考点02 整式与因式分解（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

考点02 整式与因式分解、

考点总结

一、代数式

代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.

二、整式

1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.

注：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。

2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.

3．整式：单项式和多项式统称为整式.

4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.

7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.

（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.

8．乘法公式：（1）平方差公式：.   （2）完全平方公式：.

9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.

三、因式分解

1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.

（2）公式法：运用平方差公式：.运用完全平方公式：.

3．分解因式的一般步骤：

（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;

（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：

为两项时，考虑平方差公式；

为三项时，考虑完全平方公式；

为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;

（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.

以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北模拟）若（9m）2＝312，则m的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】化为同底数的幂的形式，列方程即可得到答案．

【解答】解：∵（9m）2＝312，

∴34m＝312，

∴4m＝12，

∴m＝3，

故选：A．

2．（2021•开平区一模）如果（　　）•m＝m6，那么（　　）＝（　　）

A．m7 B．m6 C．m5 D．5m

【分析】根据同底数幂的乘法法则解决此题．

【解答】解：根据同底数幂的乘法，得m5•m＝m6．

故选：C．

3．（2021•桥东区二模）关于﹣a﹣b进行的变形或运算：①﹣a﹣b＝﹣（a+b）；②（﹣a﹣b）2＝（a+b）2；③|﹣a﹣b|＝a﹣b；④（﹣a﹣b）3＝﹣（a﹣b）3．其中不正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【分析】利用完全平方公式，绝对值的定义，去括号和添括号法则逐一判断即可．

【解答】解：①﹣a﹣b＝﹣（a+b），正确；

②（﹣a﹣b）2＝（a+b）2，正确；

③|﹣a﹣b|＝a+b，故原说法错误；

④（﹣a﹣b）3＝﹣（a+b）3，故原说法错误．

其中不正确的有③④，

故选：B．

4．（2021•河北模拟）若k为正整数，则（k3）2表示的是（　　）

A．2个k3相加 B．3个k2相加 C．2个k3相乘 D．5个k相乘

【分析】根据幂的定义判断即可．

【解答】解：（k3）2表示的是2个k3相乘．

故选：C．

5．（2021•安次区一模）计算a6×（﹣a2）的结果是（　　）

A．a4 B．﹣a8 C．a8 D．﹣a4

【分析】利用同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案．

【解答】解：a6×（﹣a2）＝﹣a8，

故选：B．

6．（2021•开平区一模）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10......这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16.......这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，根据上面的规律，用含有n（n为大于等于1的整数）的等式表示上面关系正确的是（　　）

A．n+n+2＝n2 

B．n（n+3）＝n2 

C．（n+1）（n﹣1）＝n2﹣1 

D．

【分析】根据特殊到一般的数学思想解决此题．

【解答】解：第1个图形，（1+1）2＝4＝1+（1+2）；

第2个图形，（2+1）2＝9＝1+2+（1+2+3）；

第3个图形，（3+1）2＝16＝1+2+3+（1+2+3+4）；

第4个图形，（4+1）2＝25＝1+2+3+4+（1+2+3+4+5）；

…

第n﹣1个图形，（n﹣1+1）2＝n2＝1+2+3+…+n﹣1+（1+2+3+…+n）；

第n个图形，（n+1）2＝1+2+3+…+n+（1+2+3+…+n+n+1）．

∴．

故选：D．

7．（2021•桥东区二模）若（k＞1，k，m都是正整数），则m的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．9

【分析】提取公因式33，原式化为：3m，根据k＞1，k，m都是正整数，求出k的最小值，进而求出m的最小值．

【解答】解：原式化为：3m，

∴k＝3m÷33

＝3m﹣3，

∵k＞1，k，m都是正整数，

∴k的最小值为3，

∴m﹣3＝1，

∴m的最小值为4，

故选：B．

8．（2021•唐山一模）若1052﹣210×5+52＝k+992﹣1，则k的值是（　　）

A．100 B．105 C．200 D．205

【分析】由1052﹣210×5+52＝（105﹣5）2＝1002＝k+992﹣1＝k+100×98，可得k的值．

【解答】解：∵1052﹣210×5+52＝（105﹣5）2＝1002，

k+992﹣1＝k+（99+1）×（99﹣1）＝k+100×98，

∴k+100×98＝1002，

∴k＝200．

故选：C．

9．（2021•鸡泽县模拟）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数宁家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．

（a+b）0…①

（a+b）1…①①

（a+b）2…①②①

（a+b）3…①③③①

（a+b）4…①④⑥④①

（a+b）5…①⑤⑩⑩⑤①

…

根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　）

A．2017 B．2016 C．191 D．190

【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数．

【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；

（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；

（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；

不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），

∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19＝190，

故选：D．

10．（2021•平泉市一模）下列运算正确的是（　　）

A．x3+x3＝2x6 B．（2x）3＝6x3 

C．2x2•3x＝6x3 D．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2

【分析】根据整式的加减运算以及乘法运算法则即可求出答案．

【解答】解：A、原式＝2x3，故A不符合题意．

B、原式＝8x3，故B不符合题意．

C、原式＝6x3，故C符合题意．

D、原式＝4x2﹣4xy+y2，故D不符合题意．

故选：C．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•河北模拟）已知a2+ab＝0，b2﹣3ab＝4．

