考点02实数的运算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（青岛版）

考点02实数的运算

考点总结

1.实数的运算法则

加法:

(1)同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加

(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

(3)互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数.

减法:减去一个数，等于加上这个数的相反数；

乘法:

(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘都得0;

(2)n个不是0的数相乘，当负因数的个数是偶数时，积是正数;当负因数的个数是奇数时，积是负数.

除法:

(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

(2)除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数；

(3)0除以任何一个不为0的数都得0；

乘方：求n个相同因式的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂；

在an中，a叫做底数，n叫做指数。

零指数幂：.

负整数指数幂：为正整数;

为正整数.

(1)注意:

实数的运算顺序:先算乘方，开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号先算括号里， 同级运算从左至右依次进行;

(2)易错点:零指数幂、负整数指数幂的意义，防止出现以下两种错误:.

遇到绝对值，一般要先去掉绝对值符号，再进行计算.

2.实数的运算律

加法交换律:

加法结合律:

乘法交换律:

乘法结合律:

乘法分配律:

真题演练

一、单选题

1．（2021·山东青岛·中考真题）2021年3月5 日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万＝55750000，用科学记数法将55750000表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据科学记数法的定义“把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数位只有一位的数，即a大于或等于1且小于10，n是正整数），这样的记数方法叫做科学记数法”进行解答即可得．

【详解】

解：，

故选C．

2．（2021·山东淄博·中考真题）经过4.6亿公里的飞行，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日在火星表面成功着陆，火星上首次留下了中国的印迹．将4.6亿用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据科学记数法可直接进行排除选项．

【详解】

解：将4.6亿用科学记数法表示为；

故选D．

3．（2021·山东潍坊·中考真题）第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101 527 000用科学记数法（精确到十万位）（  ）

A．1.02×108 B．0.102×109 C．1.015×108 D．0.1015×109

【答案】C

【分析】

先用四舍五入法精确到十万位，再按科学记数法的形式和要求改写即可．

【详解】

解：

故选：C

4．（2021·山东威海·中考真题）据光明日报网，中国科学技术大学的潘建伟、陆朝阳等人构建了一台76个光子100个模式的量子计算机“九章”．它处理“高斯玻色取样”的速度比目前最快的超级计算机“富岳”快一百万亿倍．也就是说，超级计算机需要一亿年完成的任务，“九章”只需一分钟．其中一百万亿用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：一百万亿=100000000000000=，

故选：C．

5．（2021·山东东营·中考真题）某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花（    ）元

A．240 B．180 C．160 D．144

【答案】D

【分析】

根据题意，列出算式，即可求解．

【详解】

解：300×0.8×0.6=144（元），

故选D．

6．（2021·山东济宁·中考真题）下列各式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．

【详解】

解：A、，此选项错误，不符合题意；

B、，此选项错误，不符合题意；

C、，此选项错误，不符合题意；

D、，此选项正确，符合题意；

故选：D．

7．（2021·山东菏泽·中考真题）下列等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则对每个选项一一判断即可．

【详解】

解：A、，故A选项错误；

B、，故B选项错误；

C、，故C选项错误；

D、，故D选项正确，

故选：D．

8．（2021·山东临沂·中考真题）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（   ）

A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年

【答案】C

【分析】

根据物质所剩的质量与时间的规律，可得答案．

【详解】

解：由图可知：

1620年时，镭质量缩减为原来的，

再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的，

再经过1620×2=3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的，

...，

∴再经过1620×4=6480年，即当8100年时，镭质量缩减为原来的，

此时mg，

故选C．

9．（2021·山东临沂·中考真题）计算的结果是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．

【详解】

解：，

故选：A．

10．（2021·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断即可．

【详解】

解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，此选项错误；

B、，此选项错误；

C、，此选项错误；

D、，此选项正确，

故选：D．

二、填空题

11．（2021·山东东营·中考真题）2021年5月11日，第七次全国人口普查数据显示，全国人口比第六次全国人口普查数据增加了7206万人．7206万用科学记数法表示________．

【答案】

【分析】

由7206万=72060000，根据科学记数法的法则表示还原的数即可

【详解】

∵7206万=72060000，

∴72060000=，

故答案为:．

12．（2021·山东菏泽·中考真题）2021年5月11日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：截至2020年11月1日零时，全国人口共约1410000000人．数据1410000000用科学记数法表示为______．

【答案】1.41×109．

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：将1410000000用科学记数法表示为：1.41×109．

故答案是：1.41×109．

13．（2021·山东泰安·中考真题）2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．探测器距离地球约3.2亿千米．数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为________千米．

【答案】

【分析】

根据科学记数法的一般形式a×10n（1≤∣a∣＜10，n为整数）确定出a和n值即可．

【详解】

解：∵1亿=108,，

∴3.2亿=3.2×108，

故答案为：3.2×108．

14．（2021·山东崂山·二模）中国财政部2021年4月21日发布数据显示，前三个月，教育支出9005亿元，同比增长13.8%，“9005亿”用科学记数法可表示为______．

