2022届新教材北师大版圆锥曲线单元测试含答案14

2022届新教材北师大版  圆锥曲线    单元测试

1、若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是(　　)

A． 4    B． 2    C． 1    D． －2

2、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（  ）

A．    B．2    C．4    D．

3、抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是（  ）

A．（2，4）    B．    C．    D．（1，1）

4、双曲线的焦点坐标是

A.     B.     C.     D.

5、已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（   ）

A．或     B．       C．       D．或

6、

[2018·亳州一模]经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若交双曲线的左支于，则双曲线离心率的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

7、若中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是（    ）

A．     B．     C．     D．

8、以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是(　　)

A.  B.    C.  D.

9、设和为双曲线的两个焦点，若， ， 是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（    ）

A.     B.     C.     D.

10、

双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程是（　　）

A．y=±4x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x

11、如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( )

A.     B.     C.     D.

12、、分别是椭圆的左顶点和上顶点， 是该椭圆上的动点，则 面积的最大值为（    ）

A.     B.     C.     D.

13、椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为             ．

14、
以下关于圆锥曲线的命题中

①设是两个定点， 为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线的一支；②过定圆上一定点作圆的动弦， 为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点.

其中真命题的序号是_______.

15、是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点，，则 的面积等于         ．

16、

若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为____．

17、已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

18、已知椭圆及直线：．

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程．

19、求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程.

20、已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点.

（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ；

（2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立.

21、（1）求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

（2）求焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）的椭圆的标准方程．

22、已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.

参考答案

1、答案A

利用双曲线的图形及性质，求出t的范围，即可得到选项．

详解

在中，，

当或时，均只有一个交点，

当时，有两个交点，

当时，无交点．

故选A.

名师点评

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

2、答案C

由题可知，抛物线的焦点为，双曲线化成标准形式为，它的右焦点为（2,0），因此有，解得；

考查目的：圆锥曲线的性质

3、答案D

设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标．

详解

设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），

点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离

∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短．

故选：D．

名师点评

本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

4、答案C

分析：由题意求出，则，可得焦点坐标

详解：由双曲线，可得，

故双曲线的焦点坐标是

选C.

名师点评：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.

5、答案D

6、答案B

由题意，，得，所以，即离心率的范围是，

故选B.

名师点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

7、答案D

由题意可知椭圆焦点在轴上，因而椭圆方程设为，可知，可得，又，可得，所以椭圆方程为.

考查目的：椭圆的标准方程.

8、答案D

双曲线方程可化为,焦点为,顶点为

∴椭圆的焦点在轴上,且,此时,所以椭圆方程为.

9、答案C

若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，

设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，

∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，

∴=2c，∴c2+4b2=4c2，

∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，

∴c2=4a2，即c=2a，

b==a，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x，

即为．

故选：C．

10、答案D

解：双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程是：y=±x．

故选：D．

11、答案D

由椭圆方程可知

考查目的：椭圆方程

12、答案B

由题意得点、的坐标分别为，

∴，且直线的方程为。

设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，

由消去y整理得，

∵直线与椭圆相切，

∴，

解得或（舍去）。

∴所求切线的方程为。

∴该切线与直线AB间的距离。

由题意得当点C为切点时， 的面积最大，且最大面积为

。选B。

名师点评：本题考查了数形结合的思想方法，由于是定值，故当三角形的高最大时，面积才最大，由此作为解题的突破点，并结合图形进行分析，发现当点C为与AB平行且与椭圆相切的直线的切点时满足题意，然后根据判别式求得切线方程，并利用两平行线间的距离求得三角形的高即可。

13、答案

椭圆的，，所以。因为，所以，所以。所以,所以。

14、答案③

根据双曲线的定义，有绝对值，且k的范围是k＜|AB|，∴①错误；

∵，∴P为弦AB的中点，不妨在单位圆x2+y2=1中，定点A（1，0），动点B（x1，y1），设P（x，y），用代入法求得P的轨迹方程是+y2=，∴点P的轨迹为圆，∴②错误；

∵2x2﹣5x+2=0的两根是2， ，椭圆的离心率范围是（0，1），双曲线的离心率范围是（1，+∞）∴③正确．

∵④中双曲线的焦点是（±，0），椭圆的焦点（0，±），∴④错误．

故答案为：③
 

15、答案

16、答案.

分析

由题意确定a,b,c的关系，然后确定其离心率即可.

详解

由题意可知，双曲线的一个焦点坐标为，

双曲线的一条渐近线方程为：，即，

据此可得：，则，

椭圆的离心率.

名师点评

双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

17、答案

试题分析：设直线l：y＝kx＋2，联立直线方程和椭圆方程得到韦达定理，再由＝x1x2＋y1y2>0和Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0得到直线l的斜率k的取值范围．

详解

显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0.

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－.①

又0°<∠AOB<90°？cos∠AOB>0？>0，

所以＝x1x2＋y1y2>0.

又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝，

所以>0，即k2<4.

所以－2<k<2.②

综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为.

名师点评

（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是把∠AOB(O为坐标原点)为锐角转化为＝x1x2＋y1y2>0.

18、答案（1）；（2）当时，取最大值为，此时直线方程为．

19、答案焦点在y轴上，，设椭圆方程为，则

，将点的坐标带入方程有：

20、答案(1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有.从而椭圆C的方程可化为：①,易知右焦点F的坐标为（），

据题意有AB所在的直线方程为：   ②

由①，②有：③

设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：

所以，即为所求.

(2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立.设，由1）中各点的坐标有：

，所以.

又点在椭圆C上，所以有整理为

④

由③有：.所以

  ⑤

又A﹑B在椭圆上，故有⑥

将⑤，⑥代入④可得：.

对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，

而

在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然 .也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立.

21、答案：：（1）由椭圆方程为，可得a，b，c，即可得出；

（2）利用椭圆的定义可得：a，即可得出b2=a2﹣c2.

试题解：（1）∵椭圆方程为，

∴a=2，b=1，c==，

因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a=4，2b=2，

离心率e==，两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），

椭圆的四个顶点是A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣1），B2（0，1）．

（2）由焦距是4可得c=2，且焦点坐标为（0，﹣2），（0，2）．

由椭圆的定义知：2a=+=8，

∴a=4，b2=a2﹣c2=16﹣4=12.

又焦点在y轴上，∴椭圆的标准方程为．

考查目的：椭圆的简单性质．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22、答案（1）；（2）

试题分析：（1）根据双曲线的定义可知轨迹为双曲线的右支，从而可得轨迹方程；（2）当直线斜率不存在时，可求得；当直线斜率存在时，假设直线方程，代入可整理得到一元二次方程；根据有两个正实根可构造出不等式组，求得斜率；将利用坐标运算表示为符合韦达定理的形式，代入整理后，结合可求得；综合两种情况可得所求最小值.

详解：（1）

由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支

，，

的方程为：

（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：

此时，

②当直线斜率存在时，设直线方程为：

代入双曲线方程可得：

可知上式有两个不等的正实数根

解得：

由得：

综上所述，的最小值为

名师点评

本题考查根据双曲线的定义求解双曲线方程、直线与双曲线综合应用中的最值问题的求解；易错点是忽双曲线仅为右半支的情况，导致求解错误；求解最值问题的关键是能够将所求式子通过韦达定理来进行表示，利用韦达定理代入变为关于斜率的函数，从而结合斜率的范围求得最值.