（1）3ab﹣b2＝　﹣4　；

（2）a﹣b＝　±2　．

【分析】（1）加上一个负括号，然后整体代入；

（2）已知两式相加，构成完全平方式，利用直接开平方法求解．

【解答】解：（1）3ab﹣b2

＝﹣（b2﹣3ab）

＝﹣4；

故答案为：﹣4；

（2）∵a2+ab＝0，b2﹣3ab＝4，

∴a2+ab+b2﹣3ab＝4．

即a2﹣2ab+b2＝4．

∴（a﹣b）2＝4．

∴a﹣b＝±2．

故答案为：±2．

12．（2021•顺平县二模）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记ω（a），例如：a＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13＝44，和与11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回答下列问题：

（1）计算：ω（23）＝　5　．

（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，则“跟斗数”b＝　26　．

（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，则ω（m）+ω（n）＝　19　．

【分析】（1）根据题目中“跟斗数”的定义，可以计算出f（23）的值；

（2）根据题意，可以得到关于k的方程，从而可以求得k的值，然后即可得到b的值；

（3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出f（m）+f（n）的值．

【解答】解：（1）．

故答案为：5；

（2）∵一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，

∴，

解得k＝2，

∴2（k+1）＝6，

∴b＝26．

故答案为：26；

（3）∵m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，设m＝10x+y，则n＝10（9﹣x）+（10﹣y），

∴ω（m）+ω（n）

＝x+y+19﹣x﹣y

＝19．

故答案为：19．

13．（2021•河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．

（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 　a2+b2　；

（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 　4　块．

【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，即可求解；

（2）利用完全平方公式可求解．

【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸片的面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，

∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，

故答案为：a2+b2；

（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）

∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，

∴x为4，

故答案为：4．

14．（2021•丰润区一模）计算：（﹣a）6÷a3＝　a3　．

【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减．据此计算即可．

【解答】解：（﹣a）6÷a3＝a6÷a3＝a3．

故答案为：a3．

15．（2021•衡水模拟）若（2x+4y）2＝4x2﹣2（m﹣1）xy+16y2，则m的值为　﹣7　．

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．

【解答】解：∵（2x+4y）2＝4x2+16xy+16y2＝4x2﹣2（m﹣1）xy+16y2，

∴﹣2（m﹣1）＝16，

∴m＝﹣7．

故答案为：﹣7．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•河北模拟）在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当a，b＝﹣3时，求多项式2a2+4ab+2b2﹣2（a2+2ab+b2﹣1）的值．”解完这道题后，小明指出：“a，b＝﹣3是多余的条件．”师生讨论后，一致认为小明的说法是正确的．

（1）请你说明正确的理由；

（2）受此启发，王老师又出示了一道题目：“已知无论x，y取什么值，多项式2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，求m+n的值．”请你解决这个问题．

【分析】（1）去括号合并同类项可得代数式的值与a、b无关，即可得结论；

（2）先求出m、n的值，再代入计算即可．

【解答】解：（1）2a2+4ab+2b2﹣2（a2+2ab+b2﹣1）

＝2a2+4ab+2b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2+2

＝2，

∴该多项式的值为常数．与a和b的取值无关，小明的说法是正确的；

（2）2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）

＝2x2﹣my+12﹣nx2﹣3y+6

＝（2﹣n）x2+（﹣m﹣3）y+18，

∵已知无论x，y取什么值，多项式2x2﹣my+12﹣（nx2+3y﹣6）的值都等于定值18，

∴2﹣n＝0，﹣m﹣3＝0，

解得n＝2，m＝﹣3，

∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．

17．（2021•南皮县一模）已知：整式A＝2x+1，B＝2x﹣1．

（1）化简A﹣2B；

（2）若无论x为何值，A•B+k（k为常数）的值都是正数，求k的取值范围．

【分析】（1）把相应的整式代入，再利用单项式乘多项式的法则，以及合并同类项的法则进行运算即可；

（2）利用多项式乘多项式的法则进行运算，并结合条件进行分析即可．

【解答】解：（1）A﹣2B

＝（2x+1）﹣2（2x﹣1）

＝2x+1﹣4x+2

＝﹣2x+3；

（2）A•B+k

＝（2x+1）（2x﹣1）+k

＝4x2﹣1+k，

∵无论x为何值时，4x2≥0，

若A•B+k的值是正数，则﹣1+k＞0，

解得：k＞1．

18．（2021•开平区一模）（1）化简求值：（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2），其中m＝﹣2．

（2）老师出了一道整式计算题化简求值题：（5x2﹣9）+（2+ax2），其中的字母a为常数；小明计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，请你通过计算找到a的值．

【分析】（1）先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值；

（2）先化简，再根据计算后说这个题的最后结果与x的取值无关这个条件，列等式求出a．

【解答】解：（1）（﹣m2+3+2m）﹣（5m﹣4+3m2）

＝﹣m2+3+2m﹣5m+4﹣3m2

＝﹣4m2﹣3m+7；

把m＝﹣2代入原式得，﹣4×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+7＝﹣3．

（2）（5x2﹣9）+（2+ax2）

＝5x2﹣9+2+ax2

＝﹣7+（5+a）x2，

∵计算后说这个题的最后结果与x的取值无关，

∴5+a＝0，

∴a＝﹣5．