2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案10

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 2022届新教材北师大版  导数及其运用    单元测试一、选择题1、设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导数是f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为(　　)A．y＝－2x    B．y＝3xC．y＝－3x    D．y＝4x2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0]时,f(x)=e-x-ex2+a,则函数f(x)在x=1处的切线方程为(　　)(A)x+y=0        (B)ex-y+1-e=0(C)ex+y-1-e=0   (D)x-y=03、曲线 在点（1, ）处的切线方程为（   ）A． B．C． D．4、曲线在点处的切线方程是（   ）A．         B．         C．         D．5、已知函数的图象与直线 恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（  ）A．-2    B．    C．0    D．16、已知函数满足，则函数的图象在处的切线斜率为（    ）A. 0    B. 9    C. 18    D. 277、已知曲线在处的切线垂直于直线，则实数的值为（    ）A.     B.     C. 10    D. 8、设为可导函数，且，求的值（    ）A．     B．     C．     D． 9、已知点是曲线与曲线的公共切点，则两曲线在点处的公共切线方程是（  ）A. B.C.或 D.或10、直线分别与直线，曲线交于A，B两点，则的最小值为   (   )A.            B. 1          C.           D.  411、函数在处的切线与直线平行，则实数（    ）．A． B． C． D．112、函数在点（1,1）处的切线方程为：（   ）A．     B． C．     D． 二、填空题13、已知函数的图象在点处的切线方程是，则_____．14、点是曲线上任意一点， 则点到直线的距离的最小值是          .15、曲线在点处的切线方程为______.16、若函数的图象在点处的切线平行于x轴，则______．三、解答题17、（本小题满分10分）(1)对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，求数列的前n项和；(2)设函数y＝f(x)满足以下条件：①；②f(1)＝2.求函数y＝f(x)的表达式．18、（本小题满分12分） 已知，．（Ⅰ）设，求函数的图像在处的切线方程；（Ⅱ）求证：对任意的恒成立；19、（本小题满分12分）泰兴机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求产量为1000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；(3)求c′(1000)与c′(1500)，并说明它们的实际意义．20、（本小题满分12分）已知函数，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.求a，b的值．
参考答案1、答案A解析由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2为偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2.又f′(0)＝－2，f(0)＝0，∴y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.2、答案B解析因为函数是奇函数,故有f(0)=1+a=0,即a=-1.设x>0,则-x<0,所以f(-x)=ex-ex2+a.即-f(x)=ex-ex2+a,即f(x)=-ex+ex2-a,所以f′(x)=-ex+2ex,即f′(1)=-e+2e=e.又切点为(1,1),所以f(x)在x=1处的切线方程为ex-y+1-e=0.故选B.3、答案A解析对函数求导，求出以及的值，然后代入点斜式即可得到答案。详解函数的定义域为，由题可得，则，即函数在点处的斜率，由于，则切点为，所以在点处切线方程为：，故答案选A点睛本题主要考查函数的切线方程，根据导数的几何意义求出函数切线的斜率是解决本题的关键，属于基础题。4、答案A解析，，，曲线在点处的切线方程是，故选A.考点：利用导数求切线方程.5、答案B解析由题意得直线过定点，且斜率k>0,由对称性可知，直线与三角函数图像切于另外两个点，所以，，则切线方程过点，所以，而=。选B.点睛直线与曲线相切一般要应用三点，一是曲线在切点处的导数是切线的斜率，二是切点即在曲线上也在切线上，三是没有切点要设切点。本就用到了上面三点，然后再配求所求式子的结构。6、答案C解析令，则，即，则， ，根据导数的几何意义可得函数的图象在处的切线斜率为，故选C.7、答案A解析函数的导数，则在点 处的切线斜率 直线的斜率 ∵直线和切线垂直， .故选A点睛本题主要考查函数的切线斜率的计算，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．8、答案B解析根据导数的定义得到=,即可得到答案.详解根据极限的运算和导数的定义得到：= 故答案为：B.点睛这个题目考查了导数的定义，…，，凑出分子是y的变化量，分母是x的变化量即可.9、答案B解析设点的坐标为，因为为公共切点，所以曲线与曲线在处切线相同，根据条件列出方程组求解即可.详解设点的坐标为对曲线求导得，对曲线求导得，得解得，得点坐标为，切线为．故答案为：B.点睛本题考查利用导数求切线方程，考查学生的计算和转化能力，属于基础题.10、答案A解析设与直线平行的直线与曲线相切时的切点记为，直线与直线交点记为，则，对函数求导得，则，所以，此时，所以，故选A.考点：导数的几何意义.名师点睛本题主要考查导数的几何意义，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问，对几何意义的考查的角度主要有：1.已知切点求切线方程；2.已知切线方程或斜率求切点或曲线方程,本题就属于这种类型；3.已知曲线求切线的倾斜角的取值范围.11、答案B解析利用导数的几何意义可得，解方程即可得到答案.详解：，.故选：B.点睛本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.12、答案D解析根据导数的几何意义，可以求出切线的斜率，从而写出切线的方程.详解因为，所以，切线方程为，即，故选D.点睛本题主要考查了导数的几何意义及切线方程的求法，属于中档题.13、答案解析根据导数的几何意义知：，切点既在函数上，也在切线方程上，所以，所以考点：导数的几何意义14、答案解析因为点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是在点的切线与该直线平行的时候，由（负值舍去），所以点的坐标为，此时点到直线的距离为.15、答案解析先根据导函数求值得切线的斜率，再用点斜式方程得切线方程.详解由已知得，所以，又因为，所以在点处的切线方程为，即，故得解.点睛本题考查根据导函数求切线方程，属于基础题.16、答案-2解析分析本题可以先求出函数的导函数，再通过函数在点处的切线平行于轴得出的值，最后得出结果。详解因为函数，所以因为函数在点处的切线平行于轴，所以所以点睛曲线在曲线上的某一点的切线方程的斜率就是曲线在这一点处的导数。17、答案（1）；（2）（2）先由导函数设原函数，再带值求解.详解(1)由得..又切点为，切线方程为,令，得,.则数列的通项公式为，则其前项和为.(2)由,则可设,(为常数)由得,故.点睛第一小题考查导数与数列相结合的问题，通过求导进而求出曲线的切线方程式本题解题的关键；第二小题考查了求导运算的逆运算，对学生运用运算法则的能力要求比较高.解析18、答案解：（1），，则 ，∴图像在处的切线方程为即    3分（2）令，          4分则∵与同号  ∴  ∴∴  ∴在单调递增                                 6分又，∴当时，；当时，∴在单调递减，在单调递增  ∴∴  即对任意的恒成立  解析19、答案（1）5000.6(元)；（2）2000(元)；（3）见解析.（2）计算即可得解；（3）求导得c′(x)，再分别计算c′(1000)和c′(1500)，利用导数代表瞬时变化率可知为实际意义为生产一台多获利的钱数.详解(1)产量为1000台时的总利润为c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600(元)，平均利润为＝5000.6(元)．(2)当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量为＝＝2000(元)．(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7000x＋600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋7000＝3000(元)，c′(1500)＝－4×1500＋7000＝1000(元)，它们指的是当产量为1000台时，生产一台机械可多获利3000元；.而当产量为1500台时，生产一台机械可多获利1000元．点睛本题考查了导数概念的实际应用，考查了导数的运算，关键是理解导数概念的实际意义.解析20、答案详解.由于直线x＋2y－3＝0的斜率为，且过点(1,1)，故，即，解得a＝1，b＝1.点睛本题主要考查了导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查导数的运算能力，属于基础题．解析