

把和B（4，2）代入可得：

，解得，

∴y=x-2，

令y=0，则x=2，

∴P点坐标为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

5、 (1)w=-2x+810

(2)最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶，最低费用为676元

【解析】

【分析】

（1）A瓶个数为x，则B瓶个数为(90-x)，根据题意列式计算即可；

（2）根据B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，可以得到A型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用．

(1)

解：A瓶个数为x，则B瓶个数为(90-x)，

依题意可得：w=7x+9（90-x）=-2x+810；

(2)

解：∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，

∴，解得，

由（1）知w=﹣2x+810，

∴w随x的增大而减小，

∴当x=67时，w取得最小值，

此时w=﹣2×67+810=676，90﹣x=23，

答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶，最低费用为676元．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是列出相应的方程组和列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．