2020-2021学年16.1 二次根式精练

16.1二次根式

一、基本概念

1、二次根式的概念：形如(≥0)的式子叫做二次根式。要判断一个式子是不是二次根式，一是要看根指数是不是2，二是要看被开方数是不是非负数，只有符合这两个条件才是二次根式。

求解二次根式中字母的范围一定要注意是根号下整体大于等于零，不要忘记等于零，还需要注意其它因素的影响。

2、二次根式两个非负性的运用：二次根式(a≥0)，这里实质包含两个非负性：a非负和非负。特别的，对于，当=0时，有最小值0。

3、二次根式的性质：（1）＝(≥0)．

运算顺序是先求一个非负数a的算术平方根然后再平方，因此必须注意满足a≥0这个条件。此条件一般隐含在题目中，此类题目的结果是唯一的，不存在讨论问题。

二次根式的基本性质既能正用也可以逆用。可以把任意的一个非负实数写成平方数形式。

的运算顺序是先平方，再开方，然后取算术根。因此，这个式子对任意实数a都有意义，而运算结果必须是非负数，所以要注意取值范围或分类讨论。在使用此公式时，这一步建议不要省略，这样可避免发生错误。  

二、典例分析

例．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．

小亮：解：

小芳：解：

（1）______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；

（2）先化简，再求值：，其中；

（3）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简．

【答案】（1）小亮，；（2），8；（3）a

【分析】

（1）根据二次根式的性质判断即可；

（2）根据二次根式的性质把原式化简，把a=-2代入计算即可．

（3）由数轴可得：c＜b＜0＜a，再根据二次根式的化简法则计算即可．

【详解】

解：（1）小亮的解法是错误的，

错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；

（2）原式==，

∵a=-2＜3，

∴原式=a+2（3-a）=a+6-2a=6-a=8．

（3）由图可知：c＜b＜0＜a，

∴a-b＞0，a-c＞0，

∴

=

=a-b+c-（a-b）+a-c

=a-b+c-a+b+a-c

=a．

【点睛】

本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．

三、针对训练

1．下列式子中，一定属于二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

4．实数a、b在数轴上的位置如图所示化简，的结果为（    ）

A． B． C． D．

5．已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为（    ）

A．8 B．10 C．8或10 D．9

6．要使有意义，则x应满足 _____．

7．化简______．

8．计算：______．

9．已知+（y﹣3）2＝0，则＝_____．

10．若x＜2，化简＝_______________．

11．计算：．

12．先化简，再求值：，其中．

13．已知．

（1）求的值；

（2）求的平方根．

14．已知正实数a满足a+＝5，且＝1﹣a，求a﹣的值．

15．小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下：

题目：若代数式的值是1，求的取值范围．

解：原式，

当时，原式，解得（舍去）；

当时，原式，符合条件；

当时，原式，解得（舍去）；

所以，的取值范围是．

请你根据小明的做法，解答下列问题：

（1）当时，化简：__________；

（2）若代数式的值是4，求的取值范围．

针对训练解析

1．下列式子中，一定属于二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据二次根式的定义，被开方数大于等于0进行判断即可解答．

