初中数学人教版八年级下册16.3 二次根式的加减练习题

16.3二次根式的加减

一、基本概念

1、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

也就是说，要判断两个二次根式是不是同类二次根式，要先将它们化为最简二次根式，再看被开方数是否相同。

2、二次根式加减：二次根式的加减法实质是将二次根式化为最简二次根式后，再合并同类二次根式。

3、二次根式的混合运算及化简求值：二次根式的运算顺序与有理数的运算顺序一样，有理数（式）中的运算律在二次根式中仍适用。运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，如果是二次根式，必须化成最简二次根式。

二、典例分析

例．计算：＋（4﹣8）÷2．

【答案】2

【分析】

先根据二次根式的性质和二次根式的除法法则计算，再合并同类二次根式即可．

【详解】

解：原式=4＋4÷2﹣8÷2

＝4+2﹣4

＝2．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．

三、针对训练

1．下列各式中与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

2．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（    ）

A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2

3．下列计算错误的是（     ）

A． B． C． D．

4．计算的结果是（     ）

A．6 B． C． D．4

5．计算：（3－2）2020（3＋2）2021的结果是（　　）

A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021

6．当，时，则的值为______．

7．我们知道是一个无理数，设它的整数部分为a，小数部分为b，则（+a）·b的值是_________．

8．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝_____．

9．计算：＝_____．

10．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为___________．

11．计算：（1）；        （2）．

12．计算：．

13．计算：

（1）；    （2）．

14．阅读下列内容：因为，所以，所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题：

（1）求的整数部分和小数部分；

（2）若已知的小数部分是，的整数部分是，求的值．

15．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即，则称为完美根式，为的完美平方根．

例如：因为，所以是的完美平方根．

（1）已知是的完美平方根，求a的值．

（2）若是的完美平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．

（3）已知是完美根式，直接写出它的一个完美平方根．

针对训练解析

1．下列各式中与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再观察它们的被开方数是否相同．

【详解】

解：∵＝3，＝，＝，＝6，

∴与是同类二次根式的是.

故选：C．

【点睛】

本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义并准确化成最简二次根式是解题的关键．

2．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（    ）

A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2

【答案】A

【分析】

两个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们是同类二次根式，根据此定义即可得到关于a的方程，从而可求得a的值．

【详解】

∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式

∴a+1=2a

解得：a=1

故选：A

【点睛】

本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是关键．

3．下列计算错误的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据二次根式的运算直接进行计算化简判断即可．

【详解】

A、，正确；

B、，错误；

C、，正确；

D、，正确；

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次根式的化简运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．

4．计算的结果是（     ）

A．6 B． C． D．4

【答案】B

【分析】

先将式中的根式化为最简二次根式，然后合并最简二次根式即可．

【详解】

解：，

故选：B．

【点睛】

本题考查二次根式的加减法，注意掌握其法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

5．计算：（3－2）2020（3＋2）2021的结果是（　　）

A．3－2 B．3＋2 C．1 D．2021

【答案】B

【分析】

先根据积的乘方得到原式=（3－2）2020×（3＋2）2020×（3＋2）=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)，然后利用平方差公式计算．

【详解】

解, 原式=（3－2）2020×（3＋2）2020×（3＋2）

=[(3－2)×(3＋2)]2020×(3＋2)

=(9-8) 2020×(3＋2)

=3＋2

故答案为:B

【点睛】

本题考查了积的乘方，平方差公式，二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．

6．当，时，则的值为______．

【答案】

【分析】

根据二次根式加减法法则解答．

【详解】

解：∵，，

∴，

故答案为：．

【点睛】

此题考查了同类二次根式的加减法，正确掌握二次根式的化简及加减法法则是解题的关键．

7．我们知道是一个无理数，设它的整数部分为a，小数部分为b，则（+a）·b的值是_________．

【答案】1

【分析】

先根据2＜＜3，确定a=2，b=-2，代入所求代数式，运用平方差公式计算即可．

【详解】

∵2＜＜3，

∴a=2，b=-2，

∴（+a）·b

=（+2）（-2）

=5-4

=1，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了无理数的估算，无理数整数部分的表示法，平方差公式，正确进行无理数的估算，灵活运用平方差公式是解题的关键．

8．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝_____．

【答案】2021

【分析】

结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．求解即可．

【详解】

解：∵最简二次根式与是同类二次根式，

则

解得：

故答案为：2021．

【点睛】

本题主要考查了同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

9．计算：＝_____．

【答案】

【分析】

先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解．

【详解】

解：．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

10．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为___________．

【答案】2

【分析】

根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后的被开方数相同的二次根式为同类二次根式，据此计算即可．

【详解】

解：

解得，

∴，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了根据同类二次根式的定义求参数，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．

11．计算：（1）；        （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据二次根式的性质，求一个数的立方根，化简绝对值，进而根据实数的性质进行计算即可；

（2）根据平方差公式，二次根式的除法运算进行计算即可

【详解】

（1）解：原式，

 ．

（2）解：原式，

．

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题的关键．

12．计算：．

【答案】

【分析】

原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果．

【详解】

解：原式，

．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及二次根式性质．

13．计算：

（1）；    （2）．

【答案】（1）4；（2）

【分析】

（1）先计算乘法，然后计算加法，即可得到答案；

（2）先计算乘法和除法，然后计算减法，即可得到答案．

【详解】

解：（1）原式＝5－3＋2＝4；

（2）原式＝

＝

＝；

【点睛】

本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行计算．

14．阅读下列内容：因为，所以，所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题：

（1）求的整数部分和小数部分；

（2）若已知的小数部分是，的整数部分是，求的值．

【答案】（1）的整数部分是3，小数部分为；（2）的值为．

【分析】

（1）估算无理数的大小即可；

（2）估算无理数，8+，8-的大小，确定a、b的值，代入计算即可．

【详解】

解：（1）∵＜＜，

∴3＜＜4，

∴的整数部分是3，小数部分为-3；

（2）∵3＜＜4，

∴11＜8+＜12，

∴8+的小数部分a=8+-11=-3，

∵3＜＜4，

∴-4＜-＜-3，

∴4＜8-＜5，

∴8-的整数部分是b=4，

∴ab-3a+4b

=（-3）×4-3×（-3）+4×4

=4-12-3+9+16

=+13，

答：ab-3a+4b的值为+13．

【点睛】

本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．

15．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即，则称为完美根式，为的完美平方根．

例如：因为，所以是的完美平方根．

（1）已知是的完美平方根，求a的值．

（2）若是的完美平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．

（3）已知是完美根式，直接写出它的一个完美平方根．

【答案】（1）；（2），；（3）或是的完美平方根

【分析】

（1）根据定义，得到，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等求a的值；

（2）根据定义，得到，展开后，合并同类项，根据对应项系数相等原理计算即可．

（3）构造完全平方公式，用对应项系数相等建立等式计算．

【详解】

（1）∵是的完美平方根，

∴，

∴．

（2）∵是的完美平方根，

∴，

∴，．

（3）∵，

∴或是的完美平方根．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的应用，理解新定义，活用完全平方公式，恒等式的对应项相等是解题的关键．