考点16反比例函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（青岛版）

这是一份考点16反比例函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（青岛版），共25页。试卷主要包含了反比例函数的概念，反比例函数的图象与性质，求反比例函数的解析式，5x+c满足，理由见解析，5 > 16，等内容，欢迎下载使用。

1.反比例函数的概念
定义:形如为常数)的函数叫做反比例函数,其中是自变量,是的函数。变式:或.
2.反比例函数的图象与性质
图象:反比例函数的图象是双曲线，且关于直线和成轴对称,关于原点成中心对称.
性质:
当时,图象的两个分支在第一、三象限,在每一个象限内,随增大而减小；
当时,图象的两个分支在第二、四象限,在每一个象限内,随增大而增大；
的意义:在反比例函数的图象上任取一点,过这点分别作轴、轴的平行线,两平行线与坐标轴围成的矩形的面积等于
3.求反比例函数的解析式
待定系数法:设,由已知条件求出的值,从而确定解析式.
注意:因为反比例函数只有一个待定的末知数,所以只需要一个条件即可确定反比例函数,这个条件可以是图象上的一个点的坐标,也可以是x、y的一组对应的值.
真题演练
一、单选题
1．（2021·山东青岛·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＜0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D．
2．（2021·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】
先确定一次函数和反比例函数解析式，然后画出图象，再根据图象确定x的取值范围即可．
【详解】
解：∵两函数图象交于点，点
∴ ，，解得：，k2=2
∴，
画出函数图象如下图：
由函数图象可得的解集为：0＜x＜2或x＜-1．
故填D．
3．（2021·山东枣庄·中考真题）在平面直角坐标系中，直线垂直于轴于点（点在原点的右侧），并分别与直线和双曲线相交于点，，且，则的面积为（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】
设点的坐标为，从而可得，，再根据可得一个关于的方程，解方程求出的值，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
解：设点的坐标为，则，
，
，
，
解得或，
经检验，或均为所列方程的根，
（1）当时，，
则的面积为；
（2）当时，，
则的面积为；
综上，的面积为或，
故选：B．
4．（2021·山东临清·三模）如图，△ABO的顶点A在函数（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MOBP的面积为5，则k的值为（ ）
A．9B．12C．15D．18
【答案】D
【分析】
根据已知条件，证明，得到，推出，又根据函数图象上点的几何意义， 知道，从而推得值．
【详解】
解：∵M、N 为 AO边的三等分点，且,
∴
在中：

∴
又∵四边形MOBP的面积为5
即
∴
又∵A在函数（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°
∴
∴
∵函数图象在第一象限
∴
∴
故选：
5．（2021·山东诸城·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形与反比例函数的图象交于，两点，矩形的顶点，在坐标轴上，，，若点的坐标为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．点的坐标为
【答案】A
【分析】
先根据题意求得OA=5,AD=2,OD=，再根据条件求出DE,然后再证明△OAD∽△DBE可得，进而求得BD、BE，然后求出OC、EC，最后逐项排查即可．
【详解】
解：∵四边形OABC为矩形，D(2,5)
∴OA=5，AD=2，OD=
又∵
∴DE=
∵∠ODE=90°
∴∠ODA+∠BDE=90°
又∵∠ODA+∠AOD=90°
∴∠BDE=∠AOD

∴△OAD∽△DBE
∴,即
∴BD ，BE
∴OC=AD+BD=，EC=BC-BE=
∴S△OEC=,故A错误；符合题意；
S△DEB= ，故B正确；不符合题意；
,故C正确；不符合题意；
CO=，EC=，则点E的坐标为．正确，不符合题意；
故选：
6．（2021·山东诸城·二模）如图，一次函数与反比例函数交于，两点，且，两点的横坐标分别为，3，则下列的取值范围能满足的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据一次函数和反比例函数图象所在的象限和交点A、B的横坐标，分段加以判断，即可得出正确选项．
【详解】
解：如图所示，
当时，在的下方，即．所以A正确；
当时，在的上方，即，所以B错误；
当时，在的下方，即，所以C错误；
当x>3时，在的上方，即，所以D错误．
故选：A
7．（2021·山东张店·二模）如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点，为轴上的一点，连接、，则的面积为（ ）
A．6B．3C．2D．
【答案】D
【分析】
连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=|k|，即可得到结果．
【详解】
解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△ABC＝S△OAB＝|k|＝×3＝，
故选：D．
8．（2021·山东莱西·一模）如图，正比例函数，一次函数y2=2x+b和反比例函数的图象在同一直角坐标系中，若y1＞y3＞y2，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜-1B．-2＜x＜
C．＜x＜0D．-2＜x＜-1
【答案】B
【分析】
如图，先求出点A、B、C横坐标，分别根据图象求出y1＞y3和y3＞y2时自变量的取值范围，再取公共部分即可求解．
【详解】
解：如图，把x=2代入，得y=1，
∴点A坐标为（2,1），
所以k=2×1=2，
∴反比例函数解析式为，
把y=-4代入反比例函数解析式得，
解得，
所以点C横坐标为，
根据双曲线的对称性得直线和双曲线的另一个交点横坐标为-2，
∴点B横坐标为-2，
∴当y1＞y3时，由图象得x＞2或，
当y3＞y2时，由图象得或，
∴当y1＞y3＞y2时，-2＜x＜．
故选：B
9．（2021·山东河东·二模）如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】
从反比例函数图象上的点、、入手，分别找出、、的面积与的关系，列出等式求出值．
【详解】
解：由题意得：、、位于反比例函数图象上，
则，，
过点作轴于点，作轴于点，
则，
又为矩形对角线的交点，
则矩形ABCO，
由于函数图象在第一象限，，
则，
∴．
故选：C．
10．（2021·山东德州·一模）已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹤0，c﹥0，由此可得出，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【详解】
由二次函数图象开口向下可知：a﹤0，
对称轴
，
由反比例函数图象分别在第一、三象限知：c﹥0，
，
一次函数的图象经过二，三，四象限,与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征,
故选：B．
二、填空题
11．（2021·山东青岛·中考真题）列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________．
【答案】240
【分析】
由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案.
【详解】
解：由题意设
把代入得：