【详解】

解：A、被开方数不是非负数，没有意义，所以A不合题意；

B、x≥2时二次根式有意义，x＜2时没意义，所以B不合题意；

C、不是二次根式，所以C不合题意；

D、满足二次根式的定义，所以D符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解答本题的关键．

2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求解即可．

【详解】

解：二次根式在实数范围内有意义，

，

解得，

故选B．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．

3．下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．

【详解】

解：A. ，故该选项正确，符合题意；

B. ，故该选项不正确，不符合题意；

C.     ，故该选项不正确，不符合题意；

D. ，故该选项不正确，不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．

4．实数a、b在数轴上的位置如图所示化简，的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．

【详解】

解：由数轴可知：，，

∴

故选：B．

【点睛】

此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键．

5．已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为（    ）

A．8 B．10 C．8或10 D．9

【答案】B

【分析】

根据二次根式和绝对值的性质，求得，分情况讨论，求解即可．

【详解】

解：∵

∴，，解得，

当腰长为2，底边为4时，∵，不满足三角形三边条件，不符合题意；

当腰长为4，底边为2时，∵，，满足三角形三边条件，

此时等腰三角形的周长为．

故选：B

【点睛】

本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．

6．要使有意义，则x应满足 _____．

【答案】且

【分析】

根据二次根式的被开方数的非负性和分式的分母不能为0即可得．

【详解】

解：由题意得：，

解得且，

故答案为：且．

【点睛】

本题考查了二次根式和分式，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题关键．

7．化简______．

【答案】

【分析】

根据二次根式的性质解答即可求解．

【详解】

解：∵π>3，

∴π−3>0；

∴．

【点睛】

本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．

8．计算：______．

【答案】##

【分析】

由题可得，，即可得出，再根据二次根式的性质化简即可．

【详解】

解：由题可得，，

∴，
∴，

∴

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．

9．已知+（y﹣3）2＝0，则＝_____．

【答案】

【分析】

根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．

【详解】

解：根据题意得：x﹣2＝0，y﹣3＝0，

解得：x＝2，y＝3，

则原式＝＝＝2．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，二次根式的化简，求得的值是解题的关键．

10．若x＜2，化简＝_______________．

【答案】-1

【分析】

直接运用二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．

【详解】

解：∵

∴，

∴

=

=

=

=

故答案为：-1

【点睛】

本题主要考查了化简二次根式，其依据是二次根式的性质．

11．计算：．

【答案】12

【分析】

根据乘方，零指数幂，二次根式及负指数幂进行计算即可，

【详解】

解：原式=9-1+2+2=12．

【点睛】

本题考查了乘方，零指数幂，二次根式化简及负指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则．

12．先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【分析】

先根据平方差公式进行化简，再合并同类项，最后带值求解．

【详解】

解：，

，

，

当，

，

，

．

【点睛】

本题考查了整数的化简求解，二次根式的运算，解题的关键是掌握相应的运算法则，例如平方差公式，合并同类项等．

13．已知．

（1）求的值；

（2）求的平方根．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由题意根据二次根式有意义的条件即进行分析即可；

（2）根据题意将代入式子求出，进而根据平方根性质即可得出答案.

【详解】

解：（1）由题意可得：，解得：；

（2）将代入可得：，解得：，

可得，

所以的平方根为.

【点睛】

本题考查二次根式求值和求平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件即以及平方根有两个且互为相反数是解题的关键.

14．已知正实数a满足a+＝5，且＝1﹣a，求a﹣的值．

【答案】

【详解】

由题意根据a+＝5，且＝1﹣a，利用完全平方公式和算术平方根的定义，可以求得所求式子的值．

【分析】

解：∵a+＝5，

∴，

∴，

∴a2﹣2+＝（a﹣）2＝21，

∴a﹣＝±，

∵＝1﹣a，

∴1﹣a≥0，

∴0＜a≤1，

∴a﹣＜0，

∴a﹣＝﹣．

【点睛】

本题考查分式的化简求值以及实数的运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

15．小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下：

题目：若代数式的值是1，求的取值范围．

解：原式，

当时，原式，解得（舍去）；

当时，原式，符合条件；

当时，原式，解得（舍去）；

所以，的取值范围是．

请你根据小明的做法，解答下列问题：

（1）当时，化简：__________；

（2）若代数式的值是4，求的取值范围．

【答案】（1）2；（2）

【分析】

（1）根据二次根式与取绝对值的方法即可化简求解；

（2）根据二次根式与取绝对值的方法分情况讨论即可求解．

【详解】

（1）当时，

故答案为2；

（2）∵=

①当m＜2时，原式=，不符合题意；

②当2≤m＜6时，原式=，不符合题意；

③当m≥6时，原式=，符合题意

∴的取值范围为．

【点睛】

此题主要考查二次根式的运算及绝对值的化简，解题的关键是熟知其运算法则．