【答案】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

解：1亿=108,

“9005亿”用科学记数法可表示9005亿=9.005×103×108=9.005×1011．

故答案为：9.005×1011．

15．（2021·山东周村·一模）计算：的结果是______．

【答案】26

【分析】

先计算乘方与零指数幂，再计算加法即可．

【详解】

解：

故答案为：．

三、解答题

16．（2021·山东日照·中考真题）（1）若单项式与单项式是一多项式中的同类项，求、的值；

（2）先化简，再求值：，其中．

【答案】（1）m=2，n=-1；（2），

【分析】

（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得和的值；

（2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．

【详解】

解：（1）由题意可得，

②①，可得：，

解得：，

把代入①，可得：，

解得：，

的值为2，的值为；

（2）原式

，

当时，

原式．

17．（2021·山东临清·三模）先化简，再求值：1+÷（2＋），其中a＝2．

【答案】；2．

【分析】

根据 和分式化简原则进行化简，得原式=，最后将a＝2代入计算即可．

【详解】

解：原式＝1+÷

＝1+÷

＝1+×

＝1+

=

当a＝2时，原式＝2．

18．（2021·山东南区·二模）实际问题：有支队伍，每支队伍都有足够多的水平完全相同的队员，要从这支队伍中抽调部分队员安排到一张有四个位置的方桌进行竞技比赛，四个位置可以出现来自于同一队伍的队员，为了防止他们作弊，需要避免同队的队员坐在相邻的座位上．那么一共有多少种不同的安排方法？

问题探究：

探究一：如果有两支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？

不妨设两支队伍分别为．从①号位开始，我们有2种选择，即队员或队员，②③号位置都只有1种选择（另一支队伍的队员）．④号位也只有1种选择．这样就得到了，一共有两种不同的安排方法．

探究二：如果有三支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？

不妨设三支队伍分别为．让我们运用上面的方法试试①号位置有3种队员可以选择，即队员、队员或队员，②③两个位置选择队员时，我们需要考虑两种不同的情形：

第一种：若②③号位队员来自于同一队伍，则②号位有2种选择，③号只有1种选择，④号位会有2中选择，此时会有种安排方法；

第二种：若②③号位队员来自于不同的队伍，则②号位有2种选择，③号位只有1种选择，④号位也只有1种选择，此时会有种安排方法．

把上述两种情况的结果加起来得到12＋6＝18，一共有18种不同的安排方法．

探究三：如果有四支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？（请按照前面的探究方法，描述如果有四支参赛队伍时，会有多少种结果的推算过程）

归纳探究：如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有多少种不同的安排方法？

无论有多少支参赛队伍，我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自于同一个队伍；②③号位队员来自于不同的队伍．

（1）如果有支参赛队伍，①号位有　 　种队员可以选择，②号位有　 　种队员可以选择．

（2）若②③号位队员来自于同一队伍，则③号位只有1种选择，④号位有　 　种选择，这样我们就有　 　种安排方法（结果不需化简）；

（3）若②③号位队员来自不同队伍，则③号位有　 　种选择，④号位有　 　种选择，这样我们就有　 　种安排方法．（结果不需化简）

（4）如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队的队员，那么共有　 　种不同的安排方法．（结果不需化简）

【答案】探究三：48种；归纳探究：（1）；；（2）；；（3）；；；（4）

【分析】

探究三：根据前面的探究方法，设为四支队伍，，①号位置有4种队员可以选择，即队员、队员或队员或 队员，②③两个位置选择队员时，我们需要考虑两种不同的情形：第一种：②③号位队员来自于同一队伍，②号位有3种选择，那么③号位与②号位队友相同，所以③号只有1种选择，④号位就会有3种选择；第二种：若②③号位队员来自于不同的队伍，②号位有3种选择，那么③号位与②号位队员不同，③号位只有2种选择，那么④号位只有2种选择；把上述两种情况的结果加起来可得到结果；

归纳探究：无论有多少支参赛队伍，我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自于同一个队伍；②③号位队员来自于不同的队伍，据此可得：（1）①号位有种队员可以选择，②号位有种队员可以选择；（2）若②③号位队员来自于同一队伍，则③号位只有1种选择，这样，④号位有 种选择，这样我们就有种安排方法；（3）若②③号位队员来自于不同队伍，则③号位有 种选择，④号位有种不同的队员可以选择，这样我们就有 种安排方法；（4）把（2）、（3）种情况的结果加起来即可．

【详解】

解：不妨设为四支队伍，让我们运用上在的方法试试，①号位置有4种队员可以选择，即队员、队员或队员或 队员，②③两个位置选择队员时，我们需要考虑两种不同的情形：

第一种：②③号位队员来自于同一队伍，②号位有3种选择，那么③号位与②号位队友相同，所以③号只有1种选择，④号位就会有3种选择，此时会有：种安排方法；

第二种：若②③号位队员来自于不同的队伍，②号位有3种选择，那么③号位与②号位队员不同，③号位只有2种选择，那么④号位只有2种选择，此时会有种安排方法．

把上述两种情况的结果加起来得到36＋48＝84，一共有84种不同的安排方法．

归纳探究：如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员，那么有多少种不同的安排方法呢？

无论有多少支参赛队伍，我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自于同一个队伍；②③号位队员来自于不同的队伍．

（1）如果有支参赛队伍，①号位有种队员可以选择，②号位有种队员可以选择；

（2）若②③号位队员来自于同一队伍，则③号位只有1种选择，这样，④号位有种选择，这样我们就有种安排方法（结果不需要化简）；

（3）若②③号位队员来自于不同队伍，则③号位有种选择，④号位有种不同的队员可以选择，这样我们就有 种安排方法（结果不需要化简）；

（4）如果有支队伍参赛，要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员，那么把（2）、（3）种情况的结果加起来得到有：种安排方法．