当h时，，
所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到，
故答案为：.
12．（2021·山东滨州·中考真题）若点、、都在反比例函数（k为常数）的图象上，则、、的大小关系为____________．
【答案】
【分析】
根据反比例函数的性质和，可以得到反比例函数的图象所在的象限和在每个象限内的增减性，然后即可判断、、的大小关系．
【详解】
解：反比例函数为常数），，
该函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，
点、，、都在反比例函数为常数）的图象上，，点、在第三象限，点在第一象限，
，
故答案为：．
13．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点与（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝_______．（结果用a，b表示）
【答案】a
【分析】
设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．
【详解】
解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），
∵点P为曲线C1上的任意一点，
∴mn＝a，
∴阴影部分的面积S△AOB＝mnbb（m）（n）
＝mn﹣b（mn﹣b﹣b）
＝mn﹣bmn+b
a．
故答案为：a．
14．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的横坐标为_______．
【答案】
【分析】
由点A是直线与双曲线的交点，即可求出点A的坐标，且可知，又可知是等腰直角三角形，再结合可知是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求的坐标，即的坐标（=1,2,3……），故想到过点作轴，即过作轴．设的纵坐标为，则的横坐标为，再利用点在双曲线上即可求解坐标，同理可得的坐标．
【详解】
解：过作轴于点
点A是直线与双曲线的交点
解得
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
设的纵坐标为，则的横坐标为
点在双曲线上
解得
设的纵坐标为，则的横坐标为
解得
同理可得
由以上规律知：
即的纵坐标为
的横坐标为
故答案是：．

15．（2021·山东威海·中考真题）已知点A为直线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________．
【答案】或
【分析】
设点A坐标为，则点B的坐标为，将点B坐标代入，解出x的值即可求得A点坐标．
【详解】
解：∵点A为直线上一点，
∴设点A坐标为，
则点B的坐标为，
∵点B在双曲线上，
将代入中得：
，
解得：，
当时，，
当时，，
∴点A的坐标为或，
故答案为：或．
三、解答题
16．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
（1）求对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1），；（2）；（3）或
【分析】
（1）由题意先求出，然后得到点B的坐标，进而问题可求解；
（2）由（1）可得以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
【详解】
解：（1）把点代入反比例函数解析式得：，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴，解得：，
∴，
把点A、B作代入直线解析式得：，解得：，
∴；
（2）由（1）可得：，，
∵轴，
∴，
∴点A到PB的距离为，
∴；
（3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或．
17．（2021·山东潍坊·中考真题）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示（m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.
【答案】（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由见解析；（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0）满足模拟，理由见解析；（3）满足，理由见解析.
【分析】
（1）根据m=xy是否为定值即可判断和说明理由；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度的纯收入y，然后比较结果即可．
【详解】
解：（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由如下：
∵1×1.5=1.5，2×2.5=5，…
∴1.5≠5
∴不能选用函数（m＞0）进行模拟；
（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0），理由如下：
由（1）可知不能选用函数（m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y=x+b（k>0），
故只能选用函数y=ax2-0.5x+c（a>0）进行模拟；
（3）由点（1，1.5），（2，2.5）在y=ax2-0.5x+c（a>0）上
则 ，解得：
∴y=0.5x2-0.5x+1.5
当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5，
∵16.5 > 16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
18．（2021·山东聊城·中考真题）如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6
（1）求k值和点D的坐标；
（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．
【答案】（1），点 D 坐标为（4，3）；（2）点E的坐标为（－8，2）
【分析】
（1）结合反比例函数的几何意义即可求解值；由轴可知轴，利用平行线分线段成比例即可求解D点坐标；
（2）可知和的面积相等，由函数图像可知、、的面积关系，再结合题意，即可求CD边上高的关系，故作，垂足为F，即可求解E点横坐标，最后由E点在直线AB上即可求解．
【详解】
解∶（1）设点 D 坐标为（m，n），
由题意得．
∵点 D在的图象上，．
∵直线的图象与轴交于点A，
∴点A 的坐标为（－4，0）．
∵CHx轴，CH//y 轴．．
点D在反比例函数的图象上，
点 D 坐标为（4，3）
（2）由（1）知轴，．
．
过点E作EFCD，垂足为点 F，交y轴于点M，
．
．
∴点 E 的横坐标为－8.
∵点E 在直线上，∴点E的坐标为（－8，2）．
19．（2021·山东东营·中考真题）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点，，．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）或
【分析】
（1）过点A作轴于点E，根据三角函数的性质，得点A，将点A代入，得；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）连接OB、、，结合（1）的结论，得点B；结合题意得；把代入，得点C；设点的坐标为，通过计算即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案．
【详解】
（1）如图，过点A作轴于点E，
∵，，
∴，，
∴点A，
∴双曲线的解析式为，
把，分别代入，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
（2）如图，连接OB、、
把代入，得，
∴点B，
∴，
∴，
把代入，得，
∴点C
设点的坐标为，
∵
∴，
∵，
∴点P的坐标为；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A、点B
∴或．
20．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．
【答案】（1）, ；（2）
【分析】
（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，
由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；
（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．
【详解】
（1） 四边形是矩形，，

为线段的中点

将代入，得




将，代入，得：
，解得

（2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P
当三点共线时，有最小值
，
设直线的解析式为
将，代入，得
，解得
令，得
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3