考点05因式分解（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点05因式分解

考点总结

一、因式分解意义

1．分解因式的定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。

2．因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式。例如：

二、提公因式法

1．提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。  

2．具体方法：

  （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．

　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．

3．基本步骤：

（1）找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

（2）提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

（3）提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．

三、运用公式法

1．如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；

2．概括整合：

（1）能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。

（2）能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。

四、十字相乘法

1．x2+（p+q）x+pq型式子

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；

可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

2．ax2+bx+c（a≠0）型式子

这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．

五、因式分解的应用

1．利用因式分解解决求值问题．

2．利用因式分解解决证明问题．

3．利用因式分解简化计算问题．

真题演练

一、单选题

1．如果，那么代数式的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】

先化简，由得，即可求得代数式的值．

【详解】

解：

=

=，

∵，

∴，

∴，

故选：C．

2．把分解因式，结果正确的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

先提公因式2，然后再利用平方差公式进行分解即可.

【详解】

=

=，

故选C．

3．下列运算中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

运用平方差公式分解因式，并根据二次根式的乘法、单项式的乘法及积的乘方法则进行计算，即可得出结论．

【详解】

解：A、 ，故此选项计算错误，不符合题意；

B、，故此选项计算正确，符合题意；

C、，故此选项计算错误，不符合题意；

D、，故此选项计算错误，不符合题意；

故选：B．

4．下列说法：①任何不为零的数的零次幂是1；②对于变形和，从左到右都是因式分解；③81的算术平方根是9；④在数轴上表示数2与的两点的距离为．其中正确的是（    ）

A．①② B．①③ C．①④ D．②③

【答案】B

【分析】

根据因式分解、平方根等有关性质对每个说法进行判定即可．

【详解】

解：①任何不为零的数的零次幂是1，说法正确；

②因式分解是将整式和的性质转化为乘积的形式，是将乘积转化为和的性质，不是因式分解，说法错误；

③81的算术平方根是9，说法正确；

④在数轴上表示数2与的两点的距离为，而不是，说法错误；

故答案为B．

5．多项式因式分解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先提取，再根据公式法即可因式分解．

【详解】

=2=

故选C．

6．若实数a、b满足，则的值是（    ）

A．1 B． C．3 D．

【答案】C

【分析】

利用完全平方公式对条件进行变形，根据非负数的性质求出a，b的值，最后求a+b即可．

【详解】

解：由得：+（a﹣2b）2＝0，

根据非负数的性质得：，

解得：，

∴a+b＝2+1＝3，

故选：C．

7．下列因式分解正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

各式计算得到结果，即可作出判断．

【详解】

解：A、原式；

B、原式，不符合题意；

C、原式，不符合题意；

D、原式不能分解．

故选：A．

8．多项式因式分解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先提取公因式，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可

【详解】

解：

故答案选：A．

9．代数式4m2﹣n2因式分解的结果是（    ）

A．（2m﹣n） （2m＋n） B．4 （m﹣n） （m＋n）

C．（4m﹣n） （m＋n） D．（m﹣2n） （m＋2n）

【答案】A

【分析】

直接根据平方差公式分解因式得出答案；

【详解】

，

故选：A．

10．观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律，代入规律求解即可．

【详解】

解：由图可得到：

则：，

∴，

故答案选：B．

二、填空题

11．分解因式：______________．

【答案】

【分析】

根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．

【详解】

解：；

故答案为．

12．分解因式：___________．

【答案】．

【分析】

先提取公因式m，然后再运用完全平方公式因式分解即可．

【详解】

解：，

＝，

＝．

故答案为．

13．因式分解：_____________．

【答案】

【分析】

先提取公因式x，再根据完全平方公式进行二次分解．

【详解】

解：原式=x（x2-10x+25）
=x（x-5）2．

14．分解因式：__________．

【答案】

【分析】

先提取公因式，然后再按“十字相乘法”分解因式即可．

【详解】

．

故答案为：．

15．分解因式：=_________________________．

【答案】．

【详解】

原式==，故答案为．

三、解答题

16．在平面直角坐标系中，抛物线．

（1）若抛物线过点，求抛物线的对称轴；

（2）若为抛物线上两个不同的点．

①当时，，求a的值；

②若对于，都有，求a的取值范围．

【答案】（1）抛物线的对称轴；（2）①；②．

【分析】

（1）抛物线过点，可得，解得：，抛物线为，利用抛物线的对称轴公式求即可，

（2）①又为抛物线上两个不同的点．可得，当时，，可得，，因式分解得，可得，可求，

②若对于，都有， 当时，抛物线开口向上，抛物线对称轴，抛物线对称轴为：，在对称轴左侧，在直线x=-2的右侧可满足，而在对称轴右侧，则有，都有，故不可能，当，在对称轴右侧，都有，抛物线对称轴在直线x=-2左侧，可抛物线对称轴为：，解得即可．

【详解】

解：（1）抛物线过点，

则，

解得：，

抛物线为，

抛物线的对称轴，

（2）①∵为抛物线上两个不同的点．

，

当时，，

，

，

因式分解得，

∵，，

∴，

∴，

∴，

②若对于，都有，

，

，

∵，

∴，

∴，

，

当时，抛物线开口向上，抛物线对称轴，

抛物线对称轴为：，

在对称轴左侧，在直线x=-2的右侧可满足，而在对称轴右侧，则有，都有，

故不可能，

当，在对称轴右侧，都有，当抛物线对称轴在直线x=-2的左侧，即抛物线对称轴为：，

整理得，

解得，

∴．

17．先化简，再求值：，其中．

【答案】；．

【分析】

先进行因式分解，计算括号内的运算然后计算除法运算，得到最简分式，再把代入计算，即可得到答案．

【详解】

解：原式

；

∵

∴原式．

18．先化简，再求值：，其中

【答案】，

【分析】

先利用平方差公式和完全平方公式对原式进行分解因式化简，然后代入值计算即可得到答案.

【详解】

解：原式＝

＝

当时，

原式＝